Konvergenční skupina - Convergence group

V matematice, a konvergenční skupina nebo a diskrétní konvergenční skupina je skupina ${ displaystyle Gamma}$ herectví podle homeomorfismy na kompaktní měřitelný prostor ${ displaystyle M}$ způsobem, který zevšeobecňuje vlastnosti akce Kleinianova skupina podle Möbiovy transformace na ideální hranici ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ z hyperbolický 3-prostor ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ Pojem konvergenční skupiny představil Gehring a Martin (1987) ^[1] a od té doby našel široké aplikace v geometrická topologie, kvazikonformní analýza, a teorie geometrických skupin.

Formální definice

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupinou jednající homeomorfismy v kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$. Tato akce se nazývá a konvergenční akce nebo a diskrétní konvergenční akce (a pak ${ displaystyle Gamma}$ se nazývá a konvergenční skupina nebo a diskrétní konvergenční skupina pro tuto akci) pokud pro každou nekonečnou odlišnou sekvenci prvků ${ displaystyle gamma _ {n} v Gamma}$ existuje subsekvence ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}}, k = 1,2, tečky}$ a body ${ displaystyle a, b v M}$ takové, že mapy ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}} { velký |} _ {M setminus {a }}}$ rovnoměrně konvergovat u kompaktních podmnožin k neustálému odesílání mapy ${ displaystyle M setminus {a }}$ na ${ displaystyle b}$. Tady jednotné sbližování kompaktních podmnožin znamená pro každé otevřené sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle b}$ v ${ displaystyle M}$ a každý kompaktní ${ displaystyle K podmnožina M setminus {a }}$ existuje index ${ displaystyle k_ {0} geq 1}$ tak, že pro každého ${ displaystyle k geq k_ {0},}$ ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}} (K) subseteq U}$. Všimněte si, že „póly“ ${ displaystyle a, b v M}$ spojené s subsekvenci ${ displaystyle gamma _ {n_ {k}}}$ nemusí se odlišovat.

Reformulace, pokud jde o působení na odlišné trojnásobky

Výše uvedená definice konvergenční skupiny připouští užitečné ekvivalentní přeformulování, pokud jde o akci ${ displaystyle Gamma}$ na "prostoru odlišných trojic" z ${ displaystyle M}$.Pro sadu ${ displaystyle M}$ označit ${ displaystyle Theta (M): = M ^ {3} setminus Delta (M)}$, kde ${ displaystyle Delta (M) = {(a, b, c) v M ^ {3} střední # {a, b, c } leq 2 }}$. Sada ${ displaystyle Theta (M)}$ se nazývá „prostor odlišných trojic“ pro ${ displaystyle M}$.

Potom je známo, že platí tato rovnocennost:^[2]

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupinou jednající homeomorfismy v kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$ s alespoň dvěma body. Pak je tato akce diskrétní konvergenční akcí právě tehdy, pokud je indukovaná akce ${ displaystyle Gamma}$ na ${ displaystyle Theta (M)}$ je správně nesouvislé.

Příklady

• Akce a Kleinianova skupina ${ displaystyle Gamma}$ na ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2} = částečné mathbb {H} ^ {3}}$ podle Möbiovy transformace je akce konvergenční skupiny.
• Akce a hyperbolická skupina slov ${ displaystyle G}$ překlady na ideální hranici ${ displaystyle částečné G}$ je akce konvergenční skupiny.
• Akce a relativně hyperbolická skupina ${ displaystyle G}$ překlady na jeho hranici Bowditch ${ displaystyle částečné G}$ je akce konvergenční skupiny.
• Nechat ${ displaystyle X}$ být správným geodetem Gromov-hyperbolický metrický prostor a nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupinou působící správně diskontinuálně podle izometrií ${ displaystyle X}$. Pak odpovídající hraniční akce ${ displaystyle Gamma}$ na ${ displaystyle částečné X}$ je diskrétní konvergenční akce (Lemma 2.11 z ^[2]).

Klasifikace prvků v konvergenčních skupinách

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ být skupinou jednající homeomorfismy v kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$s alespoň třemi body, a nechť ${ displaystyle gamma v gama}$. Pak je známo (Lemma 3.1 v ^[2] nebo Lemma 6,2 palce ^[3]), že nastane přesně jedna z následujících možností:

(1) Prvek ${ displaystyle gamma}$ má konečné pořadí v ${ displaystyle Gamma}$; v tomto případě ${ displaystyle gamma}$ je nazýván eliptický.

(2) Prvek ${ displaystyle gamma}$ má nekonečný řád v ${ displaystyle Gamma}$ a pevná sada ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ je jediný bod; v tomto případě ${ displaystyle gamma}$ je nazýván parabolický.

(3) Prvek ${ displaystyle gamma}$ má nekonečný řád v ${ displaystyle Gamma}$ a pevná sada ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ skládá se ze dvou odlišných bodů; v tomto případě ${ displaystyle gamma}$ je nazýván loxodromní.

Navíc pro každého ${ displaystyle p neq 0}$ elementy ${ displaystyle gamma}$ a ${ displaystyle gamma ^ {p}}$mít stejný typ. Také v případech (2) a (3) ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma) = operatorname {Fix} _ {M} ( gamma ^ {p})}$ (kde ${ displaystyle p neq 0}$) a skupina ${ displaystyle langle gamma rangle}$ působí správně diskontinuálně ${ displaystyle M setminus operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$. Navíc, pokud ${ displaystyle gamma}$ je tedy loxodromní ${ displaystyle langle gamma rangle}$ působí správně diskontinuálně a souběžně ${ displaystyle M setminus operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$.

