Poissonova hranice - Poisson boundary

v matematika, Poissonova hranice je změřte prostor spojené s a náhodná procházka. Je to objekt určený ke kódování asymptotické chování náhodné chůze, tj. jak se trajektorie rozcházejí, když počet kroků jde do nekonečna. Navzdory tomu, že je nazýván hranicí, je to obecně čistě mírový teoretický objekt a nikoli hranice v topologickém smyslu. V případě, že je náhodná procházka v topologickém prostoru, lze Poissonovu hranici vztahovat k Hranice Martina což je analytická konstrukce poskytující skutečnou topologickou hranici. Obě hranice souvisí harmonické funkce v prostoru prostřednictvím zobecnění Poissonův vzorec.

Případ hyperbolické roviny

Poissonův vzorec uvádí, že vzhledem k pozitivní harmonické funkci ${ displaystyle f}$ na jednotka disku ${ displaystyle mathbb {D} = {z v mathbb {C}: | z | <1 }}$ (to znamená, ${ displaystyle Delta f = 0}$ kde ${ displaystyle Delta}$ je Operátor Laplace – Beltrami spojené s Poincarého metrika na ${ displaystyle mathbb {D}}$) existuje jedinečné opatření ${ displaystyle mu}$ na hranici ${ displaystyle částečné mathbb {D} = {z v mathbb {C}: | z | = 1 }}$ takové, že rovnost

${ displaystyle f (z) = int _ { částečné mathbb {D}} K (z, xi) , d mu ( xi)}$ kde ${ displaystyle K (z, xi) = { frac {1- | z | ^ {2}} {| xi -z | ^ {2}}}}$ je Poissonovo jádro,

platí pro všechny ${ displaystyle z in mathbb {D}}$. Jedním ze způsobů, jak to interpretovat, je, že funkce ${ displaystyle K ( cdot, xi)}$ pro ${ displaystyle xi v částečné mathbb {D}}$ jsou na škálování všech extrémní body v kuželu nezáporných harmonických funkcí. Tato analytická interpretace množiny ${ displaystyle částečné mathbb {D}}$ vede k obecnější představě o minimální hranice Martina (což je v tomto případě úplné Hranice Martina).

Tuto skutečnost lze také interpretovat pravděpodobnostním způsobem. Li ${ displaystyle W_ {t}}$ je Markov proces spojené s ${ displaystyle Delta}$ (tj Brownův pohyb na disku s metrikou Poincaré Riemannian), pak proces ${ displaystyle f (W_ {t})}$ je nepřetržitý čas martingale, a jako takový konverguje téměř všude k funkci na Wienerův prostor možných (nekonečných) trajektorií pro ${ displaystyle W_ {t}}$. Poissonův vzorec tedy identifikuje tento měřený prostor s hranicí Martina konstruovanou výše a nakonec k ${ displaystyle částečné mathbb {D}}$ obdařen třídou Lebesgueovy míry (všimněte si, že tuto identifikaci lze provést přímo, protože cesta ve vídeňském prostoru téměř jistě konverguje k bodu na ${ displaystyle částečné mathbb {D}}$). Tato interpretace ${ displaystyle částečné mathbb {D}}$ protože prostor trajektorií pro Markovův proces je zvláštním případem konstrukce Poissonovy hranice.

Nakonec lze výše uvedené konstrukce diskretizovat, tj. Omezit na náhodné procházky po drahách a Fuchsijská skupina jednající na ${ displaystyle mathbb {D}}$. To poskytuje identifikaci extrémních pozitivních harmonických funkcí ve skupině a prostoru trajektorií náhodného pochodu ve skupině (obě s ohledem na dané měřítko pravděpodobnosti) s topologickým / měřeným prostorem ${ displaystyle mathbb {D}}$.

