Brian Bowditch - Brian Bowditch

Brian Hayward Bowditch (narozen 1961[1]) je britský matematik známý svými příspěvky k geometrie a topologie, zejména v oblastech teorie geometrických skupin a nízkodimenzionální topologie. On je také známý pro řešení[2] the andělský problém. Bowditch je profesorem matematiky na katedře University of Warwick.

Životopis

Brian Bowditch se narodil v roce 1961 v Neath, Wales. Získal titul B.A. stupně od Cambridge University v roce 1983.[1] Následně pokračoval v doktorském studiu matematiky na University of Warwick pod dohledem David Epstein kde v roce 1988 získal titul PhD.[3] Bowditch pak měl postdoktorandské a hostující pozice u Institut pro pokročilé studium v Princeton, New Jersey University of Warwick, Institut des Hautes Études Scientifiques na Bures-sur-Yvette, University of Melbourne a University of Aberdeen.[1] V roce 1992 získal jmenování na University of Southampton kde zůstal do roku 2007. V roce 2007 se Bowditch přestěhoval na University of Warwick, kde byl jmenován profesorem v oboru matematiky.

Bowditch byl oceněn a Cena Whitehead podle London Mathematical Society v roce 1997 za svou práci v teorie geometrických skupin a geometrická topologie.[4][5] V roce 2004 uvedl pozvanou adresu Evropský kongres matematiky ve Stockholmu.[6]Bowditch je bývalým členem redakční rady časopisu Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse[7] a bývalý redakční poradce pro London Mathematical Society.[8]

Matematické příspěvky

Brzy pozoruhodné výsledky Bowditch zahrnují vyjasnění klasické představy o geometrická konečnost pro vyšší dimenzi Kleinianské skupiny v konstantním a variabilním záporném zakřivení. V dokumentu z roku 1993[9] Bowditch dokázal, že pět standardních charakteristik geometrické konečnosti pro diskrétní skupiny izometrií hyperbolický 3-prostor a hyperbolická rovina, (včetně definice, pokud jde o konečně oboustranný základní mnohostěn) zůstávají ekvivalentní pro skupiny izometrií hyperbolický n-prostor kde n ≥ 4. Ukázal to však v rozměrech n ≥ 4 podmínka mít konečně jednostranný Dirichletova doména již není ekvivalentní standardním pojmům geometrické konečnosti. V následujícím příspěvku[10] Bowditch považován za podobný problém pro diskrétní skupiny izometrií Hadamardské potrubí sevřeného (ale ne nutně konstantního) záporného zakřivení a libovolného rozměru n ≥ 2. Dokázal, že čtyři z pěti ekvivalentních definic geometrické konečnosti uvažovaných v jeho předchozím článku zůstávají v tomto obecném uspořádání rovnocenné, ale podmínka mít konečně oboustranný základní mnohostěn již s nimi není ekvivalentní.

Velká část Bowditchovy práce v 90. letech se týkala studia hranic v nekonečnu roku hyperbolické skupiny slov. Dokázal hraniční domněnka který říká, že hranice a jeden konec slovo-hyperbolická skupina nemá žádnou globální řezné body. Bowditch nejprve prokázal tuto domněnku v hlavních případech hyperbolické skupiny s jedním koncem, která se nerozdělí na dvě podskupina[11] (tj. podskupina obsahující nekonečná cyklická podskupina konečný index ) a také pro hyperbolické skupiny s jedním koncem, které jsou „silně dostupné“.[12] Obecný případ domněnky byl krátce poté dokončen G. Anandou Swarupovou[13] který charakterizoval Bowditchovu práci takto: „Nejvýznamnější pokroky v tomto směru provedl Brian Bowditch v brilantní sérii prací ([4] - [7]). Z jeho práce těžce čerpáme.“ Brzy poté, co Swarupův papír Bowditch poskytl alternativní důkaz domněnky o bodě cut-off v obecném případě.[14] Bowditchova práce se opírala o extrakci různých diskrétních stromovitých struktur z akce hyperbolické skupiny slov na její hranici.

Bowditch také dokázal, že (modulo, několik výjimek), hranice jednostranné slovní hyperbolické skupiny G má lokální cut-body právě tehdy G připouští zásadní rozdělení, protože sloučený produkt zdarma nebo Rozšíření HNN, přes prakticky nekonečnou cyklickou skupinu. To umožnilo Bowditch vyrábět[15] teorie JSJ rozklad pro hyperbolické skupiny slov, které byly kanoničtější a obecnější (zejména proto, že pokrývaly skupiny s netriviální torzí) než původní teorie rozkladu JSJ Zlil Sela.[16] Jedním z důsledků Bowditchovy práce je, že pro jednosměrné hyperbolické skupiny slov (s několika výjimkami), které mají netriviální esenciální rozdělení na prakticky cyklickou podskupinu, je kvazi-izometrie neměnný.

