Věta o zastavení o koncích skupin - Stallings theorem about ends of groups - Wikipedia

V matematickém předmětu teorie skupin, Věta o zastavení o koncích skupin uvádí, že a konečně generovaná skupina G má více než jeden konec právě tehdy, když skupina G připouští netriviální rozklad jako sloučený produkt zdarma nebo Rozšíření HNN přes konečnou podskupina. V moderním jazyce Teorie Bass – Serre věta říká, že konečně generovaná skupina G má více než jeden konec právě tehdy G připouští netriviální (tj. bez globálního pevného bodu) akce na zjednodušení strom s omezenými stabilizátory hran a bez inverzí hran.

Věta byla prokázána John R. Stallings, první v bez kroucení případ (1968)[1] a poté v obecném případě (1971).[2]

Konce grafů

Hlavní článek: Konec (teorie grafů)

Nechť Γ je připojeno graf kde stupeň každého vrcholu je konečný. Jeden může zobrazit Γ jako a topologický prostor tím, že mu dáte přirozenou strukturu jednorozměrného buněčný komplex. Pak konce Γ jsou končí tohoto topologického prostoru. Přesnější definice počtu konce grafu je uveden níže pro úplnost.

Nechat n ≥ 0 je nezáporné celé číslo. Graf Γ prý vyhovuje E(Γ) ≤ n pokud pro každou konečnou sbírku F okrajů Γ grafu Γ -F má nanejvýš n nekonečný připojené komponenty. Podle definice, E(Γ) = m -li E(Γ) ≤ m a pokud za každých 0 ≤ n < m prohlášení E(Γ) ≤ n je nepravdivé. Tím pádem E(Γ) = m -li m je nejmenší nezáporné celé číslo n takhle E(Γ) ≤ n. Pokud neexistuje celé číslo n ≥ 0 takové, že E(Γ) ≤ n, dát E(Γ) = ∞. Číslo EVolá se (called) počet konců Γ.

Neformálně, E(Γ) je počet „připojených komponent v nekonečnu“ Γ. Li E(Γ) = m <∞, pak pro jakoukoli konečnou množinu F hran of existuje konečná množina K. okrajů Γ s F ⊆ K. takové, že Γ -F má přesně m nekonečné připojené komponenty. Li E(Γ) = ∞, pak pro jakoukoli konečnou množinu F hran of a pro celé číslo n ≥ 0 existuje konečná množina K. okrajů Γ s F ⊆ K. takové, že Γ -K. má alespoň n nekonečné připojené komponenty.

Konce skupin

Nechat G být konečně generovaná skupina. Nechat S ⊆ G být konečný generující sada z G a nechme Γ (G, S) být Cayleyův graf z G s ohledem na S. The počet konců G je definován jako E(G) = e (Γ (G, S)). Základní fakt v teorii konců skupin říká, že e (Γ (G, S)) nezávisí na volbě konečné generující sada S z G, aby E(G) je dobře definovaný.

Základní fakta a příklady

Freudenthal-Hopfovy věty

Hans Freudenthal[3] a nezávisle Heinz Hopf[4] ve čtyřicátých letech stanovil následující dvě skutečnosti:

Charles T. C. Wall v roce 1967 prokázal následující doplňující skutečnost[5]:

  • Skupina G je prakticky nekonečný cyklický právě tehdy, má-li konečnou normální podskupinu Ž takhle G / W je buď nekonečný cyklický, nebo nekonečná vzepětí.

Řezy a téměř neměnné sady

Nechat G být konečně generovaná skupina, S ⊆ G být konečný generující sada z G a nechť Γ = Γ (G, S) být Cayleyův graf z G s ohledem na S. Pro podmnožinu A ⊆ G označit A∗ doplněk G − A z A v G.

Pro podmnožinu A ⊆ G, hraniční hranice nebo společná hranice δA z A skládá se ze všech (topologických) hran Γ spojujících vrchol z A s vrcholem z A∗. Všimněte si, že podle definice δA = δA∗.

Objednaný pár (A, A∗) se nazývá a střih v Γ pokud δA je konečný. Řez (A,A∗) je nazýván nezbytný pokud obě sady A a A∗ jsou nekonečné.

Podmnožina A ⊆ G je nazýván téměř neměnný pokud pro každého G∈G the symetrický rozdíl mezi A a Ag je konečný. Je snadné to vidět (A, A∗) je střih právě tehdy, pokud jde o sady A a A∗ jsou téměř neměnné (ekvivalentně, pokud a pouze v případě množiny A je téměř neměnný).

