Teorie geometrických grup - Geometric group theory

The Cayleyův graf a volná skupina se dvěma generátory. Tohle je hyperbolická skupina jehož Hranice Gromov je Cantor set. Hyperbolické skupiny a jejich hranice jsou důležitými tématy v teorii geometrických skupin, stejně jako Cayleyovy grafy.

Teorie geometrických grup je oblast v matematika věnovaný studiu konečně generované skupiny prostřednictvím zkoumání spojení mezi algebraický vlastnosti takových skupiny a topologické a geometrický vlastnosti prostorů, na kterých jsou tyto skupiny akt (tj. když jsou dotyčné skupiny realizovány jako geometrické symetrie nebo spojité transformace některých prostorů).

Další důležitou myšlenkou v teorii geometrických skupin je považovat samotné konečně generované skupiny za geometrické objekty. To se obvykle provádí studiem Cayleyovy grafy skupin, které kromě graf struktury, jsou obdařeni strukturou a metrický prostor, daný tzv slovo metrické.

Teorie geometrických grup jako samostatná oblast je relativně nová a na konci 80. a na počátku 90. let se stala jasně identifikovatelným odvětvím matematiky. Teorie geometrických skupin úzce spolupracuje s nízkodimenzionální topologie, hyperbolická geometrie, algebraická topologie, teorie výpočetních grup a diferenciální geometrie. Existují také podstatná spojení s teorie složitosti, matematická logika, studium Lež skupiny a jejich diskrétní podskupiny, dynamické systémy, teorie pravděpodobnosti, K-teorie a další oblasti matematiky.

V úvodu své knihy Témata v teorii geometrických skupin, Pierre de la Harpe napsal: „Jedním z mých osobních přesvědčení je, že fascinace symetrií a skupinami je jedním ze způsobů, jak se vypořádat s frustrací životních omezení: rádi rozpoznáváme symetrie, které nám umožňují rozpoznat více než to, co vidíme. V tomto smyslu studium geometrie teorie skupin je součástí kultury a připomíná mi několik věcí Georges de Rham praktikováno při mnoha příležitostech, jako je výuka matematiky, recitování Mallarmé nebo pozdravit přítele ".^[1]:3

Dějiny

Teorie geometrických skupin vyrostla z teorie kombinatorických grup že do značné míry studoval vlastnosti diskrétní skupiny prostřednictvím analýzy skupinové prezentace, které popisují skupiny jako kvocienty z skupiny zdarma; tento obor nejprve systematicky studoval Walther von Dyck, student Felix Klein, na začátku 80. let 20. století,^[2] zatímco raná forma se nachází v roce 1856 ikosiánský počet z William Rowan Hamilton, kde studoval ikosahedrální symetrie skupina přes okrajový graf dvanáctistěn. V současné době je kombinatorická teorie grup jako oblast do značné míry subsumována teorií geometrických grup. Kromě toho pojem „teorie geometrických skupin“ často zahrnuje studium diskrétních skupin pomocí pravděpodobnostních, míra-teoretická aritmetické, analytické a další přístupy, které leží mimo tradiční kombinatorický arzenál teorie grup.

V první polovině 20. století průkopnická práce Max Dehn, Jakob Nielsen, Kurt Reidemeister a Otto Schreier, J. H. C. Whitehead, Egbert van Kampen, mimo jiné, představil některé topologické a geometrické myšlenky do studia diskrétních skupin.^[3] Mezi další předchůdce teorie geometrických skupin patří malá teorie zrušení a Teorie Bass – Serre. Teorie malého zrušení byla zavedena Martin Grindlinger v šedesátých letech^[4][5] a dále rozvíjeny Roger Lyndon a Paul Schupp.^[6] Studuje to van Kampen diagramy, odpovídající prezentacím konečných skupin, prostřednictvím kombinačních zakřivení a z této analýzy odvozuje algebraické a algoritmické vlastnosti skupin. Teorie Bass – Serre, představená v knize Serre z roku 1977,^[7] odvozuje strukturní algebraické informace o skupinách studiem skupinových akcí na jednoduché stromy Mezi externí předchůdce teorie geometrických skupin patří zejména studium svazů v Lieových grupách Věta o rigiditě Mostowa, studium Kleinianské skupiny a pokrok dosažený v roce 2006 nízkodimenzionální topologie a hyperbolická geometrie v sedmdesátých a na začátku osmdesátých let, pobídnutá zejména tím, že William Thurston je Geometrizační program.

