Křivka komplex - Curve complex

v matematika, křivkový komplex je zjednodušený komplex C(S) spojené s konečným typem povrch S, který kóduje kombinatoriku jednoduché uzavřené křivky naS. Ukázalo se, že komplex křivek je základním nástrojem při studiu geometrie Teichmüllerův prostor, z mapování skupin tříd a ze dne Kleinianské skupiny. To bylo představeno WJ Harvey v roce 1978.

Křivkové komplexy

Definice

Nechat ${ displaystyle S}$ být spojeným orientovaným povrchem konečného typu. Přesněji řečeno ${ displaystyle S = S_ {g, b, n}}$ být spojeným orientovaným povrchem rodu ${ displaystyle g geq 0}$ s ${ displaystyle b geq 0}$ mezní složky a ${ displaystyle n geq 0}$ propíchnutí.

The křivkový komplex ${ displaystyle C (S)}$ je zjednodušený komplex definovaný takto:^[1]

• Vrcholy jsou volné třídy homotopy esenciální (ani homotopicky triviální, ani obvodový ) jednoduché uzavřené křivky ${ displaystyle S}$;
• Li ${ displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$ představují odlišné vrcholy ${ displaystyle C (S)}$, překlenují simplex právě tehdy, pokud je lze homotopovat tak, aby byly párově disjunktní.

Příklady

Pro povrchy s malou složitostí (v podstatě torus, propíchnutý torus a koule se čtyřmi otvory), s definicí nad komplexem křivky, má nekonečně mnoho propojených komponent. Jeden může dát alternativní a užitečnější definici spojením vrcholů, pokud mají odpovídající křivky minimální průsečík. S touto alternativní definicí je výsledný komplex isomorfní s Farey graf.

Geometrie komplexu křivek

Základní vlastnosti

Li ${ displaystyle S}$ je kompaktní povrch rodu ${ displaystyle g}$ s ${ displaystyle b}$ hraniční komponenty rozměr ${ displaystyle C (S)}$ je rovný ${ displaystyle xi (S) = 3g-3 + b}$. V následujícím budeme předpokládat, že ${ displaystyle xi (S) geq 2}$. Komplex křivek není nikdy lokálně konečný (tj. Každý vrchol má nekonečně mnoho sousedů). Výsledek Harera ^[2] tvrdí to ${ displaystyle C (S)}$ je ve skutečnosti homotopicky ekvivalentní do a klínový součet koulí.

Čísla křižovatek a zapnutá vzdálenost C(S)

Kombinatorická vzdálenost na 1 kostře ${ displaystyle C (S)}$ souvisí s průsečíkem mezi jednoduchými uzavřenými křivkami na ploše, což je nejmenší počet průsečíků dvou křivek ve třídách izotopy. Například^[3]

${ displaystyle d_ {S} ( alpha, beta) leq 2 log _ {2} (i ( alpha, beta)) + 2}$

pro libovolné dvě nedisjunktní jednoduché uzavřené křivky ${ displaystyle alpha, beta}$. Lze porovnávat v opačném směru, ale výsledky jsou mnohem jemnější (například neexistuje jednotná dolní mez ani pro daný povrch) a je těžší je dokázat.^[4]

Hyperbolicita

Dokázal to Masur a Minsky^[5] že komplex křivek je a Gromov hyperbolický prostor. Pozdější práce různých autorů poskytly alternativní důkazy o této skutečnosti a lepší informace o hyperboličnosti.^[4][6]

Vztah se skupinou tříd mapování a Teichmüllerovým prostorem

Akce skupiny mapovacích tříd

The skupina tříd mapování z ${ displaystyle S}$ působí na komplex ${ displaystyle C (S)}$ přirozeným způsobem: působí na vrcholy pomocí ${ displaystyle phi cdot alpha = phi _ {*} alfa}$ a to se vztahuje i na akci v celém komplexu. Tato akce umožňuje prokázat mnoho zajímavých vlastností skupin tříd mapování.^[7]

