Bianchi skupina - Bianchi group - Wikipedia

v matematika, a Bianchi skupina je skupina formuláře

${ displaystyle PSL_ {2} ({ mathcal {O}} _ {d})}$

kde d je pozitivní celé číslo bez čtverců. Zde PSL označuje projektivní speciální lineární skupina a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {d}}$ je kruh celých čísel imaginární kvadratické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}}$.

Skupiny nejprve studoval Bianchi  (1892 ) jako přirozená třída diskrétní podskupiny z ${ displaystyle PSL_ {2} ( mathbb {C})}$, nyní nazývané Kleinianské skupiny.

Jako podskupina ${ displaystyle PSL_ {2} ( mathbb {C})}$, skupina Bianchi působí jako zachování orientace izometrie trojrozměrného hyperbolický prostor ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$. Kvocientový prostor ${ displaystyle M_ {d} = PSL_ {2} ({ mathcal {O}} _ {d}) zpětné lomítko mathbb {H} ^ {3}}$ je nekompaktní hyperbolický trojnásobek s konečným objemem, který se také nazývá Bianchi potrubí. Přesný vzorec pro objem, pokud jde o Funkce Dedekind zeta základního pole ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}}$, byl vypočítán uživatelem Humbert jak následuje. Nechat ${ displaystyle D}$ být diskriminující ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}}$, a ${ displaystyle Gamma = SL_ {2} ({ mathcal {O}} _ {d})}$, diskontinuální akce na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, pak

${ displaystyle mathrm {vol} ( Gamma zpětné lomítko mathbb {H}) = { frac {| D | ^ { frac {3} {2}}} {4 pi ^ {2}}} zeta _ { mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}} (2) .}$

Sada hřebenů ${ displaystyle M_ {d}}$ je v bijection se skupinou třídy z ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-d}}}}$. Je dobře známo, že jakákoli nekompaktní aritmetická Kleinianova skupina je slabě srovnatelná se skupinou Bianchi.^[1]

Reference

• Bianchi, Luigi (1892). „Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî“ (PDF). Mathematische Annalen. Springer Berlin / Heidelberg. 40 (3): 332–412. doi:10.1007 / BF01443558. ISSN  0025-5831. JFM  24.0188.02.
• Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (1998). Skupiny působící na hyperbolické prostory. Springer Monografie z matematiky. Springer Verlag. ISBN  3-540-62745-6. Zbl  0888.11001.
• Fajn, Benjamin (1989). Algebraická teorie Bianchiho skupin. Monografie a učebnice čisté a aplikované matematiky. 129. New York: Marcel Dekker Inc. ISBN  978-0-8247-8192-7. PAN  1010229. Zbl  0760.20014.
• Fine, B. (2001) [1994], „Skupina Bianchi“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003). Aritmetika hyperbolických 3-potrubí. Postgraduální texty z matematiky. 219. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98386-4. Zbl  1025.57001.

externí odkazy

• Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.