Isogeny - Isogeny

V matematice, zejména v algebraické geometrii, an isogeny je morfismus z algebraické skupiny (aka skupinové odrůdy), tj surjektivní a má konečnou jádro.

Pokud skupiny jsou abelianské odrůdy, pak jakýkoli morfismus F : A → B základních algebraických odrůd, které jsou surjektivní s konečnými vlákna je automaticky isogeny, pokud F(1_A) = 1_B. Taková isogenie F pak poskytuje a skupinový homomorfismus mezi skupinami k-hodnocené body A a B, pro všechny pole k přes který F je definováno.

Pojmy „isogenní“ a „isogenní“ pocházejí z řeckého slova ισογενη-ς, což znamená „stejná věcná nebo přírodní povaha“. Termín „isogeny“ zavedl Weil; předtím byl termín „izomorfismus“ poněkud matoucím způsobem používán pro to, co se nyní nazývá izogenie.

Případ abelianských odrůd

Isogenní eliptické křivky do E lze získat kvocientem E konečnými podskupinami, zde podskupiny 4-torzní podskupiny.

Pro abelianské odrůdy, jako eliptické křivky, lze tento pojem formulovat také takto:

Nechat E₁ a E₂ být abelianské odrůdy stejné dimenze na poli k. An isogeny mezi E₁ a E₂ je hustý morfismus F : E₁ → E₂ odrůd, které zachovávají základní body (tj. F mapuje bod identity E₁ k tomu dál E₂).

To je ekvivalentní výše uvedenému pojmu, protože každý hustý morfismus mezi dvěma abelianskými odrůdami stejné dimenze je automaticky surjektivní s konečnými vlákny, a pokud zachovává identity, pak jde o homomorfismus skupin.

Dvě abelianské odrůdy E₁ a E₂ jsou nazývány izogenní pokud existuje isogeny E₁ → E₂. Toto je vztah ekvivalence, symetrie je dána existencí dvojí isogeny. Jak je uvedeno výše, každý isogeny vyvolává homomorfismy skupin bodů s hodnotou k abelianských odrůd.

Viz také

• Abelianské odrůdy až po isogeny

Reference

• Lang, Serge (1983). Abelianské odrůdy. Springer Verlag. ISBN  3-540-90875-7.
• Mumford, David (1974). Abelianské odrůdy. Oxford University Press. ISBN  0-19-560528-4.