Ideální (teorie objednávek) - Ideal (order theory) - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematický teorie objednávek, an ideál je speciální podmnožina a částečně objednaná sada (poset). Ačkoli tento termín historicky byl odvozen z pojmu a ideální prsten z abstraktní algebra, následně byla zobecněna na jinou představu. Ideály mají velký význam pro mnoho staveb v pořádku a teorie mřížky.

Základní definice

Podmnožina Já částečně objednané sady (P, ≤) je ideál, pokud platí následující podmínky:^[1][2]

1. Já je neprázdný,
2. pro každého X v Já, jakýkoli y v P a y ≤ X to naznačuje y je v Já. (Já je spodní sada ), a
3. pro každého X, y v Já, existuje nějaký prvek z v Já, takový, že X ≤ z a y ≤ z. (Já je řízená sada ).

I když je to nejobecnější způsob, jak definovat ideál pro libovolné posety, byl původně definován pro mříže pouze. V tomto případě lze uvést následující ekvivalentní definici: podmnožina Já mříže (P, ≤) je ideální kdyby a jen kdyby je to nižší množina, která je uzavřena pod konečnými spoji (suprema ), tj. je neprázdný a pro všechny X, y v Jáprvek ${ displaystyle x vee y}$ z P je také v Já.^[3]

The dvojí pojem ideálu, tj. koncept získaný obrácením všech ≤ a výměnou ${ displaystyle vee}$ s ${ displaystyle klín}$, je filtr.

Někteří autoři používají termín ideální k označení nižší množiny, tj. Zahrnují pouze podmínku 2 výše,^[4][5] zatímco jiní používají tento výraz objednat ideální pro tuto slabší představu.^[6] Se slabší definicí, ideál mřížky vnímané jako poseta není uzavřen pod spoji, takže to nemusí být nutně ideál mřížky.^[6] Wikipedia používá pouze „ideální / filtr (teorie řádu)“ a „dolní / horní sada“, aby nedocházelo k nejasnostem.

Frink ideály, pseudoeally a Doyle pseudoideals jsou různé zobecnění pojmu mřížkový ideál.

Říká se, že je ideální nebo filtr správně pokud se nerovná celé sadě P.^[3]

Nejmenší ideál, který obsahuje daný prvek p je hlavní ideál a p se říká, že je hlavní prvek ideálu v této situaci. Hlavní ideál ${ displaystyle downarrow p}$ pro jistinu p je tedy dána ${ displaystyle downarrow p}$ = {X vP | X ≤ p}.

Připravte ideály

Důležitým zvláštním případem ideálu jsou ty ideály, jejichž množinově-teoretickými doplňky jsou filtry, tj. Ideály v opačném pořadí. Takovým ideálům se říká hlavní ideály. Všimněte si také, že protože požadujeme, aby ideály a filtry nebyly prázdné, každý hlavní ideál je nutně správné. U svazů lze hlavní ideály charakterizovat takto:

Podmnožina Já mříže (P, ≤) je prvotřídním ideálem, právě když

1. Já je správný ideál P, a
2. pro všechny prvky X a y z P, X${ displaystyle klín}$y v Já to naznačuje X je v Já nebo y je v Já.

Snadno se zkontroluje, zda je to skutečně ekvivalentní tvrzení, že P \ Já je filtr (který je pak také primární, ve dvojím smyslu).

Pro úplná mříž další pojem a úplně prvotřídní ideál je smysluplné. Je definován jako správný ideál Já s další vlastností, že kdykoli se setkáte (infimum ) nějaké libovolné množiny A je v Já, nějaký prvek z A je také v Já. Jedná se tedy pouze o konkrétní hlavní ideál, který rozšiřuje výše uvedené podmínky na nekonečné splnění.

Existence hlavních ideálů obecně není zřejmá a často nelze uspokojivé množství hlavních ideálů odvodit v rámci ZF (Teorie množin Zermelo – Fraenkel bez axiom volby ). Tato otázka je diskutována v různých oblastech připravte ideální věty, které jsou nezbytné pro mnoho aplikací, které vyžadují hlavní ideály.

Maximální ideály

Ideál Já je maximální pokud je to správné a není správně ideál J to je přísná nadmnožina Já. Podobně filtr F je maximální, pokud je správné a neexistuje žádný vlastní filtr, který by byl přísnou nadmnožinou.

Když je poset a distribuční mříž, maximální ideály a filtry jsou nutně prvotřídní, zatímco obrácení tohoto tvrzení je obecně nepravdivé.

Někdy se nazývají maximální filtry ultrafiltry, ale tato terminologie je často vyhrazena pro booleovské algebry, kde maximální filtr (ideální) je filtr (ideální), který obsahuje přesně jeden z prvků {A, ¬A}, pro každý prvek A booleovské algebry. V booleovských algebrách jsou to termíny hlavní ideál a maximální ideál shodovat, stejně jako podmínky primární filtr a maximální filtr.