Bowditch také dal topologickou charakteristiku slovně hyperbolických skupin, čímž vyřešil domněnku navrženou Michail Gromov. Totiž Bowditch dokázal[17] že skupina G je slovo hyperbolické právě tehdy G připouští akce podle homeomorfismy na dokonalém měřitelném kompaktu M jako "jednotná konvergenční skupina", která je taková, že úhlopříčná akce G na množině odlišných trojčat z M je správně diskontinuální a kompaktní; v tom případě navíc M je G-ekvivariantně homeomorfní k hranici ∂G z G. Později, v návaznosti na tuto práci, dal Bowditchův doktorand Yaman topologickou charakteristiku relativně hyperbolické skupiny.[18]

Velká část Bowditchovy práce v roce 2000 se týká studia křivkový komplex, s různými aplikacemi do 3 rozdělovače, mapování skupin tříd a Kleinianské skupiny. The křivkový komplex C(S) povrchu konečného typu S, představený Harveyem na konci 70. let,[19] má sadu bezplatných tříd homotopy základních jednoduchých uzavřených křivek S jako množina vrcholů, kde několik odlišných vrcholů překlenuje simplex, pokud lze odpovídající křivky realizovat disjunktně. Ukázalo se, že komplex křivek je základním nástrojem při studiu geometrie Teichmüllerův prostor, z mapování skupin tříd a ze dne Kleinianské skupiny. V příspěvku z roku 1999[20] Howard Masur a Yair Minsky dokázal, že pro konečný typ orientovatelného povrchu S komplex křivky C(S) je Gromov-hyperbolický. Tento výsledek byl klíčovou součástí následného důkazu o Thurston Ukončení domněnky o laminování, řešení založené na kombinované práci Yair Minsky, Howard Masur, Jeffrey Brock a Richard Canary.[21] V roce 2006 Bowditch dal další důkaz[22] hyperbolicity komplexu křivky. Bowditchův důkaz je kombinatoričtější a poněkud odlišný od původního argumentu Masur-Minsky. Výsledek Bowditche také poskytuje odhad konstanty hyperbolicity komplexu křivek, který je logaritmický ve složitosti povrchu, a také poskytuje popis geodetiky v komplexu křivek, pokud jde o čísla průsečíků. Následující příspěvek z roku 2008 o Bowditchi[23] posunul tyto myšlenky dále a získal nové výsledky kvantitativní konečnosti týkající se takzvané „těsné geodetiky“ v komplexu křivek, představy zavedené Masurem a Minským v boji proti skutečnosti, že komplex křivek není lokálně konečný. Jako žádost Bowditch prokázal, že až na několik výjimek z povrchů malé složitosti byla akce skupina tříd mapování Mod (S) zapnuto C(S) je „acylindrický“ a že asymptotické délky překladu pseudo-Anosov prvky Mod (S) zapnuto C(S) jsou racionální čísla s ohraničenými jmenovateli.

Papír Bowditch z roku 2007[2] vytváří pozitivní řešení andělský problém z John Conway:[24] Bowditch se ukázal[2] že 4-anděl má vítěznou strategii a může se vyhnout ďáblovi v „andělské hře“. Nezávislá řešení andělského problému vypracovala přibližně ve stejnou dobu András Máthé[25] a Oddvar Kloster.[26]

Vybrané publikace

  • Bowditch, Brian H. (1995), "Geometrická konečnost s proměnným záporným zakřivením", Duke Mathematical Journal, 77: 229–274, doi:10.1215 / S0012-7094-95-07709-6, PAN  1317633
  • Bowditch, Brian H. (1998), „Topologická charakterizace hyperbolických skupin“, Journal of the American Mathematical Society, 11 (3): 643–667, doi:10.1090 / S0894-0347-98-00264-1, PAN  1602069
  • Bowditch, Brian H. (1998), „Cut points and canonical splittings of hyperbolic groups“, Acta Mathematica, 180 (2): 145–186, doi:10.1007 / BF02392898, PAN  1638764
  • Bowditch, Brian H. (2006), „Intersection numbers and the hyperbolicity of the curve complex“, Crelle's Journal, 2006 (598): 105–129, doi:10.1515 / CRELLE.2006.070, PAN  2270568[trvalý mrtvý odkaz ]
  • Bowditch, Brian H. (2007), „Andělská hra v letadle“, Kombinatorika, pravděpodobnost a výpočet, 16 (3): 345–362, doi:10.1017 / S0963548306008297, PAN  2312431
  • Bowditch, Brian H. (2008), „Těsná geodetika v komplexu křivek“, Inventiones Mathematicae, 171 (2): 281–300, doi:10.1007 / s00222-007-0081-r, PAN  2367021

