Vlastnost Kazhdans (T) - Kazhdans property (T) - Wikipedia

v matematika, a místně kompaktní topologická skupina G má vlastnost (T) pokud triviální zastoupení je izolovaný bod v jeho unitární duální vybavené Padla topologie. Neformálně to znamená, že pokud G činy jednotně na Hilbertův prostor a má „téměř invariantní vektory“, pak má nenulovou hodnotu invariantní vektor. Formální definice zavedená David Kazhdan (1967 ), dává tomu přesný, kvantitativní význam.

Ačkoli je původně definováno z hlediska neredukovatelné reprezentace „Vlastnost (T) lze často zkontrolovat, i když existuje jen malá nebo žádná výslovná znalost jednotné dvojnice. Vlastnost (T) má důležité aplikace teorie reprezentace skupin, svazy v algebraických skupinách nad místními poli, ergodická teorie, teorie geometrických skupin, expandéry, operátorské algebry a teorie sítí.

Definice

Nechat G být kompaktní σ, lokálně kompaktní topologická skupina a π: G → U(H) a jednotkové zastoupení z G na (komplexním) Hilbertově prostoru H. Pokud ε> 0 a K. je kompaktní podmnožina G, pak jednotkový vektor ξ H se nazývá (ε, K.) -invariantní vektor -li

${ displaystyle forall g in K : left | pi (g) xi - xi right | < varepsilon.}$

Následující podmínky dne G jsou ekvivalentní G mít vlastnost (T) z Kazhdan a jakýkoli z nich lze použít jako definici vlastnosti (T).

(1) triviální zastoupení je izolovaný bod z unitární duální z G s Padla topologie.

(2) Jakákoli posloupnost kontinuální pozitivní určité funkce na G konvergující k 1 jednotně na kompaktní podmnožiny, konverguje na 1 rovnoměrně G.

(3) Každý jednotkové zastoupení z G který má (ε, K.) -invariantní jednotkový vektor pro libovolnou ε> 0 a libovolnou kompaktní podmnožinu K., má nenulový invariantní vektor.

(4) Existuje ε> 0 a kompaktní podmnožina K. z G tak, že každé jednotné zastoupení G který má (ε, K.) -invariantní jednotkový vektor, má nenulový invariantní vektor.

(5) Každý spojitý afinní izometrické akce z G na nemovitý Hilbertův prostor má pevný bod (vlastnost (FH)).

Li H je uzavřená podskupina z G, dvojice (G,H) se říká, že má relativní vlastnost (T) z Margulis pokud existuje ε> 0 a kompaktní podmnožina K. z G takové, že kdykoli jednotné zastoupení G má (ε, K.) -invariantní jednotkový vektor, pak má nenulový vektor fixovaný pomocí H.

Diskuse

Definice (4) evidentně implikuje definici (3). Chcete-li ukázat konverzaci, nechte G být lokálně kompaktní skupina uspokojující (3), předpokládejme rozporem, že pro každého K. a ε existuje jednotná reprezentace, která má (K., ε) -invariantní jednotkový vektor a nemá invariantní vektor. Podívejte se na přímý součet všech takových reprezentací a to bude negovat (4).

Ekvivalence (4) a (5) (Vlastnost (FH)) je Delorme-Guichardetova věta. Skutečnost, že (5) znamená (4), vyžaduje předpoklad, že G je σ-kompaktní (a lokálně kompaktní) (Bekka et al., Theorem 2.12.4).

Obecné vlastnosti

• Vlastnost (T) je zachována v kvocientech: pokud G má vlastnost (T) a H je kvocientová skupina z G pak H má vlastnost (T). Ekvivalentně, pokud jde o homomorfní obraz skupiny G dělá ne mít vlastnost (T) G sám o sobě nemá vlastnost (T).
• Li G má vlastnost (T) G/[G, G] je kompaktní.
• Jakákoli spočetná diskrétní skupina s vlastností (T) je definitivně vygenerována.
• An přístupná skupina který má vlastnost (T) je nutně kompaktní. Amenability and property (T) are in a drsný smysl pravý opak: dělají téměř invariantní vektory snadné nebo těžké najít.
• Kazhdanova věta: Pokud Γ je a mříž ve skupině Lie G pak Γ má vlastnost (T) právě tehdy G má vlastnost (T). Tak pro n ≥ 3, speciální lineární skupina SL (n, Z) má vlastnost (T).

