Opravitelná skupina - Amenable group

v matematika, an přístupná skupina je místně kompaktní topologická skupina G provedení jakési průměrovací operace na omezených funkcích, která je neměnný pod překladem pomocí skupinových prvků. Původní definice, pokud jde o konečně aditivní invariantní míru (nebo průměr) u podmnožin G, byl představen John von Neumann v roce 1929 pod Němec název "messbar" (v angličtině "měřitelný") v reakci na Banach – Tarski paradox. V roce 1949 Mahlon M. Day představil anglický překlad „vhodný“, zřejmě jako slovní hříčkaznamenat".^[1]

The přístupnost vlastnost má velké množství ekvivalentních formulací. V oblasti analýza, definice je ve smyslu lineární funkcionály. Intuitivní způsob pochopení této verze je, že Podpěra, podpora z pravidelné zastoupení je celý prostor neredukovatelné reprezentace.

v teorie diskrétních skupin, kde G má diskrétní topologie, používá se jednodušší definice. V tomto nastavení je skupina přístupná, pokud lze říci, v jakém poměru G kterákoli podskupina zabírá.

Pokud má skupina a Følnerova sekvence pak je to automaticky přístupné.

Definice pro lokálně kompaktní skupiny

Nechat G být místně kompaktní Hausdorff skupina. Pak je dobře známo, že má jedinečnou, v měřítku invariantní netriviální kruhovou míru, levou (nebo pravou) rotaci, Haarovo opatření. (Toto je Borelova pravidelná míra když G je druhý spočetný; existují levá i pravá opatření, když G je kompaktní.) Zvažte Banachův prostor L^∞(G) z v podstatě omezený měřitelné funkce v tomto měřícím prostoru (který je jasně nezávislý na měřítku Haarovy míry).

Definice 1. Lineární funkční Λ v Hom (L^∞(G), R) se říká, že je znamenat pokud Λ má normu 1 a je nezáporná, tj. F ≥ 0 a.e. znamená Λ (F) ≥ 0.

Definice 2. Průměrné Λ v Hom (L^∞(G), R) se říká, že je left-invariant (resp. pravý invariant) pokud Λ (G·F) = Λ (F) pro všechny G v G, a F v L^∞(G) vzhledem k levému (resp. pravému) posunu akce G·F(x) = F(G⁻¹X) (resp. F·G(x) = F(xg⁻¹) ).

Definice 3. Je nazývána místně kompaktní skupina Hausdorff přístupný pokud připouští levý (nebo pravý) invariantní průměr.

Rovnocenné podmínky pro přístupnost

Molo (1984) obsahuje komplexní popis podmínek na druhé spočetné lokálně kompaktní skupině G které jsou ekvivalentní přístupnosti:^[2]

• Existence levého (nebo pravého) invariantního průměru na L^∞(G). Původní definice, která závisí na axiom volby.
• Existence stavů invariantních vlevo. Na libovolné oddělitelné levo-invariantní unitalní subalgebře C * omezených spojitých funkcí na levém invariantním stavu je G.
• Vlastnost s pevným bodem. Jakákoli akce skupiny nepřetržitým afinní transformace na kompaktní konvexní podmnožina (oddělitelné) lokálně konvexní topologický vektorový prostor má pevný bod. Pro místně kompaktní abelianské skupiny je tato vlastnost uspokojena jako výsledek Věta o pevném bodě Markov – Kakutani.
• Neredukovatelná dvojka. Všechny neredukovatelné reprezentace jsou slabě obsaženy v levé pravidelné reprezentaci λ na L²(G).
• Triviální zastoupení. Triviální znázornění G je slabě obsažen v levém pravidelném zobrazení.
• Podmínka božství. Každá ohraničená kladně definitivní míra μ na G vyhovuje μ (1) ≥ 0. Valette (1998) zdokonalil toto kritérium tím, že ukázal, že je dostačující žádat, aby pro každou kontinuální kladně definitivní kompaktně podporovanou funkci F na G, funkce Δ^–½F má nezáporný integrál vzhledem k Haarově míře, kde Δ označuje modulární funkci.
• Denní asymptotická invariance. Existuje posloupnost integrovatelných nezáporných funkcí φ_n s integrovaným 1 na G takové, že λ (G) φ_n - φ_n při slabé topologii má tendenci k 0 L¹(G).
• Reiterův stav. Pro každou konečnou (nebo kompaktní) podmnožinu F z G existuje integrovatelná nezáporná funkce φ s integrálem 1 tak, že λ (G) φ - φ je libovolně malá L¹(G) pro G v F.
• Dixmierův stav. Pro každou konečnou (nebo kompaktní) podmnožinu F z G existuje jednotkový vektor F v L²(G) takové, že λ (G)F − F je libovolně malá L²(G) pro G v F.
• Glicksberg - Reiterova podmínka. Pro všechny F v L¹(G), vzdálenost mezi 0 a uzavřeným konvexním trupem dovnitř L¹(G) vlevo překládá λ (G)F rovná se | ∫F|.
• Følnerův stav. Pro každou konečnou (nebo kompaktní) podmnožinu F z G existuje měřitelná podmnožina U z G s konečnou kladnou Haarovou mírou takovou m(U Δ gU) / m (U) je libovolně malý pro G v F.
• Stav leptinu. Pro každou konečnou (nebo kompaktní) podmnožinu F z G existuje měřitelná podmnožina U z G s konečnou kladnou Haarovou mírou takovou m(FU Δ U) / m (U) je libovolně malý.
• Kestenův stav. Levá konvoluce zapnuta L²(G) pomocí symetrické míry pravděpodobnosti na G dává operátorovi normu operátora 1.
• Johnsonův kohomologický stav. Banachova algebra A = L¹(G) je přístupné jako Banachova algebra, tj. jakákoli omezená derivace A do duálu Banacha A-bimodul je vnitřní.

