Vlastnosti konečnosti skupin - Finiteness properties of groups

v matematika, vlastnosti konečnosti a skupina jsou souborem vlastností, které umožňují použití různých algebraický a topologické například nástroje skupinová kohomologie, studovat skupinu. To je většinou zajímavé pro studium nekonečných skupin.

Zvláštní případy skupin s vlastnostmi konečnosti jsou definitivně generováno a konečně představen skupiny.

Vlastnosti topologické konečnosti

Vzhledem k celé číslo n ≥ 1, skupina ${ displaystyle Gamma}$ se říká, že je typu F_n pokud existuje asférický CW komplex jehož základní skupina je izomorfní na ${ displaystyle Gamma}$ (A třídicí prostor pro ${ displaystyle Gamma}$) a jehož n-kostra je konečný. O skupině se říká, že je typová F_∞ pokud je to typu F_n pro každého n. Je to typ F pokud existuje konečný asférický CW komplex, jehož je základní skupinou.

Pro malé hodnoty n tyto podmínky mají klasičtější interpretace:

• skupina je typu F₁ právě když je definitivně generováno (dále jen Cayleyův graf je konečná 1 kostra klasifikačního prostoru);

• skupina je typu F₂ právě když je konečně představen (za použití Cayley komplex místo Cayleyova grafu).

Je známo, že pro každého n ≥ 1 existují skupiny typu F_n které nejsou typu F_n+1. Konečné skupiny jsou typu F_∞ ale ne typu F. Thompsonova skupina ${ displaystyle F}$ je příklad skupiny bez kroucení, která je typu F_∞ ale ne typu F.^[1]

Přeformulování F_n Vlastnost spočívá v tom, že skupina ji má právě tehdy činy správně diskontinuálně, svobodně a souběžně na komplexu CW, jehož homotopické skupiny ${ displaystyle pi _ {1}, ldots, pi _ {n}}$ zmizet. Další vlastnost konečnosti lze formulovat nahrazením homotopy homologií: skupina se říká, že je typu FH_n pokud působí výše uvedeným způsobem na CW-komplex, jehož n první skupiny homologie zmizí.

Algebraické vlastnosti konečnosti

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupinou a ${ displaystyle mathbb {Z} Gamma}$ své skupinové vyzvánění. Skupina ${ displaystyle Gamma}$ se říká, že je typu FP_n pokud existuje rozlišení triviální ${ displaystyle mathbb {Z} Gamma}$-modul ${ displaystyle mathbb {Z}}$ takové, že n první termíny jsou definitivně generovány projektivní ${ displaystyle mathbb {Z} Gamma}$- moduly.^[2] Typy FP_∞ a FP jsou definovány zjevným způsobem.

Stejné prohlášení s projektivními moduly nahrazenými bezplatné moduly definuje třídy FL_n pro n ≥ 1, FL_∞ a FL.

Je také možné definovat třídy FP_n(R) a FL_n(R) pro všechny komutativní prsten Rnahrazením skupinového kruhu ${ displaystyle mathbb {Z} Gamma}$ podle ${ displaystyle R Gamma}$ ve výše uvedených definicích.

Obě podmínky F_n nebo FH_n naznačit FP_n a FL_n (přes jakýkoli komutativní kruh). Skupina je typu FP₁ jen tehdy, pokud je definitivně vygenerován,^[2] ale pro všechny n ≥ 2 existují skupiny, které jsou typu FP_n ale ne F_n.^[3]

Skupinová kohomologie

Pokud je skupina typu FP_n pak jeho kohomologické skupiny ${ displaystyle H ^ {i} ( Gamma)}$ jsou definitivně generovány pro ${ displaystyle 0 leq i leq n}$. Pokud je to typu FP pak má konečnou komhomologickou dimenzi. Vlastnosti konečnosti tedy hrají důležitou roli v kohomologické teorii skupin.

Příklady

Konečné skupiny

Konečná skupina ${ displaystyle G}$ působí volně na sféru jednotky v ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$, zachování struktury komplexu CW s konečně mnoha buňkami v každé dimenzi.^[4] Protože tato sféra jednotek je kontrakční, je každá konečná skupina typu F_∞.

A netriviální konečná skupina nikdy není typu F protože má nekonečný cohomologický rozměr. To také znamená, že skupina s netriviální torzní podskupina nikdy není typu F.

Nilpotentní skupiny

Li ${ displaystyle Gamma}$ je bez kroucení, definitivně generováno nilpotentní skupina pak je typu F.^[5]

Geometrické podmínky pro vlastnosti konečnosti

Negativně zakřivené skupiny (hyperbolický nebo KOCOUR (0) skupiny) jsou vždy typu F_∞.^[6][7] Taková skupina je typová F jen a jen pokud je bez kroucení.

Jako příklad, cocompact S-aritmetické skupiny v algebraické skupiny přes počet polí jsou typu F_∞. Ztužení Borel – Serre ukazuje, že to platí i pro nekompaktní aritmetické skupiny.

Aritmetické skupiny skončily funkční pole mají velmi odlišné vlastnosti konečnosti: pokud ${ displaystyle Gamma}$ je aritmetická skupina v jednoduché algebraické skupině hodnost ${ displaystyle r}$ přes globální funkční pole (např ${ displaystyle mathbb {F} _ {q} (t)}$) pak je typu F_r ale ne typu F_{r + 1}.^[8]

Poznámky

Reference