Vznik teorie geometrických grup jako samostatné oblasti matematiky je obvykle sledován koncem 80. a začátkem 90. let. Podnítila to monografie z roku 1987 Michail Gromov „Hyperbolické skupiny“^[8] který zavedl pojem a hyperbolická skupina (také známý jako hyperbolické nebo Gromov-hyperbolický nebo záporně zakřivené skupina), která zachycuje myšlenku konečně generované skupiny mající velké negativní zakřivení a jeho další monografií Asymptotické invarianty nekonečných skupin,^[9] který nastínil Gromovův program porozumění diskrétním skupinám až do kvazi-izometrie. Práce Gromova měla transformační účinek na studium diskrétních skupin^[10][11][12] a fráze „teorie geometrických skupin“ se začala objevovat brzy poté. (viz např.^[13]).

Moderní témata a vývoj

Tato sekce je v seznam formát, ale může číst lépe jako próza. Můžete pomoci převod této části, Pokud je to vhodné. Nápověda k úpravám je k dispozici. (Leden 2012)

Pozoruhodná témata a vývoj v teorii geometrických grup v 90. a 21. letech zahrnují:

• Gromovův program ke studiu kvazi-izometrických vlastností skupin.

Obzvláště vlivným širokým tématem v této oblasti je Gromov program^[14] klasifikace konečně generované skupiny podle jejich geometrie ve velkém měřítku. Formálně to znamená klasifikaci konečně vygenerovaných skupin s jejich slovo metrické až do kvazi-izometrie. Tento program zahrnuje:

1. Studium vlastností, které jsou neměnné pod kvazi-izometrie. Mezi příklady takových vlastností konečně generovaných skupin patří: tempo růstu konečně generované skupiny; the izoperimetrická funkce nebo Dehnova funkce a konečně představená skupina; počet konce skupiny; hyperbolicita skupiny; the homeomorfismus typ Hranice Gromov hyperbolické skupiny;^[15] asymptotické kužele konečně generovaných skupin (viz např.^[16][17]); přístupnost konečně generované skupiny; být virtuálně abelian (tj. mít abelianskou podskupinu konečných index ); být virtuálně nilpotentní; být virtuálně volný, uvolnit; bytost konečně prezentovatelný; být konečně představitelnou skupinou s řešitelným Slovní problém; a další.
2. Věty, které používají kvazi-izometrické invarianty k prokázání algebraických výsledků o skupinách, například: Gromovova věta o polynomiálním růstu; Věta o Stallingsově konci; Věta věty o rigiditě.
3. Věty kvazi-izometrické tuhosti, ve kterých lze klasifikovat algebraicky všechny skupiny, které jsou kvazi-izometrické pro určitou danou skupinu nebo metrický prostor. Tento směr byl zahájen prací Schwartz o kvazi-izometrické rigiditě mřížek první řady^[18] a práce Benson Farb a Lee Mosher o kvazi-izometrické tuhosti Skupiny Baumslag-Solitar.^[19]