Případ diskrétních skupin

Definice přístupnosti je jednodušší v případě a diskrétní skupina,^[3] tj. skupina vybavená diskrétní topologií.^[4]

Definice. Diskrétní skupina G je přístupný pokud existuje konečně přísada opatření (nazývané také průměr) - funkce, která je přiřazena každé podmnožině G číslo od 0 do 1 - takové, že

1. Opatření je a míra pravděpodobnosti: míra celé skupiny G je 1.
2. Opatření je konečně aditivní: konečně dáno mnoho nesouvislých podmnožin G, míra sjednocení množin je součtem měr.
3. Opatření je left-invariant: vzhledem k podmnožině A a prvek G z G, míra A rovná se míře gA. (gA označuje sadu prvků ga pro každý prvek A v A. To znamená, že každý prvek A je přeložen vlevo odG.)

Tuto definici lze shrnout takto: G je přístupný, pokud má konečně aditivní míru pravděpodobnosti vlevo a invariantu. Vzhledem k podmnožině A z G, lze opatření považovat za odpověď na otázku: jaká je pravděpodobnost, že náhodný prvek G je v A?

Je pravda, že tato definice je ekvivalentní definici, pokud jde oL^∞(G).

Měření μ na G umožňuje definovat integraci omezených funkcí naG. Vzhledem k omezené funkci F : G → R, integrál

${ displaystyle int _ {G} f , d mu}$

je definován jako v Lebesgueova integrace. (Všimněte si, že zde selhávají některé vlastnosti Lebesgueova integrálu, protože naše míra je pouze konečně aditivní.)

Pokud má skupina míru levou invariantní, má automaticky bi-invariantní. Vzhledem k míře invariantní vlevo μ, funkci μ⁻(A) = μ (A⁻¹) je míra invariantní vpravo. Kombinace těchto dvou dává bi-invariantní míru:

${ displaystyle nu (A) = int _ {g v G} mu vlevo (Ag ^ {- 1} vpravo) , d mu ^ {-}.}$

Ekvivalentní podmínky pro přístupnost se také stávají jednoduššími v případě spočítatelné diskrétní skupiny Γ. Pro takovou skupinu jsou ekvivalentní následující podmínky:^[5]

• Γ je přístupný.
• Pokud Γ působí izometrií na (oddělitelný) Banachův prostor E, zanechávající slabě uzavřenou konvexní podmnožinu C uzavřené jednotkové koule z E* invariant, pak Γ má pevný bod v C.
• Na ℓ je levý invariantní normou spojitý funkční μ^∞(Γ) s μ (1) = 1 (vyžaduje axiom volby ).
• Existuje levý invariant Stát μ na libovolném levém invariantním oddělitelném unitalu C * subalgebra z ℓ^∞(Γ).
• Existuje sada pravděpodobnostních opatření μ_n na Γ takové, že ||G · Μ_n - μ_n||₁ inklinuje k 0 pro každého G v Γ (M.M. Day).
• Existují jednotkové vektory X_n v ℓ²(Γ) takové, že ||G · X_n − X_n||₂ inklinuje k 0 pro každého G v Γ (J. Dixmier).
• Existují konečné podmnožiny S_n Γ takové, že |G · S_n Δ S_n| / |S_n| inklinuje k 0 pro každého G v Γ (Følner).
• Pokud μ je symetrická míra pravděpodobnosti na Γ s podporou generující Γ, pak konvoluce o μ definuje operátor normy 1 na ℓ²(Γ) (Kesten).
• Pokud Γ působí izometrií na (oddělitelný) Banachův prostor E a F v ℓ^∞(Γ, E*) je ohraničený 1-cyklus, tj. F(gh) = F(G) + G·F(h), pak F je 1-hranice, tj. F(G) = G· Φ - φ pro některé φ v E* (B.E. Johnson).
• The redukovaná skupina C * -algebra (vidět redukovaná skupina C * -algebra C_r*(G) ) je jaderný.
• The redukovaná skupina C * -algebra je kvazidiagonální (J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
• The von Neumannova skupinová algebra (vidět von Neumannovy algebry sdružené do skupin ) z Γ je hyperfinitní (A. Connes).