Řezy a konce

Jednoduché, ale důležité pozorování uvádí:

E(G)> 1 právě tehdy, pokud existuje alespoň jeden zásadní řez (A,A∗) v Γ.

Řezy a rozdělení na konečné skupiny

Li G = H∗K. kde H a K. jsou netriviální konečně generované skupiny pak Cayleyův graf z G má alespoň jeden zásadní řez, a tedy E(G)> 1. Opravdu, nechte X a Y být konečné generující sady pro H a K. tedy tak S = X ∪ Y je konečná generující sada pro G a nechť Γ = Γ (G,S) být Cayleyův graf z G s ohledem na S. Nechat A se skládají z triviálního prvku a všech prvků z G jehož normální tvarové výrazy pro G = H∗K. začíná netriviálním prvkem H. Tím pádem A∗ se skládá ze všech prvků G jehož normální tvarové výrazy pro G = H∗K. začíná netriviálním prvkem K.. Není těžké to vidět (A,A∗) je zásadní omezení in tak E(G) > 1.

Přesnější verze tohoto argumentu ukazuje, že pro a konečně generovaná skupina G:

Stallingsova věta ukazuje, že obrácení je také pravdivé.

Formální prohlášení o Stallingsově teorému

Nechat G být konečně generovaná skupina.

Pak E(G)> 1 právě tehdy, pokud platí jedna z následujících možností:

  • Skupina G připouští rozdělení G=H∗CK. jako bezplatný produkt se sloučením kde C je konečná skupina taková C ≠ H a C ≠ K..
  • Skupina G je Rozšíření HNN kde a C1, C2 jsou izomorfní konečné podskupiny z H.

V jazyce Teorie Bass – Serre tento výsledek lze přepracovat následovně: Pro a konečně generovaná skupina G my máme E(G)> 1 právě tehdy G připouští netriviální (tj. bez globálního pevného vrcholu) akce na zjednodušení strom s omezenými stabilizátory hran a bez inverzí hran.

Pro případ, kdy G je bez kroucení konečně generovaná skupina, Stallingsova věta to naznačuje E(G) = ∞ právě tehdy G připouští řádné produkt zdarma rozklad G = A∗B s oběma A a B netriviální.