• Teorie hyperbolické a relativně hyperbolický skupiny. Obzvláště důležitým vývojem je zde práce Zlil Sela v 90. letech vyústil v řešení problém izomorfismu pro hyperbolické skupiny slov.^[20] Pojem relativně hyperbolické skupiny původně představil Gromov v roce 1987^[8] a rafinovaný Farbem^[21] a Brian Bowditch,^[22] v 90. letech. Studie relativně hyperbolických skupin se stala důležitou v roce 2000.
• Interakce s matematickou logikou a studium teorie prvního řádu volných grup. Obzvláště důležitý pokrok nastal u slavného Tarski dohady, kvůli práci Sely^[23] stejně jako z Olga Kharlampovič a Alexej Myasnikov.^[24] Studium omezené skupiny a zavedení jazyka a mechanismu nekomutativní algebraická geometrie získal důležitost.
• Interakce s informatikou, teorie složitosti a teorie formálních jazyků. Toto téma ilustruje vývoj teorie automatické skupiny,^[25] pojem, který ukládá určité geometrické a jazykové teoretické podmínky pro operaci násobení v definitivně generované skupině.
• Studium izoperimetrických nerovností, Dehnovy funkce a jejich zobecnění pro konečně prezentovanou skupinu. Patří sem zejména práce Jean-Camille Birget, Aleksandra Olʹshanskiĭ, Eliyahu Rips a Mark Sapir^[26][27] v podstatě charakterizovat možné Dehnovy funkce konečně prezentovaných skupin, stejně jako výsledky poskytující explicitní konstrukce skupin s frakčními Dehnovými funkcemi.^[28]
• Teorie toral nebo JSJ-rozklady pro 3 rozdělovače byl původně přiveden do skupinového teoretického prostředí Peterem Krophollerem.^[29] Tuto představu vyvinuli mnozí autoři pro konečně prezentované i konečně generované skupiny.^{[30][31][32][33][34]}
• Spojení s geometrická analýza, studium C * -algebry spojené s diskrétními skupinami a teorie volné pravděpodobnosti. Toto téma představuje zejména značný pokrok v oblasti Novikov dohad a Baum – Connesova domněnka a vývoj a studium souvisejících skupinově teoretických pojmů, jako je topologická přístupnost, asymptotická dimenze, jednotná včlenitelnost do Hilbertovy prostory, vlastnost rychlého rozpadu atd. (viz např.^[35][36][37]).
• Interakce s teorií kvazikonformní analýzy metrických prostorů, zejména ve vztahu k Cannonova domněnka o charakterizaci hyperbolických skupin s Hranice Gromov homeomorfní se 2 sférou.^[38][39][40]
• Pravidla konečného dělení, také ve vztahu k Cannonova domněnka.^[41]
• Interakce s topologická dynamika v kontextech studia akcí diskrétních skupin na různých kompaktních prostorech a skupinových kompaktifikacích, zvláště konvergenční skupina metody^[42][43]
• Vývoj teorie skupinových akcí na ${ displaystyle mathbb {R}}$-stromy (zejména Trhá stroj ) a jeho aplikace.^[44]
• Studium skupinových akcí na CAT (0) mezery a CAT (0) kubické komplexy,^[45] motivováno nápady z Alexandrovovy geometrie.
• Interakce s nízkodimenzionální topologií a hyperbolickou geometrií, zejména studium skupin se 3 různými skupinami (viz např.^[46]), mapování skupin tříd povrchů, opletení skupiny a Kleinianské skupiny.
• Zavedení pravděpodobnostních metod ke studiu algebraických vlastností "náhodných" skupinových teoretických objektů (skupiny, skupinové prvky, podskupiny atd.). Obzvláště důležitým vývojem je zde práce Gromova, který k prokázání použil pravděpodobnostní metody^[47] existence konečně generované skupiny, která není jednotně zabudovatelná do Hilbertova prostoru. Mezi další pozoruhodný vývoj patří zavedení a studium pojmu složitost generických případů^[48] pro skupinové teoretické a jiné matematické algoritmy a výsledky algebraické rigidity pro obecné skupiny.^[49]
• Studium skupiny automatů a iterované skupiny monodromy tak jako skupiny automorfismů nekonečně zakořeněných stromů. Zejména, Grigorchukovy skupiny v tomto kontextu se objevuje přechodný růst a jeho zobecnění.^[50][51]
• Studium teoreticko-teoretických vlastností skupinových akcí na změřte mezery, zejména zavedení a rozvoj pojmů změřit rovnocennost a ekvivalence oběžné dráhy, stejně jako teoretická míra zobecnění Mostowovy tuhosti.^[52][53]
• Studium jednotkových reprezentací diskrétních skupin a Kazhdanův majetek (T)^[54]
• Studium Ven(F_n) (dále jen vnější skupina automorfismu a volná skupina hodnosti n) a jednotlivých automorfismů volných skupin. Úvod a studium Culler-Vogtmann vesmír^[55] a teorie železniční koleje^[56] u skupinových automatů zde hrály obzvláště významnou roli.
• Vývoj Teorie Bass – Serre, zejména různé výsledky přístupnosti^[57][58][59] a teorie stromových svazů.^[60] Zevšeobecnění Bass-Serreovy teorie, jako je teorie komplexů skupin.^[45]
• Studium náhodné procházky o skupinách a související teorii hranic, zejména o pojmu Poissonova hranice (viz např.^[61]). Studium přístupnost a skupin, jejichž stav přístupnosti je stále neznámý.
• Interakce s teorií konečných grup, zejména pokrok ve studiu růst podskupiny.^[62]
• Studium podskupin a svazů v EU lineární skupiny, jako ${ displaystyle SL (n, mathbb {R})}$a dalších Lieových skupin pomocí geometrických metod (např. budovy ), algebro-geometrický nástroje (např. algebraické skupiny a reprezentace variet), analytické metody (např. unitární reprezentace na Hilbertových prostorech) a aritmetické metody.
• Skupinová kohomologie pomocí algebraických a topologických metod, zejména zahrnujících interakci s algebraická topologie a používání morseova teorie myšlenky v kombinatorickém kontextu; velké nebo hrubé (viz např.^[63]) homologické a kohomologické metody.
• Pokrok v tradičních tématech kombinatorické teorie skupin, jako je Burnsideův problém,^[64][65] studium Skupiny coxeterů a Artinské skupiny atd. (metody používané ke studiu těchto otázek jsou v současné době často geometrické a topologické).