Všimněte si, že A. Connes také dokázal, že algebra skupiny von Neumann jakékoli připojené lokálně kompaktní skupiny je hyperfinitní, takže poslední podmínka již neplatí v případě spojených skupin.

Amenabilita souvisí s spektrální teorie některých provozovatelů. Například základní skupina uzavřeného Riemannova potrubí je přístupná právě tehdy, když spodní část spektra Laplacian na L2-prostor univerzálního krytu potrubí je 0.^[6]

Vlastnosti

• Každá (uzavřená) podskupina přístupné skupiny je přístupná.
• Každý podíl přístupné skupiny je přístupný.
• A rozšíření skupiny přístupné skupiny přístupnou skupinou je opět přístupná. Zejména konečné přímý produkt přístupných skupin je přístupných, i když nekonečné produkty nemusí být.
• Přímé limity přístupných skupin jsou přístupné. Zejména pokud lze skupinu napsat jako řízené spojení přístupných podskupin, pak je přístupná.
• Opravitelné skupiny jsou unitarizable; konverzace je otevřený problém.
• Počítatelné diskrétní přístupné skupiny se řídí Věta o izomorfismu Ornstein.^[7][8]

Příklady

• Konečné skupiny jsou přístupní. Použijte počítání opatření s diskrétní definicí. Obecněji, kompaktní skupiny jsou přístupné. Haarova míra je neměnný průměr (jedinečný při celkové míře 1).
• Skupina celá čísla je přístupný (posloupnost intervalů délky inklinujících k nekonečnu je Følnerova posloupnost). Existence míry invariantního posunu, konečně aditivní míry pravděpodobnosti ve skupině Z také snadno vyplývá z Hahnova – Banachova věta tudy. Nechat S být operátorem směny na sekvenční prostor ℓ^∞(Z), který je definován (Sx)_i = X_i+1 pro všechny X ∈ ℓ^∞(Z) a nechte u ∈ ℓ^∞(Z) být konstantní sekvence u_i = 1 pro všechny i ∈ Z. Libovolný prvek y ∈ Y: = rozsah (S − Já) má vzdálenost větší nebo rovnou 1 od u (v opačném případě y_i = x_{i + 1} - X_i bude pozitivní a ohraničený od nuly, odkud X_i nelze ohraničit). To znamená, že v podprostoru existuje dobře definovaná lineární forma norm-one Ru+ Y brát tu + y na t. Podle Hahn-Banachovy věty druhý připouští lineární prodloužení na normě ℓ^∞(Z), což je konstrukčně posunově invariantní konečně aditivní míra pravděpodobnosti na Z.
• Pokud má každá třída konjugace v místně kompaktní skupině kompaktní uzavření, pak je skupina přístupná. Mezi příklady skupin s touto vlastností patří kompaktní skupiny, lokálně kompaktní abelianské skupiny a diskrétní skupiny s třídami konečné konjugace.^[9]
• Podle výše uvedené vlastnosti přímého limitu je skupina přístupná, pokud je k dispozici celá definitivně generováno podskupiny jsou. To znamená, že místně přístupné skupiny jsou přístupné.
  • Podle základní věta o konečně generovaných abelianských skupinách, z toho vyplývá, že abelianské skupiny jsou přístupní.
• Z výše uvedené vlastnosti rozšíření vyplývá, že skupina je přístupná, pokud má konečnou hodnotu index přístupná podskupina. To znamená, že prakticky přístupné skupiny jsou přístupné.
• Z toho dále vyplývá, že vše řešitelné skupiny jsou přístupní.

