Huzita – Hatoriho axiomy - Huzita–Hatori axioms

The Huzita – Justinovy ​​axiomy nebo Huzita – Hatoriho axiomy jsou souborem pravidel souvisejících s matematické principy skládání papíru, popisující operace, které lze provést při skládání papíru. The axiomy Předpokládejme, že operace jsou dokončeny v rovině (tj. dokonalý kus papíru) a že všechny záhyby jsou lineární. Nejedná se o minimální sadu axiomů, ale spíše o úplnou sadu možných jednotlivých záhybů.

Prvních sedm axiomů bylo poprvé objeveno francouzským spisovatelem a matematikem Jacques Justin v roce 1986.^[1] Axiomy 1 až 6 byly znovuobjeveny japonský -italština matematik Humiaki Huzita a hlášeno v první mezinárodní konference o origami ve vzdělávání a terapii v roce 1991. Axiomy 1, i když 5 byly znovuobjeveny Aucklym a Clevelandem v roce 1995. Axiom 7 byl znovuobjeven Koshiro Hatori v roce 2001; Robert J. Lang také našel axiom 7.

Sedm axiomů

Prvních 6 axiomů je známo jako Huzitovy axiomy. Axiom 7 objevil Koshiro Hatori. Jacques Justin a Robert J. Lang také nalezen axiom 7. Axiomy jsou následující:

1. Vzhledem ke dvěma odlišným bodům p₁ a p₂, je jedinečný záhyb, který prochází oběma z nich.
2. Vzhledem ke dvěma odlišným bodům p₁ a p₂, existuje jedinečný záhyb, který umisťuje p₁ na p₂.
3. Vzhledem k tomu, dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje l₁ na l₂.
4. Daný bod p₁ a řádek l₁, je kolmý na jedinečný záhyb l₁ který prochází bodem p₁.
5. Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂ a řádek l₁, je záhyb, který umisťuje p₁ na l₁ a prochází p₂.
6. Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂ a dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje p₁ na l₁ a p₂ na l₂.
7. Vzhledem k jednomu bodu p a dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje p na l₁ a je kolmá na l₂.

Axiom 5 může mít 0, 1 nebo 2 řešení, zatímco Axiom 6 může mít 0, 1, 2 nebo 3 řešení. Tímto způsobem jsou výsledné geometrie origami silnější než geometrie kompas a pravítko kde maximální počet řešení, který má axiom, je 2. Geometrie kompasu a přímky tedy řeší rovnice druhého stupně, zatímco geometrie origami nebo origametrie může řešit rovnice třetího stupně a řešit problémy, jako je úhlová trisekce a zdvojnásobení krychle. Konstrukce záhybu zaručená Axiom 6 vyžaduje „posunutí“ papíru, nebo neusis, což není povoleno u klasických konstrukcí kompasů a pravítek. Použití neusů společně s kompasem a pravítkem umožňuje trisekci libovolného úhlu.

Detaily

Axiom 1

Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂, je jedinečný záhyb, který prochází oběma z nich.

V parametrickém tvaru je rovnice pro přímku, která prochází dvěma body, následující:

${ displaystyle F (s) = p_ {1} + s (p_ {2} -p_ {1}).}$

Axiom 2

Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂, existuje jedinečný záhyb, který umisťuje p₁ na p₂.

To je ekvivalentní zjištění kolmé osy úsečky p₁p₂. To lze provést ve čtyřech krocích:

• Použití Axiom 1 najít linku p₁ a p₂, dána ${ displaystyle P (s) = p_ {1} + s (p_ {2} -p_ {1})}$
• Najít střed z p_střední z P(s)
• Najděte vektor proti^pachatel kolmo na P(s)
• The parametrická rovnice záhybu je pak:

${ displaystyle F (s) = p _ { mathrm {mid}} + s cdot mathbf {v} ^ { mathrm {perp}}.}$

Axiom 3

Vzhledem k tomu, dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje l₁ na l₂.

