Baireovo opatření - Baire measure

V matematice, a Baireovo opatření je opatření na σ-algebra z Baire soupravy a topologický prostor jehož hodnota na každé kompaktní sadě Baire je konečná. Kompaktní metrické prostory the Sady Borel a Baire soupravy jsou stejná, takže opatření Baire jsou stejná jako Borel opatření které jsou konečné kompaktní sady. Obecně nemusí být sady Baire a Borel stejné. V prostorech se sadami Borel, které nejsou Baire, se používají Baireovy míry, protože se připojují k vlastnostem spojité funkce přímo.

Variace

Existuje několik nerovnocenných definic Baire soupravy, tedy odpovídajícím způsobem existuje několik nerovnocenných konceptů Baireovy míry v topologickém prostoru. To vše se shoduje v prostorech, které jsou místně kompaktní σ-kompaktní Hausdorffovy prostory.

Vztah k Borelově míře

V praxi lze opatření Baire nahradit pravidelná Borel opatření. Vztah mezi opatřeními Baire a běžnými opatřeními Borel je následující:

• Omezení konečné míry Borel na sady Baire je mírou Baire.
• Konečná míra Baire na kompaktním prostoru je vždy pravidelná.
• Konečná míra Baire na kompaktním prostoru je omezení jedinečného pravidelného míra Borel.
• Na kompaktních (nebo σ-kompaktních) metrických prostorech jsou sady Borel stejné jako sady Baire a míry Borel jsou stejné jako míry Baire.

Příklady

• Počítání opatření na jednotkový interval je míra na množinách Baire, která není pravidelná (nebo σ-konečná).
• The (left or right) Haarovo opatření na lokálně kompaktní skupina je Baireova míra invariantní pod levou (pravou) akcí skupiny na sebe. Zejména pokud jde o skupinu abelianská skupina, levá a pravá Haarova míra se shodují a my říkáme, že Haarova míra je překlad neměnný. Viz také Dualita Pontryagin.

Reference

• Leonard Gillman a Meyer Jerison, Kruhy spojitých funkcíSpringer Verlag # 43, 1960