Existuje další zajímavý pojem maximality ideálů: Zvažte ideál Já a filtr F takhle Já je disjunktní z F. Zajímá nás ideál M to je maximální ze všech ideálů, které obsahují Já a jsou disjunktní od F. V případě distribučních svazů jako M je vždy hlavním ideálem. Následuje důkaz tohoto tvrzení.

Důkaz. Předpokládejme ideální M je maximální s ohledem na disjunktivitu z filtru F. Předpokládejme rozpor M není prvočíslo, tj. existuje dvojice prvků A a b takhle A${ displaystyle klín}$b v M ale ani jeden A ani b jsou v M. Zvažte případ pro všechny m v M, m${ displaystyle vee}$A není v F. Lze postavit ideál N přijetím uzavření sestavy všech binárních spojení této formy směrem dolů, tj. N = { X | X≤ m${ displaystyle vee}$A pro některé m v M}. To se snadno zkontroluje N je skutečně ideální disjunkt od F což je přísně větší než M. Ale to je v rozporu s maximálností M a tedy předpoklad, že M není prime.

V druhém případě předpokládejme, že nějaké existují m v M s m${ displaystyle vee}$A v F. Teď pokud nějaký prvek n v M je takový n${ displaystyle vee}$b je v F, jeden zjistí, že (m${ displaystyle vee}$n)${ displaystyle vee}$b a (m${ displaystyle vee}$n)${ displaystyle vee}$A jsou oba v F. Ale pak je jejich setkání dovnitř F a distribucí (m${ displaystyle vee}$n) ${ displaystyle vee}$(A${ displaystyle klín}$b) je v F také. Na druhou stranu, toto konečné spojení prvků M je jasně v M, takže předpokládaná existence n je v rozporu s disjunktností obou sad. Proto všechny prvky n z M spojit se s b to není v F. V důsledku toho lze výše uvedenou konstrukci použít s b namísto A získat ideál, který je přísně větší než M zatímco je disjunktní od F. Tím je důkaz dokončen.

Obecně však není jasné, zda existuje nějaký ideál M to je v tomto smyslu maximální. Přesto, pokud předpokládáme axiom volby v naší teorii množin pak existence M pro každý disjunktní filtr - lze zobrazit ideální pár. Ve zvláštním případě, že se jedná o objednávku Booleova algebra, tato věta se nazývá Booleova primární věta o ideálu. Je přísně slabší než axiom výběru a ukazuje se, že pro mnoho řádově-teoretických aplikací ideálů není potřeba nic víc.

Aplikace

Konstrukce ideálů a filtrů je důležitým nástrojem v mnoha aplikacích teorie objednávek.

• v Stoneova věta o reprezentaci pro booleovské algebry, maximální ideály (nebo ekvivalentně prostřednictvím mapy negace ultrafiltry) se používají k získání množiny bodů topologický prostor, jehož clopen soupravy jsou izomorfní k původní booleovské algebře.
• Teorie objednávek zná mnoho dokončovací postupy, přeměnit posety na posety s dalšími úplnost vlastnosti. Například ideální dokončení dané dílčí objednávky P je soubor všech ideálů P seřazeno podle zařazení podmnožiny. Tato konstrukce přináší volný, uvolnit dcpo generováno uživatelem P. Ideál je jistina, právě když je kompaktní v ideálním dokončení, takže původní poset lze obnovit jako subposet skládající se z kompaktních prvků. Navíc každý algebraické dcpo lze rekonstruovat jako ideální doplněk jeho sady kompaktních prvků.

Dějiny

Ideály představil jako první Marshall H. Stone, kteří odvozili své jméno od prstenových ideálů abstraktní algebry. Přijal tuto terminologii, protože pomocí izomorfismus kategorií z Booleovy algebry a ze dne Booleovské prsteny, tyto dva pojmy se skutečně shodují.

Literatura

Ideály a filtry patří mezi nejzákladnější pojmy teorie řádu. Viz úvodní knihy uvedené pro teorie objednávek a teorie mřížky a literaturu o Booleova primární věta o ideálu.

Viz také

• Filtr (matematika)
• Ideální (prstenová teorie)
• Ideální (teorie množin)

Poznámky

Reference

• Burris, Stanley N .; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Kurz univerzální algebry. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2.
• Davey, Brian A .; Priestley, Hilary Ann (2002). Úvod do mřížek a řádu (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  0-521-78451-4.
• Lawson, M.V. (1998). Inverzní poloskupiny: teorie parciálních symetrií. World Scientific. ISBN  978-981-02-3316-7.
• Stanley, R.P. (2002). Enumerativní kombinatorika. Cambridge studium pokročilé matematiky. 1. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-66351-9.
• Taylor, Paul (1999), Praktické základy matematiky, Cambridge studia pokročilé matematiky, 59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN  0-521-63107-6, PAN  1694820