Thompsonovy skupiny - Thompson groups
v matematika, Thompsonovy skupiny (také zvaný Thompsonovy skupiny, tulácké skupiny nebo skupiny chameleonů) jsou tři skupiny, běžně označované , které představil Richard Thompson v některých nepublikovaných ručně psaných poznámkách v roce 1965 jako možný protiklad k von Neumannova domněnka. Ze tří F je nejčastěji studovaná a někdy se jí říká skupina Thompson nebo Thompsonova skupina.
Skupiny Thompson a F zejména mají sbírku neobvyklých vlastností, díky nimž jsou protiklady k mnoha obecným domněnkám v teorii skupin. Všechny tři skupiny Thompsona jsou nekonečné, ale konečně představen. Skupiny T a PROTI jsou (vzácné) příklady nekonečných, ale konečně prezentovaných jednoduché skupiny. Skupina F není jednoduchý, ale jeho odvozená podskupina [F,F] je a podíl z F odvozenou podskupinou je volná abelianská skupina 2. úrovně. F je úplně objednané, má exponenciální růst, a neobsahuje a podskupina isomorfní s volná skupina 2. úrovně.
Předpokládá se to F není přístupný a tedy další protipříklad dlouhodobého, ale nedávno vyvrácenéhovon Neumannova domněnka pro konečně prezentované skupiny: je známo, že F není základní přístupné.
Higman (1974) představil nekonečnou rodinu konečně prezentovaných jednoduchých skupin, včetně skupiny Thompsona PROTI jako zvláštní případ.
Prezentace
Konečná prezentace F je dán následujícím výrazem:
kde [X,y] je obvyklá teorie grup komutátor, xyx−1y−1.
Ačkoli F má konečnou prezentaci se 2 generátory a 2 vztahy, nejsnadněji a nejintuitivněji ji popisuje nekonečná prezentace:
Obě prezentace souvisí s X0=A, Xn = A1−nBAn−1 pro n>0.
Další zastoupení

Skupina F má také realizace, pokud jde o operace na objednané kořeny binární stromy, a jako podskupina po částech lineární homeomorfismy z jednotkový interval které zachovávají orientaci a jejichž nediferencovatelné body jsou dyadické racionální a jejichž svahy jsou všechny mocniny 2.
Skupina F lze také považovat za působící na jednotkový kruh určením dvou koncových bodů jednotkového intervalu a skupiny T je pak skupina automorfismů jednotkové kružnice získaná přidáním homeomorfismu X→X+1/2 mod 1 až F. Na binárních stromech to odpovídá výměně dvou stromů pod kořenem. Skupina PROTI se získává z T přidáním diskontinuální mapy, která zjevným způsobem fixuje body polootevřeného intervalu [0,1 / 2) a směny [1 / 2,3 / 4) a [3 / 4,1]. Na binárních stromech to odpovídá výměně dvou stromů pod pravým potomkem kořene (pokud existuje).
Skupina Thompson F je skupina automatorfismů zachování svobodného řádu Jónsson – Tarski algebra na jednom generátoru.
Přístupnost
Domněnka Thompsona, že F není přístupný dále popularizoval R. Geoghegan --- viz také článek Cannon-Floyd-Parry citovaný v odkazech níže. Jeho aktuální stav je otevřený: E. Shavgulidze[1] v roce 2009 zveřejnil dokument, ve kterém tvrdil, že to dokazuje F je přístupný, ale byla nalezena chyba, jak je vysvětleno v MR recenzi.
Je známo že F není základní přístupné, viz Věta 4.10 v Cannon-Floyd-Parry. Li F je ne přístupný, pak by to byl další protiklad dlouhodobého, ale nedávno vyvráceného von Neumannova domněnka pro konečně prezentované skupiny, což naznačuje, že konečně prezentovaná skupina je přístupná právě tehdy, pokud neobsahuje kopii volné skupiny 2. úrovně.
Spojení s topologií
Skupina F během 70. let topologové znovu objevili nejméně dvakrát. V příspěvku, který vyšel až mnohem později, ale v té době byl v oběhu jako předtisk, P. Freyd a A. Heller [2] ukázal, že mapa posunů na F indukuje nerozdělitelný homotopický idempotent v prostoru Eilenberg-MacLane K (Ž, 1) a že je to v zajímavém smyslu univerzální. To je podrobně vysvětleno v Geogheganově knize (viz odkazy níže). Nezávisle na tom J. Dydak a P. Minc [3] vytvořil méně známý model F v souvislosti s problémem v teorii tvarů.