Definice

Poissonova hranice náhodné chůze po diskrétní skupině

Nechat ${ displaystyle G}$ být samostatnou skupinou a ${ displaystyle mu}$ míra pravděpodobnosti na ${ displaystyle G}$, který bude použit k definování náhodné chůze ${ displaystyle X_ {t}}$ na ${ displaystyle G}$ (Markovův proces v diskrétním čase, jehož pravděpodobnosti přechodu jsou ${ displaystyle p (x, y) = mu (xy ^ {- 1})}$); Měření ${ displaystyle mu}$ se nazývá kroková distribuce pro náhodnou procházku. Nechat ${ displaystyle m}$ být dalším opatřením ${ displaystyle G}$, což bude počáteční stav pro náhodnou procházku. Prostor ${ displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$ trajektorií pro ${ displaystyle X_ {t}}$ je opatřen opatřením ${ displaystyle mathbb {P} _ {m} = m * mu ^ {* mathbb {N}}}$ (kde ${ displaystyle *}$ označuje konvoluce opatření). K dispozici je také vztah ekvivalence ${ displaystyle sim}$ na ${ displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$, který identifikuje ${ displaystyle (x_ {t})}$ na ${ displaystyle (y_ {t})}$ pokud existuje ${ displaystyle n, m in mathbb {N}}$ takhle ${ displaystyle x_ {t + n} = y_ {t + m}}$ pro všechny ${ displaystyle t geq 0}$ (dvě trajektorie mají stejný „ocas“). The Poissonova hranice z ${ displaystyle (G, mu)}$ je pak měřený prostor ${ displaystyle Gamma}$ získaný jako podíl ${ displaystyle (G ^ { mathbb {N}}, mathbb {P} _ {m})}$ vztahem ekvivalence ${ displaystyle sim}$.^[1]

Li ${ displaystyle theta}$ je počáteční rozdělení náhodné chůze s krokovým rozdělením ${ displaystyle mu}$ pak opatření ${ displaystyle nu _ { theta}}$ na ${ displaystyle Gamma}$ získané jako předzvěst ${ displaystyle mathbb {P} _ { theta}}$. Je to stacionární opatření pro ${ displaystyle (G, mu)}$, znamenající, že

${ displaystyle int _ {G} nu (g ^ {- 1} A) mu (g) ​​= nu _ { theta} (A).}$

Je možné implicitně definovat Poissonovu hranici jako maximální ${ displaystyle G}$-set s a ${ displaystyle (G, mu)}$-stacionární opatření ${ displaystyle nu}$, splňující další podmínku, že ${ displaystyle (X_ {t}) _ {*} nu}$ téměř jistě slabě konverguje do a Diracova hmotnost.^[2]

Poissonův vzorec

Nechat ${ displaystyle f}$ být ${ displaystyle mu}$-harmonická funkce zapnuta ${ displaystyle G}$, znamenající, že ${ displaystyle suma _ {h v G} f (hg) mu (h) = f (g)}$. Pak náhodná proměnná ${ displaystyle f (X_ {t})}$ je martingale v diskrétním čase, a tak téměř jistě konverguje. Označit podle ${ displaystyle { hat {f}}}$ funkce zapnuta ${ displaystyle Gamma}$ získá se z limitu hodnot ${ displaystyle f}$ podél trajektorie (to je definováno téměř všude na ${ displaystyle G ^ { mathbb {N}}}$ a shift-invariant). Nechat ${ displaystyle x v G}$ a nechte ${ displaystyle nu _ {x}}$ být míra získaná zúžením výše s ${ displaystyle theta = delta _ {x}}$ (Diracova mše v ${ displaystyle x}$). Li ${ displaystyle f}$ je buď pozitivní, nebo omezený ${ displaystyle { hat {f}}}$ je také a my máme Poissonův vzorec:

${ displaystyle f (x) = int _ { Gamma} { hat {f}} ( gamma) , d nu _ {x} ( gamma).}$

Tím vznikne bijekce mezi ${ displaystyle mu}$-harmonické ohraničené funkce a v podstatě ohraničené měřitelné funkce na ${ displaystyle Gamma}$. Zejména Poissonova hranice ${ displaystyle (G, mu)}$ je triviální, který se redukuje na bod, právě když je jediný ohraničený ${ displaystyle mu}$-harmonické funkce zapnuty ${ displaystyle G}$ jsou konstantní.