Zatímco skupina tříd mapování sama o sobě není hyperbolická skupina, Skutečnost, že ${ displaystyle C (S)}$ je hyperbolický, stále má důsledky pro svou strukturu a geometrii.^[8][9]

Srovnání s Teichmüllerovým prostorem

Existuje přirozená mapa z Teichmüllerův prostor do komplexu křivek, který převezme výrazné hyperbolické struktury do souboru uzavřených křivek realizujících nejmenší možnou délku ( systola ). Umožňuje odečíst určité geometrické vlastnosti druhé, zejména vysvětluje empirickou skutečnost, že zatímco Teichmüllerův prostor sám o sobě není hyperbolický, zachovává si určité rysy hyperbolicity.

Aplikace na trojrozměrnou topologii

Heegaardské štípání

Jednoduchý vstup ${ displaystyle C (S)}$ určuje "plnění" ${ displaystyle S}$ na řídítka. Výběr dvou jednoduchých funkcí v ${ displaystyle C (S)}$ tedy určuje a Heegaardovo rozdělení trojitého potrubí,^[10] s dalšími daty Heegaardova diagramu (maximální systém disjunktních jednoduchých uzavřených křivek ohraničujících disky pro každé ze dvou řídítek). Některé vlastnosti rozdělení Heegaard lze velmi efektivně odečíst z relativních pozic jednoduchých prvků:

• rozdělení je redukovatelné právě tehdy, má-li diagram představovaný jednoduchostmi, které mají společný vrchol;
• rozdělení je slabě redukovatelné právě tehdy, pokud má diagram představovaný jednoduchostmi, které jsou spojeny hranou.

Obecně minimální vzdálenost mezi zjednodušením představujícím diagram rozdělení může poskytnout informace o topologii a geometrii (ve smyslu domněnka o geometrizaci potrubí) a naopak.^[10] Hlavním principem je, že minimální vzdálenost Heegaardova rozdělení je měřítkem složitosti potrubí.^[11]

Kleinianské skupiny

Jako zvláštní případ filozofie předchozího odstavce je geometrie komplexu křivek důležitým nástrojem k propojení kombinačních a geometrických vlastností hyperbolických 3-variet, a proto je užitečným nástrojem při studiu Kleinianových skupin.^[12] Například byl použit v dokladu o končící domněnka laminace.^[13][14]

Náhodné rozdělovače

Možným modelem pro náhodné 3-rozdělovače je použití náhodných rozdělení Heegaard.^[15] Důkaz, že tento model je hyperbolický téměř jistě (v určitém smyslu), využívá geometrii komplexu křivek.^[16]

Poznámky

Reference

• Harvey, W. J. (1981). "Hraniční struktura modulární skupiny". Riemann Surfaces a související témata. Sborník konference z roku 1978 v Stony Brook . 1981.
• Bowditch, Brian H. (2006). "Průniková čísla a hyperbolicita komplexu křivky". J. Reine Angew. Matematika. 598: 105–129. PAN  2270568.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Hempel, John (2001). Msgstr "3-potrubí při pohledu z komplexu křivky". Topologie. 40 (3): 631–657. arXiv:matematika / 9712220. doi:10.1016 / s0040-9383 (00) 00033-1. PAN  1838999.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Ivanov, Nikolai (1992). Podskupiny modulárních skupin Teichmüller. Americká matematika. Soc.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Masur, Howard A .; Minsky, Yair N. (1999). „Geometrie komplexu křivek. I. Hyperbolicita“. Vymyslet. Matematika. 138 (1): 103–149. arXiv:matematika / 9804098. Bibcode:1999InMat.138..103M. doi:10,1007 / s002220050343. PAN  1714338.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Schleimer, Saul (2006). „Poznámky ke komplexu křivek“ (PDF).CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Benson Farb a Dan Margalit, Základní nátěr na mapování skupin tříd. Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. ISBN  978-0-691-14794-9