Kamenný prostor - Stone space

v topologie a související oblasti matematika, a Kamenný prostor, také známý jako a nekonečný prostor,^[1] je kompaktní úplně odpojen Hausdorffův prostor.^[2] Kamenné prostory jsou pojmenovány po Marshall Harvey Stone který je představil a studoval ve třicátých letech minulého století při vyšetřování Booleovy algebry, který vyvrcholil v jeho věta o reprezentaci pro booleovské algebry.

Rovnocenné podmínky

Následující podmínky týkající se topologického prostoru X jsou ekvivalentní:^[2][1]

• X je kamenný prostor;
• X je homeomorfní do projektivní limit (v kategorie topologických prostorů ) inverzního systému konečných diskrétní prostory;
• X je kompaktní a úplně oddělené;
• X je kompaktní, T₀ , a nulový rozměr (ve smyslu malý indukční rozměr );
• X je koherentní a Hausdorff.

Příklady

Mezi důležité příklady kamenných prostor patří konečný diskrétní prostory, Cantor set a prostor Z_p z p-adická celá čísla, kde p je jakýkoli prvočíslo. Zobecnění těchto příkladů, jakékoli produkt konečných diskrétních prostorů je kamenný prostor a topologický prostor pod ním profinitní skupina je kamenný prostor. The Zhutnění Stone – Čech přirozených čísel s diskrétní topologií, nebo dokonce s jakýmkoli diskrétním prostorem, je kamenný prostor.

Stoneova věta o reprezentaci pro booleovské algebry

Každému Booleova algebra B můžeme spojit kamenný prostor S(B) takto: prvky S(B) jsou ultrafiltry na Ba topologie zapnuta S(B), nazvaný Kamenná topologie, je generován množinami formuláře {F∈S(B) : b∈F}, kde b je prvek B.

Stoneova věta o reprezentaci pro booleovské algebry uvádí, že každá booleovská algebra je izomorfní s booleovskou algebrou clopen soupravy Kamenného prostoru S(B); a navíc každý kamenný prostor X je homeomorfní s kamenným prostorem patřícím do booleovské algebry clopenových sad X. Tyto úkoly jsou funkční, a získáme a kategorie - teoretická dualita mezi kategorií booleovských algeber (s homomorfismem jako morfismem) a kategorií kamenných prostorů (s kontinuálními mapami jako morfismem).

Stoneova věta dala vzniknout řadě podobných dualit, nyní souhrnně známých jako Kamenné duality.

Další čtení

• Peter Johnstone, Kamenné prostory, Cambridge University Press, 1982

Viz také

• Zhutnění Stone – Čech # Konstrukce pomocí ultrafiltrů

Reference