Obecná definice

Obecné nastavení je a Operátor Markov na měřeném prostoru, pojem, který zobecňuje Markovův operátor ${ displaystyle f mapsto mu * f}$ spojené s náhodnou procházkou. Hodně z teorie lze vyvinout v tomto abstraktním a velmi obecném prostředí.

Martinská hranice

Martinova hranice diskrétní skupiny

Nechat ${ displaystyle G, mu}$ být náhodnou procházkou po diskrétní skupině. Nechat ${ displaystyle p_ {n} (x, y)}$ je pravděpodobnost, že se z ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle n}$ kroky, tj. ${ displaystyle mu ^ {* n} (x ^ {- 1} y)}$. Zelené jádro je podle definice:

${ displaystyle { mathcal {G}} (x, y) = součet _ {n geq 1} p_ {n} (x, y).}$

Pokud je chůze přechodná, pak je tato řada konvergentní pro všechny ${ displaystyle x, y}$. Opravte bod ${ displaystyle o v G}$ a definujte Martinovo jádro pomocí: ${ displaystyle { mathcal {K}} _ {o} (x, y) = { frac {{ mathcal {G}} (x, y)} {{ mathcal {G}} (o, y) }}}$. Vložení ${ displaystyle y mapsto { mathcal {K}} _ {o} ( cdot, y)}$ má relativně kompaktní obraz pro topologii bodové konvergence a Martinovo zhutnění je uzavřením tohoto obrazu. Bod ${ displaystyle gamma v gama}$ je obvykle reprezentován zápisem ${ displaystyle { mathcal {K}} ( cdot, gamma)}$.

Martinova jádra jsou pozitivní harmonické funkce a každá pozitivní harmonická funkce může být vyjádřena jako integrál funkcí na hranici, to znamená, že pro každou pozitivní harmonickou funkci existuje míra ${ displaystyle nu _ {o, f}}$ na ${ displaystyle Gamma}$ tak, že Poissonův vzorec platí:

${ displaystyle f (x) = int { mathcal {K}} _ {o} (x, gamma) , d nu _ {o, f} ( gamma).}$

Opatření ${ displaystyle nu _ {o, f}}$ jsou podporovány na minimální Martinova hranice, jejíž prvky lze také charakterizovat tím, že jsou minimální. Pozitivní harmonická funkce ${ displaystyle u}$ se říká, že je minimální pokud pro jakoukoli harmonickou funkci ${ displaystyle v}$ s ${ displaystyle 0 leq v leq u}$ tady existuje ${ displaystyle c v [0,1]}$ takhle ${ displaystyle v = cu}$.^[3]

Ve skutečnosti existuje celá rodina Martinových zhutnění. Definujte zelenou generující řadu jako

${ displaystyle { mathcal {G}} _ {r} (x, y) = součet _ {n geq 1} p_ {n} (x, y) r ^ {n}.}$

Označit podle ${ displaystyle R}$ poloměr konvergence této výkonové řadya definovat pro ${ displaystyle 1 leq r leq R}$ the ${ displaystyle r}$- Martinské jádro od${ displaystyle { mathcal {K}} _ {o, r} (x, y) = { frac {{ mathcal {G}} _ {r} (x, y)} {{ mathcal {G} } _ {r} (o, y)}}}$Uzávěr vkládání ${ displaystyle y mapsto { mathcal {K}} _ {o, r} ( cdot, y)}$ se nazývá ${ displaystyle r}$-Martinské zhutnění.