Aplikace a zobecnění

  • Mezi okamžité aplikace Stallingsovy věty patřil důkaz od Stallingsa[6] dlouhodobého dohadu, že každá konečně generovaná skupina kohomologické dimenze je svobodná a že každá torzní prakticky volná skupina je zdarma.
  • Stallingova věta také naznačuje, že vlastnost netriviálního rozdělení přes konečnou podskupinu je kvazi-izometrie invariant a konečně generovaná skupina protože počet konců konečně generované skupiny je snadno viditelný jako kvazi-izometrický invariant. Z tohoto důvodu je Stallingsova věta považována za jeden z prvních výsledků v teorie geometrických skupin.
  • Stallingsova věta byla výchozím bodem pro Dunwoodyho teorie přístupnosti. Konečně vygenerovaná skupina G se říká, že je přístupné pokud proces iterovaného netriviálního rozdělení G nad konečnými podskupinami vždy končí konečným počtem kroků. v Teorie Bass – Serre vyjadřuje, že počet hran při sníženém rozdělení o G jako základní skupina a graf skupin se skupinami konečných hran je omezena nějakou konstantou v závislosti na G. Dunwoody dokázal[7] že každý konečně představená skupina je přístupný, ale že existují konečně generované skupiny které nejsou přístupné.[8] Linnell[9] ukázal, že pokud člověk ohraničuje velikost konečných podskupin, nad kterými se dělí rozdělení, pak je v tomto smyslu přístupná také každá konečně vygenerovaná skupina. Tyto výsledky zase vedly k dalším verzím přístupnosti, jako je Bestvina -Oznámit přístupnost[10] konečně prezentovaných skupin (kde se uvažuje o tzv. „malých“ rozděleních), acylindrická přístupnost,[11][12] silná dostupnost,[13] a další.
  • Stallingsova věta je klíčovým nástrojem k prokázání, že konečně generovaná skupina G je prakticky volný, uvolnit kdyby a jen kdyby G lze reprezentovat jako základní skupinu konečných graf skupin kde jsou všechny vrcholy a skupiny hran konečné (viz například[14]).
  • Použitím výsledku přístupnosti Dunwoody je Stallingsova věta o koncích skupin a skutečnosti, že pokud G je konečně prezentovaná skupina s asymptotickou dimenzí 1, pak G je prakticky zdarma[15] jeden může ukázat [16] to pro konečnou prezentaci hyperbolická skupina slov G hyperbolická hranice G má topologická dimenze nula právě tehdy G je prakticky zdarma.
  • Relativní verze Stallingsovy věty a relativní konce konečně generované skupiny s ohledem na podskupiny. Pro podskupinu H≤G konečně generované skupiny G jeden definuje počet relativních konců E(G,H) jako počet konců relativního Cayleyova grafu ( Schreierův cosetový graf ) z G s ohledem na H. Případ kde E(G,H)> 1 se nazývá semi-splitting of G přes H. Rané práce na semi-štípání, inspirované Stallingsovou větou, byly provedeny v 70. a 80. letech Scottem,[17] Swarup,[18] a další.[19][20] Práce Sageev[21] a Gerasimov[22] v 90. letech to ukázalo pro podskupinu H≤G kondice E(G,H)> 1 odpovídá skupině G připuštění základní izometrické akce na a CAT (0) -cubing kde je podskupina srovnatelná s H stabilizuje základní „hyperplán“ (zjednodušený strom je příkladem CAT (0) krychle, kde hyperplany jsou středy hran). V určitých situacích lze takovéto rozdělení rozdělit na skutečné algebraické rozdělení, obvykle na podskupinu srovnatelnou s H, například pro případ, kdy H je konečný (Stallingsova věta). Jinou situací, kdy lze získat skutečné rozdělení (několik výjimek je modulo), je částečné rozdělení prakticky polycyklický podskupiny. Tady případ semi-štípání hyperbolické skupiny slov více než dvě koncové (prakticky nekonečné cyklické) podskupiny byly ošetřeny Scott-Swarupem[23] a tím Bowditch.[24] Případ semi-štípání konečně generované skupiny s ohledem na prakticky polycyklické podskupiny se zabývá algebraická teorém torus Dunwoody-Swenson.[25]
  • Řadu nových důkazů o Stallingsově teorému získali jiní po původním důkazu Stallingsa. Dunwoody podal důkaz[26] na základě myšlenek hranových řezů. Později Dunwoody také poskytl důkaz Stallingsovy věty pro konečně prezentované skupiny pomocí metody „stop“ na konečných 2 komplexech.[7] Niblo získal důkaz[27] Stallingsovy věty jako důsledek Sageevovy relativní verze CAT (0) -cubing, kde je CAT (0) -cubing nakonec povýšen na strom. Niblův článek také definuje abstraktní skupinově teoretickou překážku (což je spojení dvojitých kosetů) H v G) pro získání skutečného rozdělení z částečného rozdělení. Je také možné dokázat Stallingsovu větu pro konečně prezentované skupiny použitím Riemannova geometrie techniky minimální povrchy, kde si člověk nejprve uvědomí definitivně prezentovanou skupinu jako základní skupinu kompaktního 4-potrubí (viz například náčrt tohoto argumentu v průzkumném článku z stěna[28]). Gromov nastínil důkaz (viz str. 228–230 v [16]) kde argument minimální plochy je nahrazen argumentem snazší harmonické analýzy a tento přístup posunul Kapovich dále, aby pokryl původní případ konečně generovaných skupin.[15][29]