Všechny výše uvedené příklady jsou základní přístupné. První třídu příkladů níže lze použít k vystavení neelementárních vhodných příkladů díky existenci skupin střední růst.

• Konečně generované skupiny subexponenciální růst jsou přístupní. Vhodná posloupnost koulí poskytne Følnerovu sekvenci.^[10]

• Konečně vygenerovaný nekonečný jednoduché skupiny nelze získat konstrukcemi bootstrapu, jak se používají ke konstrukci základních přístupných skupin. Protože existují takové jednoduché skupiny, které jsou přístupné, díky Juschenkovi a Monod,^[11] to poskytuje opět neelementární přístupné příklady.

Žádné příklady

Pokud spočetná samostatná skupina obsahuje (neabelovskou) volný, uvolnit podskupina na dvou generátorech, pak to není možné. Konverzací k tomuto tvrzení je tzv von Neumannova domněnka, který byl vyvrácen Olshanskii v roce 1980 pomocí jeho Tarski monstra. Adyan to následně ukázal zdarma Burnside skupiny jsou nepřizpůsobiví: protože jsou periodicky, nemohou obsahovat volnou skupinu na dvou generátorech. Tyto skupiny jsou definitivně generovány, ale nejsou definitivně prezentovány. V roce 2002 však Sapir a Olshanskii našli konečně představen protipříklady: nelze použít konečně prezentované skupiny které mají periodickou normální podskupinu s podílem celých čísel.^[12]

Pro definitivně generované lineární skupiny, nicméně, von Neumann domněnka je pravdivá Prsa alternativa:^[13] každá podskupina GL(n,k) s k pole má buď normální řešitelnou podskupinu konečného indexu (a proto je přístupné), nebo obsahuje volnou skupinu na dvou generátorech. Ačkoli Prsa 'použit důkaz algebraická geometrie, Guivarc'h později našel analytický důkaz založený na V. Oseledets ' multiplikativní ergodická věta.^[14] Alternativy analogů Tits byly prokázány pro mnoho dalších tříd skupin, jako např základní skupiny 2-dimenzionální zjednodušené komplexy z non-pozitivní zakřivení.^[15]

Viz také

• Rovnoměrně ohraničené zobrazení
• Kazhdanův majetek (T)
• Von Neumann domněnka

Poznámky

Reference

Tento článek obsahuje materiál ze skupiny Amenable dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

• Brooks, Robert (1981), „Základní skupina a spektrum laplacian“, Komentář. Matematika. Helv., 56: 581–598, doi:10.1007 / bf02566228
• Dixmier, Jacques (1977), C * -algebry (z francouzštiny přeložil Francis Jellett)Matematická knihovna v Severním Holandsku, 15, Severní Holandsko
• Greenleaf, F.P. (1969), Invariant znamená topologické skupiny a jejich aplikace, Van Nostrand Reinhold
• Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), „Cantorovy systémy, po částech překlady a jednoduché přístupné skupiny“, Annals of Mathematics, 178 (2): 775–787, arXiv:1204.2132, doi:10.4007 / annals.2013.178.2.7
• Leptin, H. (1968), "Zur harmonischen Analyze klassenkompakter Gruppen", Vymyslet. Matematika., 5 (4): 249–254, Bibcode:1968InMat ... 5..249L, doi:10.1007 / bf01389775
• Pier, Jean-Paul (1984), Upravitelné místně kompaktní skupinyČistá a aplikovaná matematika, Wiley, Zbl  0621.43001
• Runde, V. (2002), Přednášky o AmenabilityPřednášky z matematiky, 1774Springer, ISBN  9783540428527
• Sunada, Toshikazu (1989), „Jednotná reprezentace základních skupin a spektrum zkroucených Laplacianů“, Topologie, 28 (2): 125–132, doi:10.1016/0040-9383(89)90015-3
• Takesaki, M. (2001), Teorie operátorových algeber ISpringer, ISBN  9783540422488
• Takesaki, M. (2002), Teorie operátorových algeber IISpringer, ISBN  9783540429142
• Takesaki, M. (2013), Teorie operátorových algeber IIISpringer, ISBN  9783662104538
• Valette, Alain (1998), „K Božské charakterizaci přístupnosti“ (PDF), Býk. Jižní. Matematika. Soc., 57: 153–158, doi:10.1017 / s0004972700031506
• von Neumann, J. (1929), „Zur allgemeinen Theorie des Maßes“ (PDF), Fond. Matematika., 13 (1): 73–111, doi:10,4064 / fm-13-1-73-116

externí odkazy

• Několik poznámek k přístupnosti podle Terry Tao