To odpovídá nalezení úhlu úhlu mezi l₁ a l₂. Nechat p₁ a p₂ být libovolné dva body l₁a nechte q₁ a q₂ být libovolné dva body l₂. Také nechte u a proti být jednotkovými vektory směru l₁ a l₂, v uvedeném pořadí; to je:

${ displaystyle mathbf {u} = (p_ {2} -p_ {1}) / vlevo | (p_ {2} -p_ {1}) vpravo |}$

${ displaystyle mathbf {v} = (q_ {2} -q_ {1}) / left | (q_ {2} -q_ {1}) right |.}$

Pokud dvě čáry nejsou rovnoběžné, jejich průsečík je:

${ displaystyle p _ { mathrm {int}} = p_ {1} + s _ { mathrm {int}} cdot mathbf {u}}$

kde

${ displaystyle s_ {int} = - { frac { mathbf {v} ^ { perp} cdot (p_ {1} -q_ {1})} { mathbf {v} ^ { perp} cdot mathbf {u}}}.}$

Směr jednoho z půlen je pak:

${ displaystyle mathbf {w} = { frac { vlevo | mathbf {u} vpravo | mathbf {v} + vlevo | mathbf {v} vpravo | mathbf {u}} { vlevo | mathbf {u} right | + left | mathbf {v} right |}}.}$

A parametrická rovnice záhybu je:

${ displaystyle F (s) = p _ { mathrm {int}} + s cdot mathbf {w}.}$

Existuje také druhá osa, kolmá k první a procházející skrz p_int. Přeložením podél tohoto druhého půlícího řezu také dosáhnete požadovaného výsledku umístění l₁ na l₂. V závislosti na umístění průsečíku nemusí být možné provést jeden nebo druhý z těchto záhybů.

Pokud jsou tyto dvě čáry rovnoběžné, nemají žádný průsečík. Přehyb musí být čára uprostřed l₁ a l₂ a souběžně s nimi.

Axiom 4

Daný bod p₁ a řádek l₁, je kolmý na jedinečný záhyb l₁ který prochází bodem p₁.

To odpovídá nalezení kolmice na l₁ který prochází p₁. Pokud najdeme nějaký vektor proti to je kolmé na přímku l₁, pak parametrická rovnice záhybu je:

${ displaystyle F (s) = p_ {1} + s cdot mathbf {v}.}$

Axiom 5

Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂ a řádek l₁, je záhyb, který umisťuje p₁ na l₁ a prochází p₂.

Tento axiom je ekvivalentní k nalezení průsečíku úsečky s kružnicí, takže může mít 0, 1 nebo 2 řešení. Řádek je definován l₁a kruh má střed v p₂a poloměr rovný vzdálenosti od p₂ na p₁. Pokud čára neprotíná kruh, neexistují žádná řešení. Pokud je čára tečná ke kruhu, existuje jedno řešení a pokud čára protíná kruh na dvou místech, existují dvě řešení.

Pokud známe dva body na přímce, (X₁, y₁) a (X₂, y₂), pak lze řádek vyjádřit parametricky jako:

${ displaystyle x = x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1})}$

${ displaystyle y = y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1}).}$

Nechte kruh definovat jeho středem v p₂=(X_C, y_C), s poloměrem ${ displaystyle r = left | p_ {1} -p_ {2} right |}$. Potom lze kruh vyjádřit jako:

${ displaystyle (x-x_ {c}) ^ {2} + (y-y_ {c}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Abychom určili průsečíky přímky s kružnicí, dosadíme X a y součásti rovnice pro přímku do rovnice pro kružnici, přičemž:

${ displaystyle (x_ {1} + s (x_ {2} -x_ {1}) - x_ {c}) ^ {2} + (y_ {1} + s (y_ {2} -y_ {1}) -y_ {c}) ^ {2} = r ^ {2}.}$

Nebo zjednodušené:

${ displaystyle as ^ {2} + bs + c = 0}$

kde:

${ displaystyle a = (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}$

${ displaystyle b = 2 (x_ {2} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {c}) + 2 (y_ {2} -y_ {1}) (y_ {1} -y_ {c })}$

${ displaystyle c = x_ {c} ^ {2} + y_ {c} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} -2 (x_ {c} x_ {1 } + y_ {c} y_ {1}) - r ^ {2}.}$

Pak jednoduše vyřešíme kvadratickou rovnici:

${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Pokud je diskriminující b² − 4ac <0, neexistují žádná řešení. Kruh neprotíná a nedotýká se čáry. Pokud je diskriminátor roven 0, pak existuje jediné řešení, kde je přímka tečná ke kružnici. A pokud je diskriminátor větší než 0, existují dvě řešení představující dva průsečíky. Říkejme řešení d₁ a d₂, pokud existují. Máme 0, 1 nebo 2 úsečky:

${ displaystyle m_ {1} = { overline {p_ {1} d_ {1}}}}$

${ displaystyle m_ {2} = { overline {p_ {1} d_ {2}}}.}$

Záhyb F₁(s) kolmo na m₁ přes jeho střed se umístí p₁ na lince v místě d₁. Podobně záhyb F₂(s) kolmo na m₂ přes jeho střed se umístí p₁ na lince v místě d₂. Aplikace Axiomu 2 toho snadno dosáhne. Parametrické rovnice záhybů jsou tedy:

${ displaystyle { begin {aligned} F_ {1} (s) & = p_ {1} + { frac {1} {2}} (d_ {1} -p_ {1}) + s (d_ {1 } -p_ {1}) ^ { perp} [8pt] F_ {2} (s) & = p_ {1} + { frac {1} {2}} (d_ {2} -p_ {1 }) + s (d_ {2} -p_ {1}) ^ { perp}. end {zarovnáno}}}$

Axiom 6

Vzhledem ke dvěma bodům p₁ a p₂ a dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje p₁ na l₁ a p₂ na l₂.

Tento axiom je ekvivalentní k nalezení přímky tečné současně se dvěma parabolami a lze jej považovat za ekvivalent řešení rovnice třetího stupně, protože obecně existují tři řešení. Tyto dvě paraboly mají ohniska p₁ a p₂s příslušnými adresáři definovanými l₁ a l₂, resp.

Tento záhyb se nazývá Belochův záhyb po Margharita P. Beloch, který v roce 1936 pomocí ní ukázal, že origami lze použít k řešení obecných kubických rovnic.^[2]

Axiom 7

Vzhledem k jednomu bodu p a dva řádky l₁ a l₂, je záhyb, který umisťuje p na l₁ a je kolmá na l₂.

Tento axiom původně objevil Jacques Justin v roce 1989, ale byl přehlédnut a znovu jej objevil Koshiro Hatori v roce 2002.^[3] Robert J. Lang prokázal, že tento seznam axiomů doplňuje axiomy origami.^[4]

Stavitelnost

Podmnožiny axiomů lze použít ke konstrukci různých množin čísel. První tři lze použít se třemi danými body, které nejsou na přímce, k tomu, co Alperin nazývá thalianské konstrukce.^[5]

První čtyři axiomy se dvěma danými body definují systém slabší než konstrukce kompasu a pravítka: každý tvar, který lze s těmito axiomy složit, lze sestavit pomocí kompasu a pravítka, ale některé věci lze sestavit pomocí kompasu a pravítka, které nelze s těmito axiomy složit.^[6] Čísla, která lze sestrojit, se nazývají čísla origami nebo pythagorova čísla, pokud je vzdálenost mezi dvěma danými body 1, pak jsou konstruovatelné body všechny ve formě ${ displaystyle ( alpha, beta)}$ kde ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou Pytagorova čísla. Pythagorova čísla jsou dána nejmenším polem obsahujícím racionální čísla a ${ displaystyle { sqrt {1+ alpha ^ {2}}}}$ kdykoli ${ displaystyle alpha}$ je takové číslo.

Přidání pátého axiomu dává Euklidovská čísla, to jsou body konstruovatelné pomocí konstrukce kompasu a pravítka.

Přidání neusis lze vytvořit axiom 6, všechny konstrukce kompasu a další. Zejména konstruovatelný pravidelné polygony s těmito axiomy jsou ty s ${ displaystyle 2 ^ {a} 3 ^ {b} rho geq 3}$ strany, kde ${ displaystyle rho}$ je produktem zřetelného Pierpont připravuje. Konstrukce s pravítkem kompasu umožňují pouze ty s ${ displaystyle 2 ^ {a} phi geq 3}$ strany, kde ${ displaystyle phi}$ je produktem zřetelného Fermat připraví. (Fermatova prvočísla jsou a podmnožina Pierpontových prvočísel.)

Sedmý axiom neumožňuje konstrukci dalších axiomů. Sedm axiomů poskytuje všechny jednoduché konstrukce, které lze provést, spíše než minimální soubor axiomů.

Osmý axiom

Existenci osmého axiomu tvrdil Lucero v roce 2017, což lze konstatovat jako: existuje záhyb podél dané linie l₁.^[7] Nový axiom byl nalezen po výčtu všech možných výskytů mezi konstruktivními body a liniemi v rovině.^[8] Ačkoli nevytváří novou linii, je ve skutečném skládání papíru nutná, když je nutné skládat vrstvu papíru podél čáry vyznačené na vrstvě bezprostředně pod ní.

Reference

externí odkazy

• Geometrické konstrukce Origami Thomas Hull
• Matematická teorie konstrukcí a čísel Origami Roger C. Alperin
• Lang, Robert J. (2003). „Origami a geometrické konstrukce“ (PDF). Robert J. Lang. Citováno 2007-04-12. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)