Viz také

Reference

  1. ^ A b C Brian H. Bowditch: Mě. Stránka s osobními údaji společnosti Bowditch na adrese University of Warwick
  2. ^ A b C Bowditch B.H., „Andělská hra v letadle“ Kombinatorika, pravděpodobnost a výpočet, sv. 16 (2007), č. 3, s. 345–362
  3. ^ Brian Hayward Bowditch v projektu Mathematics Genealogy Project
  4. ^ Lynne Williams. "Ocenění" Times Higher Education, 24. října 1997
  5. ^ „Záznamy z jednání na schůzích“ Bulletin of London Mathematical Society, sv. 30 (1998), str. 438–448; Citát z ceny Whitehead Prize, citace pro Briana Bowditche, str. 445–446: „Bowditch významně a zcela originálně přispěl k hyperbolické geometrii, zejména k teorii sdružené skupiny. [...] Jeho nejhlubší práce je o asymptotických vlastnostech slovo-hyperbolické skupiny. Tato práce současně zobecňuje a zjednodušuje nedávnou práci několika autorů a má již mnoho aplikací. V jedné aplikaci rozvíjí novou teorii skupin působících na dendrity. Staví na předchozích příspěvcích Gilberta Levitta, G. Anandy Swarup a další, což ho vedlo k řešení „hypotézy hraničního bodu“. Tato nedávná práce také přináší charakterizaci hyperbolických skupin slov jako konvergenčních skupin. Bowditch vyřešil několik hlavních problémů v teorii geometrických skupin pomocí metod, které jsou elegantní a tak elementární, jak jen mohou být. “
  6. ^ Evropský kongres matematiky, Stockholm, 27. června - 2. července 2004 Archivováno 17. července 2011 v Wayback Machine Evropská matematická společnost, 2005. ISBN  978-3-03719-009-8
  7. ^ Redakční rada, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Přístupné 15. října 2008
  8. ^ Publikace London Mathematical Society 2005 Archivováno 27. Října 2005 v Wayback Machine London Mathematical Society. Přístupné 15. října 2008.
  9. ^ Bowditch, B.H. (1993), "Geometrická konečnost pro hyperbolické skupiny", Journal of Functional Analysis, 113 (2): 245–317, doi:10.1006 / jfan.1993.1052
  10. ^ Bowditch B.H., "Geometrická konečnost s proměnným záporným zakřivením" Duke Mathematical Journal, sv. 77 (1995), č. 5 1, 229–274
  11. ^ Bowditch B.H., „Skupinové akce na stromech a dendronech“ Topologie, sv. 37 (1998), č. 5 6, s. 1275–1298
  12. ^ Bowditch B.H., „Hranice silně přístupných hyperbolických skupin“ Oslava narozenin Epsteina, s. 51–97, Geometrie a topologie Monografie, sv. 1, Geom. Topol. Publ., Coventry, 1998
  13. ^ G. A. Swarup, „O domněnce bodu řezu“ Oznámení elektronického výzkumu Americké matematické společnosti, sv. 2 (1996), č. 2 2, s. 98–100
  14. ^ Bowditch B.H., "Vlastnosti propojenosti sad limitů" Transakce Americké matematické společnosti, sv. 351 (1999), č. 9, s. 3673–3686
  15. ^ Bowditch B.H., "Cut point and canonical splittings of hyperbolic groups"Acta Mathematica, sv. 180 (1998), č. 1. 2, 145–186.
  16. ^ Zlil Sela „Struktura a rigidita v (Gromovových) hyperbolických skupinách a diskrétních skupinách v pořadí $$ 1 Lieových skupin. II“ Geometrická a funkční analýza, sv. 7 (1997), č. 7 3, s. 561–593.
  17. ^ Bowditch B.H., „Topologická charakterizace hyperbolických skupin“ Journal of the American Mathematical Society, sv. 11 (1998), č. 1. 3, s. 643–667.
  18. ^ Asli Yaman, "Topologická charakterizace relativně hyperbolických skupin". Crelle's Journal, sv. 566 (2004), s. 41–89.
  19. ^ W. J. Harvey, „Hraniční struktura modulární skupiny“. Riemannovy povrchy a související témata: Sborník konferencí Stony Brook z roku 1978 (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), s. 245–251,Ann. matematiky. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1981. ISBN  0-691-08264-2
  20. ^ Howard Masur, a Yair Minsky „Geometrie komplexu křivek. I. Hyperbolicita“ Inventiones Mathematicae, sv. 138 (1999), č. 1, s. 103–149.
  21. ^ Yair Minsky, „Křivkové komplexy, povrchy a 3-potrubí“. Mezinárodní kongres matematiky. Sv. II, s. 1001–1033, Eur. Matematika. Soc., Curych, 2006. ISBN  978-3-03719-022-7
  22. ^ Brian H. Bowditch, „Průniková čísla a hyperbolicita komplexu křivky“[trvalý mrtvý odkaz ] Crelle's Journal, sv. 598 (2006), s. 105–129.
  23. ^ Brian H. Bowditch, „Těsná geodetika v komplexu křivky“ Inventiones Mathematicae, sv. 171 (2008), č. 2, s. 281–300.
  24. ^ John H. Conway, „Andělský problém“ Hry bez šance (Berkeley, Kalifornie, 1994), s. 3–12, Výzkumný ústav matematických věd Publikace, 29, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN  0-521-57411-0
  25. ^ András Máthé, „Anděl moci 2 vyhrává“ Kombinatorika, pravděpodobnost a výpočet, sv. 16 (2007), č. 3, s. 363–374 PAN2312432
  26. ^ Oddvar Kloster, „Řešení andělského problému“ Teoretická informatika, sv. 389 (2007), č. 1–2, s. 152–161 PAN2363369

externí odkazy