KOCOUR (k) prostor - CAT(k) space
v matematika, a prostor, kde je reálné číslo, je specifický typ metrický prostor. Intuitivně, trojúhelníky v prostor je "štíhlejší" než odpovídající "modelové trojúhelníky" ve standardním prostoru konstantní zakřivení . V prostor, zakřivení je ohraničeno shora . Pozoruhodný zvláštní případ je ; kompletní mezery jsou známé jako „Hadamardovy prostory " po francouzština matematik Jacques Hadamard.
Původně, Aleksandrov nazval tyto prostory „ terminologie byl vytvořen Michail Gromov v roce 1987 a je akronym pro Élie Cartan, Aleksandr Danilovič Aleksandrov a Victor Andreevich Toponogov (ačkoli Toponogov nikdy nezkoumal zakřivení ohraničené výše v publikacích).
Definice

Pro reálné číslo , nechť označit jedinečnou úplnost jednoduše připojeno povrch (skutečný 2-dimenzionální Riemannovo potrubí ) s konstantním zakřivením . Označit podle the průměr z , který je -li a pro .
Nechat být geodetický metrický prostor, tj. metrický prostor, za který každé dva body lze spojit geodetickým segmentem, an délka oblouku parametrizováno spojitá křivka , jehož délka
je přesně . Nechat být trojúhelníkem s geodetickými segmenty jako jeho stranami. prý uspokojuje nerovnost pokud existuje srovnávací trojúhelník v modelovém prostoru , se stranami stejné délky jako strany , takže vzdálenosti mezi body na jsou menší nebo rovny vzdálenostem mezi odpovídajícími body .
Geodetický metrický prostor se říká, že je prostor pokud každý geodetický trojúhelník v s obvod méně než uspokojuje nerovnost. (Ne-nutně-geodetický) metrický prostor se říká, že je to prostor se zakřivením pokud každý bod má geodeticky konvexní sousedství. Prostor se zakřivením lze říci, že mají non-pozitivní zakřivení.
Příklady
- Žádný prostor je také a prostor pro všechny . Ve skutečnosti platí obráceně: pokud je prostor pro všechny , pak je to prostor.
- The -dimenzionální Euklidovský prostor s obvyklou metrikou je a prostor. Obecněji řečeno, jakékoli skutečné vnitřní produktový prostor (nemusí být nutně úplný) je a prostor; naopak, pokud je skutečný normovaný vektorový prostor je prostor pro některé skutečné , pak se jedná o vnitřní produktový prostor.
- The -dimenzionální hyperbolický prostor s obvyklou metrikou je a prostor, a tedy a také prostor.
- The -dimenzionální jednotková koule je prostor.
- Obecněji standardní prostor je prostor. Například bez ohledu na dimenzi tedy sféra poloměru (a konstantní zakřivení ) je prostor. Všimněte si, že průměr koule je (měřeno na povrchu koule) ne (měřeno průchodem středem koule).
- The propíchnuté letadlo není prostor, protože není geodeticky konvexní (například body a Nelze se připojit geodetem v s délkou oblouku 2), ale každý bod má geodeticky konvexní sousedství, takže je prostor zakřivení .
- Uzavřený podprostor z dána
- vybavené metrikou indukované délky je ne A prostor pro všechny .
- Jakýkoli produkt mezery je . (To neplatí pro negativní argumenty.)
Hadamardovy prostory
Ve zvláštním případě je úplný prostor CAT (0) také známý jako a Hadamardův prostor; je to analogicky se situací pro Hadamardova potrubí. Hadamardův prostor je smluvní (má homotopický typ jednoho bodu) a mezi libovolnými dvěma body Hadamardova prostoru je spojuje jedinečný geodetický segment (ve skutečnosti obě vlastnosti platí i pro obecné, případně neúplné, CAT (0) prostory). A co je nejdůležitější, funkce vzdálenosti v Hadamardových prostorech jsou konvexní: pokud jsou dvě geodetické v X definováno stejně interval času Já, pak funkce dána
je konvexní t.