Příklady

Následující příklady jsou často studovány v teorii geometrických skupin:

Viz také

• The ping-pongové lemma, užitečný způsob, jak vystavit skupinu jako produkt zdarma
• Opravitelná skupina
• Nielsenova transformace
• Tietze transformace

Reference

Knihy a monografie

Tyto texty pokrývají teorii geometrických skupin a související témata.

• Bowditch, Brian H. (2006). Kurz o teorii geometrických skupin. Paměti MSJ. 16. Tokio: Matematická společnost Japonska. ISBN  4-931469-35-3.
• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999). Metrické prostory pozitivního zakřivení. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd]. 319. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-64324-9.
• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov. Přednášky z matematiky. 1441. Springer-Verlag. ISBN  3-540-52977-2. PAN  1075994.
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolická dynamika a hyperbolické skupiny. Přednášky z matematiky. 1539. Springer-Verlag. ISBN  3-540-56499-3.
• de la Harpe, P. (2000). Témata v teorii geometrických grup. Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN  0-226-31719-6.
• Druţu, Cornelia; Kapovich, Michael (2018). Teorie geometrické skupiny (PDF). Publikace kolokvia Americké matematické společnosti. 63. Americká matematická společnost. ISBN  978-1-4704-1104-6. PAN  3753580.
• Epstein, D.B.A .; Cannon, J.W .; Holt, D .; Levy, S .; Paterson, M .; Thurston, W. (1992). Zpracování textu ve skupinách. Jones a Bartlett. ISBN  0-86720-244-0.
• Gromov, M. (1987). "Hyperbolické skupiny". V Gersten, G.M. (vyd.). Eseje v teorii skupin. 8. MSRI. str. 75–263. ISBN  0-387-96618-8.
• Gromov, Mikhael (1993). Niblo, GA; Roller, M.A. (eds.). Asymptotické invarianty nekonečných skupin. 2. Cambridge University Press. s. 1–295. ISBN  978-0-521-44680-8.
• Kapovich, M. (2001). Hyperbolické rozdělovače a diskrétní skupiny. Pokrok v matematice. 183. Birkhäuser. ISBN  978-0-8176-3904-4.
• Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (2015) [1977]. Kombinatorická teorie skupin. Klasika z matematiky. Springer. ISBN  978-3-642-61896-3.
• Ol'shanskii, A.Yu. (2012) [1991]. Geometrie definování vztahů ve skupinách. Springer. ISBN  978-94-011-3618-1.
• Roe, John (2003). Přednášky o hrubé geometrii. Série univerzitních přednášek. 31. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-3332-2.

externí odkazy

• Stránka s teorií geometrické skupiny Jon McCammonda
• Co je teorie geometrických skupin? Autor: Daniel Wise
• Otevřené problémy v kombinatorické a geometrické teorii grup
• Téma geometrické skupiny na arxiv.org