Nulový objekt (algebra) - Zero object (algebra)

Morfismy do a z nulového objektu

v algebra, nulový objekt daného algebraická struktura je ve smyslu vysvětleném níže nejjednodušším objektem takové struktury. Jako soubor to je jedináček a jako magma má triviální struktura, která je také abelianská skupina. Výše uvedená struktura skupiny abelianů je obvykle identifikována jako přidání a je volán jediný prvek nula, takže samotný objekt je obvykle označen jako ${0}$ . Jeden často odkazuje the triviální objekt (zadaného kategorie ) protože každý triviální objekt je izomorfní k jakémukoli jinému (za jedinečného izomorfismu).

Instance nulového objektu zahrnují, ale nejsou omezeny na následující:

Jako skupina, nulová skupina nebo triviální skupina.
Jako prsten, nulový kroužek nebo triviální prsten.
Jako algebra nad polem nebo algebra přes prsten, triviální algebra.
Jako modul (přes prsten $R$ ), nulový modul. Termín triviální modul je také používán, i když může být nejednoznačný, jako a triviální G-modul je G-modul s triviální akcí.
Jako vektorový prostor (přes pole $R$ ), nulový vektorový prostor, nulový rozměrný vektorový prostor nebo prostě nulový prostor.

Tyto objekty jsou popsány společně nejen na základě společné singletonové a triviální skupinové struktury, ale také z důvodu sdílené kategorie - teoretické vlastnosti.

V posledních třech případech skalární násobení prvkem základního kruhu (nebo pole) je definován jako:

κ 0 = 0

, kde

κ \in R

.

Nejobecnější z nich, nulový modul, je a konečně generovaný modul s prázdný generující sada.

Pro struktury vyžadující strukturu násobení uvnitř nulového objektu, například triviální prsten, je možné pouze jedno, $0 \times 0 = 0$ , protože neexistují žádné nenulové prvky. Tato struktura je asociativní a komutativní. Prsten $R$ který má aditivní i multiplikativní identitu, je triviální právě tehdy $1 = 0$ , protože tato rovnost to znamená pro všechny $r$ v rámci $R$ ,

{displaystyle r = r imes 1 = r imes 0 = 0.}

V tomto případě je možné definovat dělení nulou, protože jediný prvek je jeho vlastní multiplikativní inverzní. Některé vlastnosti ${0}$ závisí na přesné definici multiplikativní identity; vidět § Unitální struktury níže.

Jakákoli triviální algebra je také triviální kruh. Triviální algebra nad polem je současně považován za nulový vektorový prostor níže. Přes komutativní prsten, triviální algebra je současně nulovým modulem.

Triviální prsten je příkladem a rng čtvercové nuly. Triviální algebra je příkladem a nulová algebra.

Nulová dimenze vektorový prostor je obzvláště všudypřítomný příklad nulového objektu, a vektorový prostor přes pole s prázdným základ. Proto má dimenze nula. Je to také a triviální skupina přes přidání a triviální modul zmíněno výše.

Vlastnosti

2↕	${displaystyle {egin {bmatrix} 0 0end {bmatrix}}}$	=	${displaystyle {egin {bmatrix}, , end {bmatrix}}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Prvek nulového prostoru, psaný jako prázdný vektor sloupce (úplně vpravo), se vynásobí 2 × 0 prázdná matice získat 2-dimenzionální nulový vektor (úplně vlevo). Pravidla násobení matic jsou respektovány.

Triviální kruh, nulový modul a nulový vektorový prostor jsou nulové objekty odpovídajících Kategorie, jmenovitě Rng, $R$ -Mod a Vect_$R$.

Nulový objekt, podle definice, musí být koncový objekt, což znamená, že a morfismus $A \to {0}$ musí existovat a musí být jedinečný pro libovolný objekt $A$ . Tento morfismus mapuje jakýkoli prvek $A$ na $0$ .

Nulový objekt, také podle definice, musí být počátečním objektem, což znamená, že morfismus ${0} \to A$ musí existovat a musí být jedinečný pro libovolný objekt $A$ . Tento morfismus mapuje $0$ , jediný prvek ${0}$ , k nulovému prvku $0 \in A$ , nazvaný nulový vektor ve vektorových prostorech. Tato mapa je a monomorfismus, a proto je jeho obraz isomorfní ${0}$ . U modulů a vektorových prostorů toto podmnožina ${0} \subset A$ je jediný prázdný generovaný submodul (nebo 0-rozměrný lineární podprostor ) v každém modulu (nebo vektorovém prostoru) $A$ .

Jednotné struktury

The ${0}$ objekt je a koncový objekt jakékoli algebraické struktury, kde existuje, jak bylo popsáno výše. Ale jeho existence a, pokud existuje, vlastnost být počáteční objekt (a tedy a nulový objekt v kategorie-teoretická smysl) závisí na přesné definici multiplikativní identita 1 ve specifikované struktuře.

Pokud je definice $1$ to vyžaduje $1 \neq 0$ , pak ${0}$ objekt nemůže existovat, protože může obsahovat pouze jeden prvek. Zejména nulový kruh není a pole. Pokud matematici někdy mluví o a pole s jedním prvkem, tento abstraktní a poněkud záhadný matematický objekt není pole.

V kategoriích, kde multiplikativní identita musí být zachována morfismem, ale může se rovnat nule, ${0}$ objekt může existovat. Ale ne jako počáteční objekt, protože morfismus zachovávající identitu ${0}$ na jakýkoli objekt, kde $1 \neq 0$ neexistuje. Například v kategorie prstenů Prsten prsten z celá čísla Z je počáteční objekt, ne ${0}$ .

Pokud algebraická struktura vyžaduje multiplikativní identitu, ale ani její zachování morfismem, ani $1 \neq 0$ , pak existují nulové morfismy a situace se neliší od neunitálních struktur uvažovaných v předchozí části.

Zápis

Nulové vektorové prostory a nulové moduly jsou obvykle označeny $0$ (namísto ${0}$ ). To je vždy případ, kdy se vyskytnou v přesná sekvence.

Viz také

externí odkazy

David Sharpe (1987). Kroužky a faktorizace. Cambridge University Press. p.10 : triviální prsten. ISBN 0-521-33718-6.
Barile, Margherita. "Triviální modul". MathWorld.
Barile, Margherita. „Nulový modul“. MathWorld.