Příklady

• Kompaktní topologické skupiny mít vlastnost (T). Zejména kruhová skupina, skupina přísad Z_p z p-adická celá čísla, kompaktní speciální unitární skupiny SU (n) a všechny konečné skupiny mají vlastnost (T).
• Jednoduchý nemovitý Lež skupiny skutečné hodnost alespoň dva mají vlastnost (T). Tato skupina skupin zahrnuje speciální lineární skupiny SL (n, R) pro n ≥ 3 a speciální ortogonální skupiny TAK(p,q) pro p > q ≥ 2 a SO (p,p) pro p ≥ 3. Obecněji to platí pro jednoduché algebraické skupiny hodnosti alespoň dva nad a místní pole.
• Páry (Rⁿ ⋊ SL (n, R), Rⁿ) a (Zⁿ ⋊ SL (n, Z), Zⁿ) mají relativní vlastnost (T) pro n ≥ 2.
• Pro n ≥ 2, nekompaktní Lieova skupina Sp (n, 1) izometrií a kvartérní poustevnická forma podpisu (n, 1) je jednoduchá Lieova skupina reálného postavení 1, která má vlastnost (T). Podle Kazhdanovy věty mají mřížky v této skupině vlastnost (T). Tato konstrukce je významná, protože tyto svazy jsou hyperbolické skupiny; existují tedy skupiny, které jsou hyperbolické a mají vlastnost (T). Explicitní příklady skupin v této kategorii poskytují aritmetické mřížky v Sp (n, 1) a určité kvartérní reflexní skupiny.

Příklady skupin, které ne mít vlastnost (T) zahrnout

• Skupiny aditiv celých čísel Zreálných čísel R a ze dne p-adická čísla Q_p.
• Speciální lineární skupiny SL (2, Z) a SL (2, R), v důsledku existence doplňkových řadových reprezentací blízko triviálního zobrazení, ačkoli SL (2,Z) má vlastnost (τ) vzhledem k podskupinám hlavní kongruence, podle Selbergovy věty.
• Nekompaktní řešitelné skupiny.
• Netriviální skupiny zdarma a bezplatné abelianské skupiny.

Diskrétní skupiny

Historicky vlastnost (T) byla stanovena pro diskrétní skupiny Γ vložením jako mřížky do reálných nebo p-adických Lieových skupin s vlastností (T). Nyní je k dispozici několik přímých metod.

• The algebraický Shalomova metoda platí, když Γ = SL (n, R) s R prsten a n ≥ 3; metoda se spoléhá na skutečnost, že Γ může být omezeně generováno, tj. může být vyjádřen jako konečný produkt lehčích podskupin, jako jsou základní podskupiny skládající se z matic lišících se od matice identity v jedné dané mimo diagonální poloze.
• The geometrický metoda má původ v myšlenkách na Garlanda, Gromov a Pierre Pansu. Jeho nejjednodušší kombinační verze je způsobena Zukem: nechť Γ je diskrétní skupina generovaná konečnou podmnožinou S, uzavřeno pod převzetím inverzí a neobsahující identitu, a definovat konečnou graf s vrcholy S a hrana mezi G a h kdykoli G⁻¹h leží v S. Pokud je tento graf připojen a nejmenší nenulové vlastní číslo z Laplacian příslušného jednoduchého náhodného pochodu je větší než ½, pak Γ má vlastnost (T). Obecnější geometrická verze, vzhledem k Zuk a Ballmann & Swiatkowski (1997), uvádí, že pokud působí diskrétní skupina Γ správně diskontinuálně a souběžně na smluvní 2-dimenzionální zjednodušený komplex se stejnými teoretickými podmínkami grafu umístěnými na odkaz na každém vrcholu pak Γ má vlastnost (T). Mnoho nových příkladů hyperbolické skupiny pomocí této metody lze vystavit vlastnost (T).
• The pomocí počítače metoda je založena na návrhu od Narutaka Ozawa a byl úspěšně implementován několika výzkumnými pracovníky. Je založen na algebraické charakterizaci vlastnosti (T) z hlediska nerovnosti v reálném skupinová algebra, pro které lze najít řešení řešením a semidefinitní programování problém numericky na počítači. Tato metoda zejména potvrdila vlastnost (T) pro automorfická skupina volné skupiny hodnosti nejméně 5. Pro tento výsledek není znám žádný lidský důkaz.