Li ${ displaystyle gamma v gama}$ je parabolický s pevným bodem ${ displaystyle a v M}$ pak pro každého ${ displaystyle x v M}$ jeden má ${ displaystyle lim _ {n to infty} gamma ^ {n} x = lim _ {n to - infty} gamma ^ {n} x = a}$Li ${ displaystyle gamma v gama}$ je tedy loxodromní ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma)}$ lze psát jako ${ displaystyle operatorname {Fix} _ {M} ( gamma) = {a _ {-}, a _ {+} }}$ takže pro každého ${ displaystyle x v M setminus {a _ {-} }}$ jeden má ${ displaystyle lim _ {n to infty} gamma ^ {n} x = a _ {+}}$ a pro každého ${ displaystyle x v M setminus {a _ {+} }}$ jeden má ${ displaystyle lim _ {n to - infty} gamma ^ {n} x = a _ {-}}$a tyto konvergence jsou u kompaktních podskupin jednotné ${ displaystyle M setminus {a _ {-}, _ {+} }}$.

Jednotné konvergenční skupiny

Diskrétní konvergenční akce skupiny ${ displaystyle Gamma}$ na kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$ je nazýván jednotný (v jakém případě ${ displaystyle Gamma}$ se nazývá a jednotná konvergenční skupina) pokud akce ${ displaystyle Gamma}$ na ${ displaystyle Theta (M)}$ je kompaktní. Tím pádem ${ displaystyle Gamma}$ je jednotná konvergenční skupina právě tehdy, když působí na ${ displaystyle Theta (M)}$ je jak správně diskontinuální, tak kompaktní.

Kónické mezní body

Nechat ${ displaystyle Gamma}$ působí na kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$ jako diskrétní konvergenční skupina. Bod ${ displaystyle x v M}$ se nazývá a kónický mezní bod (někdy také nazývaný a radiální mezní bod nebo a bod přiblížení) pokud existuje nekonečná posloupnost odlišných prvků ${ displaystyle gamma _ {n} v Gamma}$ a odlišné body ${ displaystyle a, b v M}$ takhle ${ displaystyle lim _ {n to infty} gama _ {n} x = a}$ a pro každého ${ displaystyle y in M ​​ setminus {x }}$ jeden má ${ displaystyle lim _ {n to infty} gamma _ {n} y = b}$.

Důležitým výsledkem Tukie,^[4] také nezávisle získané Bowditch,^[2][5] uvádí:

Diskrétní konvergenční skupinová akce skupiny ${ displaystyle Gamma}$ na kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$ je jednotný právě tehdy, když každý neizolovaný bod ${ displaystyle M}$ je kónický mezní bod.

Slovní hyperbolické skupiny a jejich hranice

Gromov to již pozoroval^[6] že přirozená akce překlady a hyperbolická skupina slov ${ displaystyle G}$ na jeho hranici ${ displaystyle částečné G}$ je jednotná konvergenční akce (viz^[2] pro formální důkaz). Bowditch^[5] se ukázala jako důležitá konverzace, čímž se získala topologická charakteristika slovně hyperbolických skupin:

Teorém. Nechat ${ displaystyle G}$ působí jako diskrétní jednotná konvergenční skupina v kompaktním měřitelném prostoru ${ displaystyle M}$ bez izolovaných bodů. Pak skupina ${ displaystyle G}$ je slovo hyperbolické a existuje a ${ displaystyle G}$ekvivariační homeomorfismus ${ displaystyle M až částečné G}$.

Konvergenční akce v kruhu

Izometrická akce skupiny ${ displaystyle G}$ na hyperbolická rovina ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ je nazýván geometrický pokud je tato akce správně diskontinuální a kompaktní. Každá geometrická akce ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ indukuje jednotnou konvergenční akci ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle mathbb {S} ^ {1} = částečné H ^ {2} přibližně částečné G}$Důležitým výsledkem Tukie (1986),^[7] Gabai (1992),^[8] Casson – Jungreis (1994),^[9] a Freden (1995)^[10] ukazuje, že konverzace také platí:

Teorém. Li ${ displaystyle G}$ je skupina jednající jako diskrétní jednotná konvergenční skupina ${ displaystyle mathbb {S} ^ {1}}$ pak je tato akce topologicky konjugovaná s akcí vyvolanou geometrickým působením ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ podle izometrií.

Všimněte si, že kdykoli ${ displaystyle G}$ působí geometricky na ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$, skupina ${ displaystyle G}$ je prakticky hyperbolická povrchová skupina, tj. ${ displaystyle G}$ obsahuje podskupinu konečných indexů isomorfní se základní skupinou uzavřeného hyperbolického povrchu.

Konvergenční akce ve 2 sféře

Jedna z ekvivalentních formulací z Cannonova domněnka, původně představoval James W. Cannon pokud jde o hyperbolické skupiny slov s hranicemi homeomorfními pro ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$,^[11] říká, že pokud ${ displaystyle G}$ je skupina jednající jako diskrétní jednotná konvergenční skupina ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ pak je tato akce topologicky konjugovaná s akcí vyvolanou a geometrické působení z ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle mathbb {H} ^ {3}}$ podle izometrií. Tato domněnka stále zůstává otevřená.

Aplikace a další zobecnění

• Yaman charakterizoval relativně hyperbolické skupiny pokud jde o konvergenční akce,^[12] zevšeobecňující Bowditchovu charakterizaci slovně hyperbolických skupin jako uniformních konvergenčních skupin.
• Lze uvažovat o obecnějších verzích skupinových akcí s „konvergenční vlastností“ bez předpokladu diskrétnosti.^[13]
• Nejobecnější verze pojmu Mapa Cannon – Thurston, původně definované v kontextu Kleinianových a slovně hyperbolických skupin, lze definovat a studovat v kontextu nastavení konvergenčních skupin.^[14]

Reference