Viz také

Poznámky

  1. ^ John R. Stallings. Na torzních skupinách s nekonečně mnoha konci. Annals of Mathematics (2), sv. 88 (1968), str. 312–334
  2. ^ John Stallings. Skupinová teorie a trojrozměrná potrubí. James K. Whittemore Přednáška z matematiky na Yale University, 1969. Yale Mathematical Monographs, 4. Yale University Press, New Haven, Conn.-London, 1971.
  3. ^ H. Freudenthal. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Komentář. Matematika. Helv. 17, (1945). 1-38.
  4. ^ H. Hopf. Enden Offener Räume und Unendliche diskontinuierliche Gruppen. Komentář. Matematika. Helv. 16, (1944). 81-100
  5. ^ Lemma 4.1 in C. T. C. Wall, Poincaré Complexes: I. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 86, č. 2 (září 1967), str. 213-245
  6. ^ John R. Stallings. Skupiny dimenze 1 jsou místně zdarma. Bulletin of the American Mathematical Society, sv. 74 (1968), str. 361–364
  7. ^ A b M. J. Dunwoody. Přístupnost konečně prezentovaných skupin. Inventiones Mathematicae, sv. 81 (1985), č. 1. 3, str. 449-457
  8. ^ M. J. Dunwoody. Nepřístupná skupina. Teorie geometrických skupin, sv. 1 (Sussex, 1991), s. 75–78, London Mathematical Society Lecture Note Series, sv. 181, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; ISBN  0-521-43529-3
  9. ^ P. A. Linnell. O přístupnosti skupin.[mrtvý odkaz ] Journal of Pure and Applied Algebra, sv. 30 (1983), č. 1. 1, s. 39–46.
  10. ^ M. Bestvina a M. Feighn. Ohraničuje složitost zjednodušených skupinových akcí na stromech. Inventiones Mathematicae, sv. 103 (1991), č. 3. 3, s. 449–469
  11. ^ Z. Sela. Acylindrická přístupnost pro skupiny. Inventiones Mathematicae, sv. 129 (1997), č. 1 3, str. 527–565
  12. ^ T. Delzant. Sur l'accessibilité acylindrique des groupes de présentation finie. Archivováno 05.06.2011 na Wayback Machine Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, sv. 49 (1999), č. 5. 4, s. 1215–1224
  13. ^ T. Delzant a L. Potyagailo. Accessibilité hiérarchique des groupes de présentation finie.[mrtvý odkaz ] Topologie, sv. 40 (2001), č. 5 3, s. 617–629
  14. ^ H. Bass. Krycí teorie pro grafy skupin. Journal of Pure and Applied Algebra, sv. 89 (1993), č. 1. 1–2, s. 3–47
  15. ^ A b Gentimis Thanos, asymptotická dimenze konečně prezentovaných skupin, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
  16. ^ A b M. Gromov, Hyperbolické skupiny, v „Esejích v teorii skupin“ (G. M. Gersten, ed.), MSRI Publ. 8, 1987, str. 75-263
  17. ^ Peter Scott. Konce dvojic skupin.[mrtvý odkaz ] Journal of Pure and Applied Algebra, sv. 11 (1977/78), č. 1–3, s. 179–198
  18. ^ G. A. Swarup. Relativní verze věty o Stallingsovi.[mrtvý odkaz ] Journal of Pure and Applied Algebra, sv. 11 (1977/78), č. 1–3, s. 75–82
  19. ^ H. Müller. Věty o rozkladu pro skupinové páry. Mathematische Zeitschrift, sv. 176 (1981), č. 1. 2, s. 223–246
  20. ^ P. H. Kropholler a M. A. Roller. Relativní konce a dualitní skupiny.[mrtvý odkaz ] Journal of Pure and Applied Algebra, sv. 61 (1989), č. 1. 2, s. 197–210
  21. ^ Michah Sageev. Konce skupinových párů a pozitivně zakřivených komplexů krychlí. Proceedings of the London Mathematical Society (3), sv. 71 (1995), č. 1. 3, s. 585–617
  22. ^ V. N. Gerasimov. Semi-splittings skupin a akcí na cubings. (v ruštině) Algebra, geometrie, analýza a matematická fyzika (Novosibirsk, 1996), s. 91–109, 190, Izdat. Ross. Akad. Nauk Sib. Otd. Inst. Mat., Novosibirsk, 1997
  23. ^ G. P. Scott a G. A. Swarup. Věta o algebraickém mezikruží. Archivováno 2007-07-15 na Wayback Machine Pacific Journal of Mathematics, sv. 196 (2000), č. 2 2, s. 461–506
  24. ^ Bowditch B.H. Řezné body a kanonické rozdělení hyperbolických skupin. Acta Mathematica, sv. 180 (1998), č. 1. 2, s. 145–186
  25. ^ M. J. Dunwoody a E. L. Swenson. Věta o algebraické torus. Inventiones Mathematicae, sv. 140 (2000), č. 3, s. 605–637
  26. ^ M. J. Dunwoody. Řezání grafů. Combinatorica, roč. 2 (1982), č. 2 1, s. 15–23
  27. ^ Graham A. Niblo. Geometrický důkaz Stallingsovy věty o skupinách s více než jedním koncem. Geometriae Dedicata, sv. 105 (2004), s. 61–76
  28. ^ C. T. C. Wall. Geometrie abstraktních skupin a jejich rozdělení. Revista Matemática Complutense sv. 16 (2003), č. 1, s. 5–101
  29. ^ M. Kapovich. Energie harmonických funkcí a Gromovův důkaz Stallingsovy věty, předtisk, 2007, arXiv: 0707,4231