V roce 1979 R. Geoghegan vytvořil čtyři dohady F: (1) F má typ FP∞; (2) Všechny homotopy skupiny F v nekonečnu jsou triviální; (3) F nemá žádné neabelovské volné podskupiny; (4) F je nepřizpůsobitelný. (1) prokázali K. S. Brown a R. Geoghegan v silné formě: existuje K (F, 1) se dvěma buňkami v každé pozitivní dimenzi.[4] (2) také prokázali Brown a Geoghegan [5] v tom smyslu, že se ukázalo, že kohomologie H * (F, ZF) je triviální; od předchozí věty M. Mihalik [6] to naznačuje F je jednoduše spojeno v nekonečnu a uvedený výsledek znamená, že veškerá homologie v nekonečnu zmizí, následuje tvrzení o homotopických skupinách. (3) prokázali M. Brin a C. Squier.[7] Stav (4) je popsán výše.
Není známo, zda F uspokojuje Farrell-Jonesova domněnka. Dokonce není známo, zda skupina Whiteheadů z F (vidět Torze Whitehead ) nebo skupina projektivní třídy F (vidět Wall je překážka konečnosti ) je triviální, i když se to snadno ukázalo F splňuje Strong Bass Conjecture.
D. Farley [8] to ukázal F působí jako transformace paluby na lokálně konečný kubický komplex CAT (0) (nutně nekonečné dimenze). Důsledkem je to F uspokojuje Baum-Connesova domněnka.
Viz také
Reference
- ^ Shavgulidze, E. (2009), „Thompsonova skupina F je přístupná“, Nekonečná dimenzionální analýza, kvantová pravděpodobnost a související témata, 12 (2): 173–191, doi:10,1142 / s0219025709003719, PAN 2541392
- ^ Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), „Rozdělení homotopy idempotentů“, Journal of Pure and Applied Algebra, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-b, PAN 1239554
- ^ Dydak, Jerzy; Minc, Piotr (1977), „Jednoduchý důkaz, že špičaté prostory FANR jsou pravidelné zásadní zatahování ANR“, Bulletin de l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 25: 55–62, PAN 0442918
- ^ Brown, K. S.; Geoghegan, Ross (1984), Nekonečně dimenzionální skupina FP_infinity bez kroucení, 77, str. 367–381, Bibcode:1984InMat..77..367B, doi:10.1007 / bf01388451, PAN 0752825
- ^ Brown, K. S.; Geoghegan, Ross (1985), „Kohomologie s volnými koeficienty základní skupiny grafu skupin“, Commentarii Mathematici Helvetici, 60: 31–45, doi:10.1007 / bf02567398, PAN 0787660
- ^ Mihalik, M. (1985), „Konce skupin s celými čísly jako kvocientem“, Journal of Pure and Applied Algebra, 35: 305–320, doi:10.1016/0022-4049(85)90048-9, PAN 0777262
- ^ Brin, Matthew .; Squier, Craig (1985), „Skupiny po částech lineárních homeomorfismů skutečné linie“, Inventiones Mathematicae, 79 (3): 485–498, Bibcode:1985InMat..79..485B, doi:10.1007 / bf01388519, PAN 0782231
- ^ Farley, D. (2003), „Konečnost a CAT (0) vlastnosti skupin diagramů“, Topologie, 42 (5): 1065–1082, doi:10.1016 / s0040-9383 (02) 00029-0, PAN 1978047
- Cannon, J. W.; Floyd, W. J.; Parry, W. R. (1996), „Úvodní poznámky ke skupinám Richarda Thompsona“ (PDF), L'Enseignement Mathématique, IIe Série, 42 (3): 215–256, ISSN 0013-8584, PAN 1426438
- Cannon, J.W .; Floyd, W. J. (září 2011). „CO JE ... Thompsonova skupina?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 58 (8): 1112–1113. ISSN 0002-9920. Citováno 27. prosince 2011.
- Geoghegan, Ross (2008), Topologické metody v teorii skupin, Postgraduální texty z matematiky, 243, Springer Verlag, arXiv:matematika / 0601683, doi:10.1142 / S0129167X07004072, ISBN 978-0-387-74611-1, PAN 2325352
- Higman, Graham (1974), Konečně prezentovány nekonečné jednoduché skupiny Poznámky k čisté matematice, 8, Katedra čisté matematiky, Katedra matematiky, I.A.S. Australian National University, Canberra, ISBN 978-0-7081-0300-5, PAN 0376874