Souměřitelnost (teorie skupin) - Commensurability (group theory)

v matematika, konkrétně v teorie skupin, dvě skupiny jsou souměřitelný pokud se liší pouze konečným množstvím, v přesném smyslu. The kompenzátor a podskupina je další podskupina související s normalizátor.

Souměřitelnost v teorii grup

Dva skupiny G₁ a G₂ se říká, že jsou (abstraktně) souměřitelný pokud existují podskupiny H₁ ⊂ G₁ a H₂ ⊂ G₂ z konečný index takhle H₁ je izomorfní na H₂.^[1] Například:

• Skupina je konečná právě tehdy, pokud je srovnatelná s triviální skupinou.
• Jakékoli dva konečně vygenerované skupiny zdarma alespoň na 2 generátorech jsou vzájemně srovnatelné.^[2] Skupina SL(2,Z) je také srovnatelný s těmito bezplatnými skupinami.
• Jakékoli dva povrchové skupiny z rod alespoň 2 jsou vzájemně srovnatelné.

Pro podskupiny dané skupiny se používá odlišný, ale související pojem. Jmenovitě dvě podskupiny Γ₁ a Γ₂ skupiny G se říká, že jsou souměřitelný pokud průsečík Γ₁ ∩ Γ₂ je konečného indexu v obou Γ₁ a Γ₂. Z toho jasně vyplývá, že Γ₁ a Γ₂ jsou abstraktně srovnatelné.

Příklad: pro nenulovou hodnotu reálná čísla A a b, podskupina R generováno podle A je srovnatelný s podskupinou generovanou b právě když skutečná čísla A a b jsou souměřitelný, znamenající, že A/b patří do racionální čísla Q.

v teorie geometrických skupin, a konečně generovaná skupina je viděn jako metrický prostor za použití slovo metrické. Pokud jsou (abstraktně) srovnatelné dvě skupiny, pak jsou kvazi-izometrický.^[3] Bylo plodné se ptát, kdy platí obrácení.

V lineární algebře existuje analogický pojem: dva lineární podprostory S a T a vektorový prostor PROTI jsou souměřitelný pokud křižovatka S ∩ T má konečný kodimenzionální v obou S a T.

V topologii

Dva spojeno s cestou topologické prostory jsou někdy nazývány souměřitelný pokud ano homeomorfní konečný arch pokrývající prostory. V závislosti na typu uvažovaného prostoru může být vhodné jej použít homotopické ekvivalence nebo difeomorfismy místo homeomorfismů v definici. Vztahem mezi krycími prostory a základní skupina „srovnatelné prostory mají srovnatelné základní skupiny.

Příklad: Gieseking potrubí je srovnatelný s doplňkem uzel osmičky; to jsou oba nekompaktní hyperbolické 3-potrubí konečného objemu. Na druhou stranu existuje nekonečně mnoho různých tříd srovnatelnosti kompaktních hyperbolických 3-potrubí a také nekompaktních hyperbolických 3-potrubí s konečným objemem.^[4]

Komenzor

The kompenzátor podskupiny Γ skupiny G, označeno Comm_G(Γ), je sada prvků G z G že takové, že sdružené podskupina GΓG⁻¹ je srovnatelný s Γ.^[5] Jinými slovy,

${ displaystyle operatorname {Comm} _ {G} ( Gamma) = {g v G: g Gamma g ^ {- 1} cap Gamma { text {má konečný index v obou případech}} Gamma { text {and}} g Gamma g ^ {- 1} }.}$

Toto je podskupina G který obsahuje normalizátor N_G(Γ) (a tedy obsahuje Γ).

Například kompenzátor speciální lineární skupina SL(n,Z) v SL(n,R) obsahuje SL(n,Q). Zejména komparátor SL(n,Z) v SL(n,R) je hustý v SL(n,R). Obecněji, Grigory Margulis ukázal, že kompenzátor a mříž Γ v a napůl jednoduchá Lieova skupina G je hustá v G právě když Γ je aritmetická podskupina z G.^[6]

Abstraktní kompenzátor

The abstraktní kompenzátor skupiny ${ displaystyle G}$, označeno Comm${ displaystyle (G)}$, je skupina tříd ekvivalence izomorfismů ${ displaystyle phi: H až K}$, kde ${ displaystyle H}$ a ${ displaystyle K}$ jsou podskupiny konečných indexů ${ displaystyle G}$, ve složení.^[7] Prvky ${ displaystyle { text {Comm}} (G)}$ jsou nazývány kompenzátory z ${ displaystyle G}$.

Li ${ displaystyle G}$ je připojen polojednoduchý Lež skupina není izomorfní ${ displaystyle { text {PSL}} _ {2} ( mathbb {R})}$, s triviálním středem a bez kompaktních faktorů, pak Věta věty o rigiditě, abstraktní kompenzátor jakéhokoli neredukovatelného mříž ${ displaystyle Gamma leq G}$ je lineární. Navíc pokud ${ displaystyle Gamma}$ je aritmetický, pak Comm${ displaystyle ( Gamma)}$ je prakticky izomorfní s hustou podskupinou ${ displaystyle G}$, jinak Comm${ displaystyle ( Gamma)}$ je prakticky izomorfní ${ displaystyle Gamma}$.

Poznámky

Reference

• Druțu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018), Teorie geometrické skupiny, Americká matematická společnost, ISBN  9781470411046, PAN  3753580
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Aritmetika hyperbolických 3-potrubí, Springer Nature, ISBN  0-387-98386-4, PAN  1937957
• Margulis, Grigory (1991), Diskrétní podskupiny polojednodušých Lieových skupin, Springer Nature, ISBN  3-540-12179-X, PAN  1090825