Duální objekt - Dual object

v teorie kategorií, pobočka matematika, a dvojitý objekt je analogií a duální vektorový prostor z lineární algebra pro předměty libovolně monoidní kategorie. Je to jen částečné zobecnění založené na kategorických vlastnostech dualita pro konečně-dimenzionální vektorové prostory. Objekt připouštějící dvojku se nazývá a aktualizovatelný objekt. V tomto formalizmu nejsou nekonečné trojrozměrné vektorové prostory dualizovatelné, protože duální vektorový prostor PROTI^∗ nevyhovuje axiomy.^[1] Objekt je často dualizovatelný, pouze pokud splňuje nějakou vlastnost konečnosti nebo kompaktnosti.^[2]

A kategorie ve kterém má každý objekt dvojku autonomní nebo tuhý. Kategorie konečných trojrozměrných vektorových prostorů se standardem tenzorový produkt je rigidní, zatímco kategorie všech vektorových prostorů není.

Motivace

Nechat PROTI být konečným trojrozměrným vektorovým prostorem nad některými pole K.. Standardní pojem a duální vektorový prostor PROTI^∗ má následující vlastnost: pro libovolné K.-vektorové mezery U a Ž tady je přídavné jméno Hom_K.(U ⊗ PROTI,Ž) = Hom_K.(U, PROTI^∗ ⊗ Ž), a to charakterizuje PROTI^∗ až jedinečný izomorfismus. Tento výraz má smysl v jakékoli kategorii s vhodnou náhradou za tenzorový produkt vektorových prostorů. Pro všechny monoidní kategorie (C, ⊗) lze se pokusit definovat duální objekt PROTI být objektem PROTI^∗ ∈ C s přirozený izomorfismus z bifunktory

Hom_C((–)₁ ⊗ PROTI, (–)₂) → Hom_C((–)₁, PROTI^∗ ⊗ (–)₂)

Pro dobře vychovaný pojem duality by tato mapa měla být nejen přirozená ve smyslu teorie kategorií, ale měla by nějakým způsobem respektovat monoidní strukturu.^[1] Skutečná definice duálního objektu je tak komplikovanější.

V uzavřená monoidní kategorie C, tj. monoidní kategorie s interní Hom funktorem, alternativním přístupem je simulace standardní definice duálního vektorového prostoru jako prostoru funkcionáři. Pro objekt PROTI ∈ C definovat PROTI^∗ být ${displaystyle {underline {mathrm {Hom}}} _ {C} (V, mathbb {1} _ {C})}$, kde 1_C je monoidní identita. V některých případech bude tento objekt dvojím objektem PROTI v jistém smyslu výše, ale obecně to vede k jiné teorii.^[3]

Definice

Zvažte objekt ${displaystyle X}$ v monoidní kategorie ${displaystyle (mathbf {C}, otimes, I, alpha, lambda, ho)}$. Objekt ${displaystyle X ^ {*}}$ se nazývá a vlevo dvojí z ${displaystyle X}$ pokud existují dva morfismy

${displaystyle eta: I o Xotimes X ^ {*}}$, nazvaný koevaluace, a ${displaystyle varepsilon: X ^ {*} často X o I}$, nazvaný hodnocení,

takové, že dojíždějí následující dva diagramy:

a

Objekt ${displaystyle X}$ se nazývá pravý duální z ${displaystyle X ^ {*}}$. Tato definice je způsobena Dold & Puppe (1980).

Levé duály jsou kanonicky izomorfní, když existují, stejně jako pravé duály. Když C je pletené (nebo symetrický ), každý levý duální je také pravý duální a naopak.

Pokud vezmeme v úvahu monoidní kategorii jako a dvoukategorie s jedním objektem je dvojitý pár přesně adjunkční pár.

Příklady

• Zvažte monoidní kategorii (Vect_K., ⊗_K.) vektorových prostorů nad polem K. se standardním tenzorovým produktem. Prostor PROTI je dualizovatelný právě tehdy, je-li konečně-dimenzionální, a v tomto případě duální objekt PROTI^∗ se shoduje se standardním pojmem a duální vektorový prostor.
• Zvažte monoidní kategorii (Mod_R, ⊗_R) z moduly přes komutativní prsten R se standardem tenzorový produkt. Modul M je dualizovatelný právě tehdy, pokud se jedná o a definitivně generováno projektivní modul. V takovém případě dvojí objekt M^∗ je také dán modulem homomorfismy Hom_R(M, R).
• Zvažte a kategorie homotopy z špičatý spektra Ho (Sp) s rozbít produkt jako monoidní struktura. Li M je kompaktní sousedství zatáhnout v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (například kompaktní hladký potrubí ), pak odpovídající špičaté spektrum Σ^∞(M⁺) je dualizovatelný. To je důsledek Spanier – Whiteheadská dualita, což zejména znamená Poincaré dualita pro kompaktní rozdělovače.^[1]
• Kategorie ${displaystyle mathrm {End} (mathbf {C})}$ z endofunktory kategorie ${displaystyle mathbf {C}}$ je monoidní kategorie ve složení funktory. Funktor ${displaystyle F}$ je levý dvojník funktoru ${displaystyle G}$ iff ${displaystyle F}$ je vlevo přidružen k ${displaystyle G}$.^[4]

Kategorie s duálními

Monoidální kategorie, kde má každý objekt levý (respektive pravý) dvojník, se někdy nazývá a vlevo, odjet (příslušně vpravo) autonomní kategorie. Algebraické geometry říkej tomu a vlevo, odjet (příslušně vpravo) rigidní kategorie. Monoidální kategorie, kde každý objekt má levý i pravý dvojník, se nazývá an autonomní kategorie. Autonomní kategorie, která je také symetrický se nazývá a kompaktní uzavřená kategorie.

Stopy

Jakýkoli endomorfismus F dualizovatelného objektu připouští a stopa, což je určitý endomorfismus monoidní jednotky C. Tento pojem zahrnuje jako velmi zvláštní případy stopa v lineární algebře a Eulerova charakteristika a řetězový komplex.

Viz také

• Dualizace objektu

Reference

• Dold, Albrecht; Puppe, Dieter (1980), „Dualita, stopa a přenos“, Sborník mezinárodní konference o geometrické topologii (Varšava, 1978), PWN, Varšava, s. 81–102, PAN  0656721
• Peter Freyd a David Yetter (1989). „Pletené kompaktní uzavřené kategorie s aplikacemi pro nízkodimenzionální topologii“. Pokroky v matematice. 77 (2): 156–182. doi:10.1016/0001-8708(89)90018-2.
• André Joyal a Ross Street. "Geometrie tenzorového počtu II". Synthese Library. 259: 29–68.

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.