Martinova hranice Riemannova potrubí

Pro Riemannovo potrubí je hranice Martina zkonstruována, pokud existuje, stejným způsobem jako výše, pomocí Zelená funkce operátora Laplace – Beltrami ${ displaystyle Delta}$. V tomto případě je s operátory spojena celá rodina Martinových zhutnění ${ displaystyle Delta + lambda}$ pro ${ displaystyle 0 leq lambda leq lambda _ {0}}$ kde ${ displaystyle lambda _ {0}}$ je spodní část spektra. Příklady, kde lze tuto konstrukci použít k definování zhutnění, jsou omezené domény v rovině a symetrické prostory nekompaktní typ.^[4]

Vztah mezi hranicemi Martina a Poissona

Měření ${ displaystyle nu _ {o, 1}}$ odpovídající konstantní funkci se nazývá harmonické opatření na hranici Martina. S tímto měřítkem je Martinova hranice izomorfní s Poissonovou hranicí.

Příklady

Nilpotentní skupiny

Hranice Poissona a Martina jsou triviální pro symetrické náhodné procházky v nilpotentních skupinách.^[5] Na druhou stranu, když náhodná procházka není vycentrovaná, studium celé Martinovy ​​hranice, včetně minimálních funkcí, je mnohem méně přesvědčivé.

Ležové skupiny a diskrétní podskupiny

Pro náhodné procházky po polojednodušé Lieově skupině (s krokovým rozdělením absolutně spojitým s ohledem na Haarovu míru) je Poissonova hranice rovna Furstenbergova hranice.^[6] Poissonova hranice Brownova pohybu na přidruženém symetrickém prostoru je také Furstenbergovou hranicí.^[7] Celá Martinova hranice je v těchto případech také dobře prostudována a lze ji vždy popsat geometrickým způsobem. Například pro skupiny první úrovně (například izometrické skupiny hyperbolické prostory ) plná hranice Martina je stejná jako minimální hranice Martina (situace ve vyšších hodnostních skupinách je komplikovanější).^[8]

Poissonova hranice a Zariski hustý podskupina polojednoduché Lieovy skupiny, například a mříž, se také rovná Furstenbergově hranici skupiny.^[9]

Hyperbolické skupiny

Pro náhodné procházky na a hyperbolická skupina, za poměrně slabých předpokladů o rozdělení kroku, které vždy platí pro jednoduchou procházku (obecnější podmínkou je, že první okamžik je konečný), je Poissonova hranice vždy stejná jako hranice Gromov. Například Poissonova hranice volné skupiny je prostor končí jeho stromu Cayley.^[10] Identifikace celé hranice Martina je více zapojena; v případě, že náhodná procházka má konečný rozsah (rozdělení kroku je podporováno na konečné sadě), Martinova hranice se shoduje s minimální Martinovou hranicí a obě se shodují s hranicí Gromov.

Poznámky

Reference

• Ballmann, Werner; Ledrappier, François (1994). „Poissonova hranice pro potrubí první řady a jejich kompaktní mřížky“. Matematika fóra. 6 (3). 301–313. PAN  1269841.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Furstenberg, Harry (1963). "Poissonův vzorec pro polojednoduché Lieovy skupiny". Ann. matematiky. 2. 77. str. 335–386. PAN  0146298.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Guivarc'h, Yves; Ji, Lizhen; Taylor, John C. (1998). Zhutnění symetrických prostorů. Birkhäuser.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kaimanovič, Vadim A. (1996). "Hranice invariantních Markovových operátorů: problém identifikace". In Pollicott, Mark; Schmidt, Klaus (eds.). Ergodická teorie Z^d akce (Warwick, 1993–1994). London Math. Soc. Přednáška Ser. 228. Cambridge Univ. Press, Cambridge. str. 127–176. PAN  1411218.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Kaimanovič, Vadim A. (2000). "Poissonův vzorec pro skupiny s hyperbolickými vlastnostmi". Ann. matematiky. 2. 152. str. 659–692. PAN  1815698.CS1 maint: ref = harv (odkaz)