Vlastnost Dunford – Pettis - Dunford–Pettis property

v funkční analýza, Vlastnost Dunford – Pettis, pojmenoval podle Nelson Dunford a B. J. Pettis, je majetkem a Banachův prostor konstatovat, že všichni slabě kompaktní operátoři z tohoto prostoru do jiného Banachova prostoru jsou zcela spojití. Mnoho standardních Banachových prostorů má tuto vlastnost, zejména prostor C(K.) spojitých funkcí na a kompaktní prostor a prostor L¹(μ) Lebesgue integrovatelných funkcí na a změřte prostor. Alexander Grothendieck představil koncept na počátku 50. let (Grothendieck 1953 ), v návaznosti na práci Dunford a Pettis, kteří vyvinuli dřívější výsledky Shizuo Kakutani, Kosaku Yosida a několik dalších. Důležité výsledky nedávno získal Jean Bourgain. Vlastnost Dunford – Pettis přesto není zcela pochopena.

Definice

Banachův prostor X má Vlastnost Dunford – Pettis pokud každý spojitý slabě kompaktní operátor T: X → Y z X do jiného Banachova prostoru Y transformuje slabě kompaktní sady X do normálně kompaktních sad Y (takoví operátoři jsou voláni zcela kontinuální ). Důležitou ekvivalentní definicí je definice pro všechny slabě konvergentní sekvence (X_n) z X a (F_n) z dvojí prostor X^∗, konvergující (slabě) k X a F, sekvence F_n(X_n) konverguje k f (x).

Protiklady

• Druhá definice se může zpočátku zdát neintuitivní, ale zvažte ortonormální základ E_n nekonečně dimenzionálního, oddělitelného Hilberta H. Pak E_n → 0 slabě, ale pro všechny n,

${displaystyle langle e_ {n}, e_ {n} úhel = 1.}$

Oddělitelné nekonečně dimenzionální Hilbertovy prostory tedy nemohou mít vlastnost Dunford – Pettis.

• Dalším příkladem je prostor L^str(−π, π) kde 1 <str<∞. Sekvence X_n=E^Inx v L^str a F_n=E^Inx v L^q = (L^str) * oba slabě konvergují k nule. Ale

${displaystyle langle f_ {n}, x_ {n} angle = int limits _ {- pi} ^ {pi} 1, {m {d}} x = 2pi.}$

• Obecněji řečeno, žádný nekonečně dimenzionální reflexní Banachův prostor může mít nemovitost Dunford – Pettis. Zejména nekonečně-dimenzionální Hilbertův prostor a obecněji Lp mezery s 1

Příklady

• Li X je kompaktní Hausdorffův prostor, pak Banachův prostor C (X) z spojité funkce s jednotná norma má nemovitost Dunford – Pettis.

Reference

• Bourgain, Jean (1981), „Na pozemku Dunford – Pettis“, Proceedings of the American Mathematical Society, 81 (2): 265–272, doi:10.2307/2044207, JSTOR  2044207
• Grothendieck, Alexander (1953), „Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C (K)“, Kanadský žurnál matematiky, 5: 129–173, doi:10.4153 / CJM-1953-017-4
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], „Nemovitost Dunford – Pettis“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Lin, Pei-Kee (2004), Funkční prostory Köthe-Bochner, Birkhäuser, ISBN  0-8176-3521-1, OCLC  226084233
• Randrianantoanina, Narcisse (1997), „Několik poznámek k majetku Dunford-Pettis“ (PDF), Rocky Mountain Journal of Mathematics, 27 (4): 1199–1213, doi:10.1216 / rmjm / 1181071869, S2CID  15539667