Vlastnosti mezery
Nechat být prostor. Pak platí následující vlastnosti:
- Vzhledem k jakýmkoli dvěma bodům (s -li ), existuje jedinečný geodetický segment, který se připojuje na ; navíc se tento segment průběžně mění v závislosti na jeho koncových bodech.
- Každá místní geodetika v s délkou maximálně je geodetická.
- The -koule v o poloměru menším než jsou (geodeticky) konvexní.
- The - koule v o poloměru menším než jsou smluvní.
- Přibližné středy jsou blízké středům v následujícím smyslu: pro všechny a každý existuje a takové, pokud je středem geodetického segmentu z na s a
- pak .
- Z těchto vlastností vyplývá, že pro univerzální obal každého prostor je smluvní; zejména vyšší homotopické skupiny takového prostoru jsou triviální. Jako příklad -koule ukazuje, že obecně neexistuje naděje na a prostor k uzavření smlouvy, pokud .
Povrchy pozitivního zakřivení
V oblasti, kde zakřivení povrchu vyhovuje K. ≤ 0, geodetické trojúhelníky splňují CAT (0) nerovnosti srovnávací geometrie, studoval Cartan, Alexandrov a Toponogov a zváženo později od jiný úhel pohledu podle Bruhat a Prsa; díky vizi Gromov, má tato charakteristika pozitivního zakřivení, pokud jde o podkladový metrický prostor, zásadní dopad na moderní geometrii a zejména teorie geometrických skupin. Mnoho výsledků známých pro hladké povrchy a jejich geodetiku, například Birkhoffova metoda konstrukce geodetiky jeho procesem zkrácení křivky nebo van Mangoldtova a Hadamardova věta, že jednoduše připojeno povrch pozitivního zakřivení je homeomorfní k rovině, jsou v tomto obecnějším nastavení stejně platné.
Alexandrovova srovnávací nerovnost

To uvádí nejjednodušší forma srovnávací nerovnosti, kterou Alexandrov poprvé prokázal kolem roku 1940
Vzdálenost mezi vrcholem geodetického trojúhelníku a středem opačné strany je vždy menší než odpovídající vzdálenost srovnávacího trojúhelníku v rovině se stejnými délkami stran.
Nerovnost vyplývá ze skutečnosti, že pokud C(t) popisuje geodetickou parametrizaci pomocí arclength a A je tedy pevný bod
- F(t) = d(A,C(t))2 − t2
je konvexní funkce, tj.
Vezmeme geodetické polární souřadnice s počátkem v A aby ‖C(t)‖ = r(t), konvexita je ekvivalentní k
Změna na normální souřadnice u, proti na C(t)se tato nerovnost stává
- u2 + H−1Hrproti2 ≥ 1,
kde (u,proti) odpovídá jednotkovému vektoru C(t). To vyplývá z nerovnosti Hr ≥ H, důsledek nezápornosti derivátu Wronskian z H a r z Teorie Sturm – Liouville.[1]
Viz také
Reference
- ^ Berger 2004 ; Jost, Jürgen (1997), Nepozitivní zakřivení: geometrické a analytické aspektyPřednášky z matematiky, ETH Curych, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-5736-9
- Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. „Geometrie Alexandrov, kapitola 7“ (PDF). Citováno 2011-04-07.
- Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton. Msgstr "Pozvánka na Alexandrovovu geometrii: CAT [0] mezer". arXiv:1701.03483 [math.DG ].
- Ballmann, Werner (1995). Přednášky o prostorech nepozitivního zakřivení. Seminář DMV 25. Basilej: Birkhäuser Verlag. str. viii + 112. ISBN 3-7643-5242-6. PAN 1377265.
- Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metrické prostory pozitivního zakřivení. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd] 319. Berlin: Springer-Verlag. str. xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. PAN 1744486.
- Gromov, Michail (1987). "Hyperbolické skupiny". Eseje v teorii skupin. Matematika. Sci. Res. Inst. Publ. 8. New York: Springer. str. 75–263. PAN 0919829.
- Hindawi, Mohamad A. (2005). Asymptotické invarianty Hadamardových variet (PDF). University of Pennsylvania: disertační práce.