Kvocient abelianské kategorie - Quotient of an abelian category

v matematika, kvocient (také zvaný Serreův kvocient nebo Gabriel kvocient) z abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ podle a Podkategorie Serre ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je abelianská kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ ze kterého se intuitivně získává ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ignorováním (tj. zacházením s nula ) Všechno předměty z ${ displaystyle { mathcal {B}}}$. Existuje kanonický přesný funktor ${ displaystyle Q colon { mathcal {A}} do { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ jehož jádro je ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Definice

Formálně, ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ je kategorie jejichž objekty jsou ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a jehož morfismy z X na Y jsou dány přímý limit (z abelianské skupiny ) ${ displaystyle varinjlim mathrm {Hom} _ { mathcal {A}} (X ', Y / Y')}$ přes podobjekty ${ displaystyle X ' subseteq X}$ a ${ displaystyle Y ' subseteq Y}$ takhle ${ displaystyle X / X ' in { cal {B}}}$ a ${ displaystyle Y ' in { cal {B}}}$. (Tady, ${ displaystyle X / X '}$ a ${ displaystyle Y / Y '}$ označit kvocientové objekty vypočteno v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.) Složení morfismů v ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ je vyvolána univerzální vlastnictví přímého limitu.

Kanonický funktor ${ displaystyle Q colon { mathcal {A}} do { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ pošle objekt X pro sebe a morfismus ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ na odpovídající prvek přímého limitu s X' = X a Y ' = 0.

Příklady

Nechat ${ displaystyle k}$ být pole a zvažte kategorii abelian ${ displaystyle { rm {Mod}} (k)}$ ze všech vektorové prostory přes ${ displaystyle k}$. Pak celá podkategorie ${ displaystyle { rm {mod}} (k)}$ konečný-dimenzionální vector spaces is a Serre-subcategory of ${ displaystyle { rm {Mod}} (k)}$. Kvocient ${ displaystyle { cal {{C} = { rm {Mod}} (k) / { rm {mod}} (k)}}}$ má jako objekty ${ displaystyle k}$-vektorové mezery a množina morfismů z ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle Y}$ v ${ displaystyle { cal {C}}}$ je

(což je kvocient vektorových prostorů ). To má za následek identifikaci všech konečných trojrozměrných vektorových prostorů s 0 a identifikaci dvou lineární mapy kdykoli má jejich rozdíl konečný rozměr obraz.

Vlastnosti

Kvocient ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ je abelianská kategorie a kanonický funktor ${ displaystyle Q colon { mathcal {A}} do { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ je přesný. Jádro ${ displaystyle Q}$ je ${ displaystyle { mathcal {B}}}$, tj., ${ displaystyle Q (X)}$je nulový objekt z ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {B}}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle X}$ patří ${ displaystyle { mathcal {B}}}$.

Kvocient a kanonický funktor jsou charakterizovány následující univerzální vlastností: if ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je jakákoli abelianská kategorie a ${ displaystyle F colon { mathcal {A}} do { mathcal {C}}}$ je přesný funktor takový ${ displaystyle F (X)}$ je nulový objekt ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ pro každý objekt ${ displaystyle X v { mathcal {B}}}$, pak existuje jedinečný přesný funktor ${ displaystyle { overline {F}} dvojtečka { mathcal {A}} / { mathcal {B}} do { mathcal {C}}}$ takhle ${ displaystyle F = { overline {F}} circ Q}$.^[1]

Gabriel – Popescu

The Věta Gabriel – Popescu uvádí, že jakýkoli Kategorie Grothendieck ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je ekvivalentní kategorii kvocientu ${ displaystyle operatorname {Mod} (R) / { cal {B}}}$, kde ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$označuje abelianskou kategorii správných modulů nad některými jednotný prsten ${ displaystyle R}$, a ${ displaystyle { cal {B}}}$ je nějaký lokalizace podkategorie z ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$.^[2]

Reference

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.