Aplikace

• Grigory Margulis využil skutečnosti, že SL (n, Z) (pro n ≥ 3) má vlastnost (T) pro konstrukci explicitních rodin rozšiřující se grafy, tj. grafy s vlastností, že každá podmnožina má jednotně velkou „hranici“. Toto spojení vedlo k řadě nedávných studií poskytujících výslovný odhad Kazhdanovy konstanty, kvantifikující vlastnost (T) pro konkrétní skupinu a generující množinu.
• Alain Connes použil diskrétní skupiny s vlastností (T) k nalezení příkladů typ II₁ faktory s počitatelný základní skupina, tedy zejména ne celý pozitivní reality ℝ⁺. Sorin Popa následně použil relativní vlastnost (T) pro jednotlivé skupiny k vytvoření typu II₁ faktor s triviální základní skupinou.
• Skupiny s majetkem (T) vedou k dobrému míchání nemovitosti v ergodická teorie: opět neformálně, proces, který se pomalu mísí, některé podmnožiny opouští téměř neměnný.^{[Citace je zapotřebí ][je zapotřebí objasnění ]}
• Podobně lze skupiny s vlastnostmi (T) použít ke konstrukci konečných sad invertibilních matic, které mohou účinně aproximovat jakoukoli danou invertibilní matici v tom smyslu, že každou matici lze aproximovat s vysokou mírou přesnosti konečným produktem matic v seznamu nebo jejich inverzích, takže počet potřebných matic je úměrný počtu významné číslice v aproximaci.^{[Citace je zapotřebí ][je zapotřebí objasnění ]}
• Skupiny s vlastnostmi (T) také mají Serreův majetek FA.^[1]
• Toshikazu Sunada zjistil, že pozitivita spodní části spektra „zkrouceného“ Laplaciana na uzavřeném potrubí souvisí s vlastností (T) základní skupina.^[2] Toto pozorování přináší Brooksův výsledek, který říká, že spodní část spektra Laplacian na univerzálním krycím potrubí přes uzavřené Riemannovo potrubí M se rovná nule právě tehdy, když základní skupina M je přístupný.^[3]

Reference

• Ballmann, W .; Swiatkowski, J. (1997), "L²-cohomology and property (T) for automorphism groups of polyhedral cell complexes ", GAFA, 7 (4): 615–645, CiteSeerX  10.1.1.56.8641, doi:10,1007 / s000390050022
• Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain (2008), Kazhdanův majetek (T) (PDF)Nové matematické monografie 11, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88720-5, PAN  2415834
• de la Harpe, P .; Valette, A. (1989), „La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compactes (with anendix by M. Burger)“, Astérisque, 175.
• Kazhdan, D. (1967), „O propojení duálního prostoru skupiny se strukturou jejích uzavřených podskupin“, Funkční analýza a její aplikace, 1 (1): 63–65, doi:10.1007 / BF01075866PAN0209390
• Lubotzky, A. (1994), Diskrétní skupiny, rozšiřující se grafy a invariantní míryPokrok v matematice, 125, Basilej: Birkhäuser Verlag, ISBN  978-3-7643-5075-8
• Lubotzky, A. a A. Zuk, Na majetku (τ), objeví se monografie.
• Lubotzky, A. (2005), „Co je to vlastnost (τ)“ (PDF), Oznámení AMS, 52 (6): 626–627.
• Shalom, Y. (2006), "Algebraizace majetku (T)" (PDF), Mezinárodní kongres matematiků v Madridu 2006
• Zuk, A. (1996), „La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres“, C. R. Acad. Sci. Paříž, 323: 453–458.
• Zuk, A. (2003), "Vlastnost (T) a Kazhdanovy konstanty pro jednotlivé skupiny", GAFA, 13 (3): 643–670, doi:10.1007 / s00039-003-0425-8.