Růst podskupiny - Subgroup growth

v matematika, růst podskupiny je pobočkou teorie skupin, zabývající se kvantitativními otázkami o podskupiny daného skupina.^[1]

Nechat ${ displaystyle G}$ být konečně generovaná skupina. Potom pro každé celé číslo ${ displaystyle n}$ definovat ${ displaystyle a_ {n} (G)}$ je počet podskupin ${ displaystyle H}$ z index ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle G}$. Podobně, pokud ${ displaystyle G}$ je topologická skupina, ${ displaystyle s_ {n} (G)}$ označuje počet otevřených podskupin ${ displaystyle U}$ indexu ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle G}$. Jeden podobně definuje ${ displaystyle m_ {n} (G)}$ a ${ displaystyle s_ {n} ^ { triangleleft} (G)}$ označit počet maximální a normální podskupiny indexu ${ displaystyle n}$, resp.

Růst podskupiny studuje tyto funkce, jejich souhru a charakterizaci skupinových teoretických vlastností z hlediska těchto funkcí.

Teorie byla motivována touhou vyjmenovat konečné skupiny daného řádu a analogií s Michail Gromov je pojem růst slov.

Nilpotentní skupiny

Nechat ${ displaystyle G}$ být definitivně vygenerován bez kroucení nilpotentní skupina. Pak existuje a kompoziční série s nekonečným cyklický faktory, které vyvolávají bijekci (i když nutně a homomorfismus ).

${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n} longrightarrow G}$

tak, že násobení skupin může být vyjádřeno polynomiálními funkcemi v těchto souřadnicích; zejména násobení je definovatelný. Pomocí metod z teorie modelů z celá čísla p-adic, F. Grunewald, D. Segal a G. Smith ukázali, že místní funkce zeta

${ displaystyle zeta _ {G, p} (s) = součet _ { nu = 0} ^ { infty} s_ {p ^ {n}} (G) p ^ {- ns}}$

je racionální funkce v ${ displaystyle p ^ {- s}}$.

Jako příklad, pojďme ${ displaystyle G}$ být diskrétní Skupina Heisenberg. Tato skupina má „prezentaci“ s generátory ${ displaystyle x, , y, , z}$ a vztahy

${ displaystyle [x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 1.}$

Proto prvky ${ displaystyle G}$ lze reprezentovat jako trojnásobek ${ displaystyle (a, , b, , c)}$ celých čísel se skupinovou operací danou

${ displaystyle (a, b, c) circ (a ', b', c ') = (a + a', b + b ', c + c' + ab ').}$

Ke každému konečnému indexu podskupina ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle G}$, přidružit soubor všech "dobrých základen" z ${ displaystyle U}$ jak následuje. Všimněte si, že ${ displaystyle G}$ má normální série

${ displaystyle G = langle x, y, z rangle triangleright langle y, z rangle triangleright langle z rangle triangleright 1}$

s nekonečným cyklický faktory. Trojnásobný ${ displaystyle (g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}) v G}$ se nazývá a dobrý základ z ${ displaystyle U}$, pokud ${ displaystyle g_ {1}, g_ {2}, g_ {3}}$ generovat ${ displaystyle U}$, a ${ displaystyle g_ {2} in langle y, z rangle, g_ {3} in langle z rangle}$. Obecně je poměrně složité určit sadu dobrých základů pro pevnou podskupinu ${ displaystyle U}$. K překonání této obtížnosti určíme množinu všech dobrých základů všech podskupin konečných indexů a určíme, kolik z nich patří do dané podskupiny. Aby to bylo přesné, je třeba vložit Heisenbergovu skupinu přes celá čísla do celé skupiny p-adic čísla. Po několika výpočtech člověk dospěje k vzorci

${ displaystyle zeta _ {G, p} (s) = { frac {1} {(1-p ^ {- 1}) ^ {3}}} int _ { mathcal {M}} | a_ {11} | _ {p} ^ {s-1} | a_ {22} | _ {p} ^ {s-2} | a_ {33} | _ {p} ^ {s-3} ; d mu,}$

kde ${ displaystyle mu}$ je Haarovo opatření na ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$, ${ displaystyle | cdot | _ {p}}$ označuje absolutní hodnota p-adic a ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ je sada n-tic z ${ displaystyle p}$-adická celá čísla

${ displaystyle {a_ {11}, a_ {12}, a_ {13}, a_ {22}, a_ {23}, a_ {33} }}$

takhle

${ displaystyle {x ^ {a_ {11}} y ^ {a_ {12}} z ^ {a_ {13}}, y ^ {a_ {22}} z ^ {a_ {23}}, z ^ { a_ {33}} }}$

je dobrým základem nějaké podskupiny konečných indexů. Druhá podmínka může být přeložena do

${ displaystyle a_ {33} | a_ {11} cdot a_ {22}}$.

Nyní lze integrál transformovat na iterovaný součet, čímž se získá výtěžek

${ displaystyle zeta _ {G, p} (s) = součet _ {a geq 0} součet _ {b geq 0} součet _ {c = 0} ^ {a + b} p ^ { -as-b (s-1) -c (s-2)} = { frac {1-p ^ {3-3s}} {(1-p ^ {- s}) (1-p ^ {1 -s}) (1-p ^ {2-2s}) (1-p ^ {2-3s})}}}$

kde závěrečné hodnocení spočívá v opakované aplikaci vzorce pro hodnotu geometrické řady. Z toho usuzujeme ${ displaystyle zeta _ {G}}$ lze vyjádřit pomocí Funkce Riemann zeta tak jako

${ displaystyle zeta _ {G} (s) = { frac { zeta (s) zeta (s-1) zeta (2s-2) zeta (2s-3)} { zeta (3s- 3)}}.}$

U složitějších příkladů se výpočty stávají obtížnými a obecně nelze očekávat a uzavřený výraz pro ${ displaystyle zeta _ {G}}$. Místní faktor

${ displaystyle zeta _ {G, p} (s)}$

lze vždy vyjádřit jako definovatelný ${ displaystyle p}$-adický integrál. Uplatnění výsledku MacIntyre o modelové teorii ${ displaystyle p}$-adická celá čísla, z toho se zase odvodí ${ displaystyle zeta _ {G}}$ je racionální funkce v ${ displaystyle p ^ {- s}}$. Navíc, M. du Sautoy a F. Grunewald ukázali, že integrál lze aproximovat pomocí Artin L-funkce. S využitím skutečnosti, že funkce Artin L jsou holomorfní v sousedství linie ${ displaystyle Re (s) = 1}$, ukázali, že pro každou nilpotentní skupinu bez torzí je to funkce ${ displaystyle zeta _ {G}}$ je meromorfní v doméně

${ displaystyle Re (s)> alfa - delta}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je úsečka konvergence z ${ displaystyle zeta _ {G}}$, a ${ displaystyle delta}$ je nějaké kladné číslo a v některých sousedstvích holomorfní ${ displaystyle Re (s) = alfa}$. Používat Tauberianova věta z toho vyplývá

${ displaystyle sum _ {n leq x} s_ {n} (G) sim x ^ { alpha} log ^ {k} x}$

pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle alpha}$ a nezáporné celé číslo ${ displaystyle k}$.

Podskupiny shody

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Růst podskupiny a reprezentace cosetů

Nechat ${ displaystyle G}$ být skupina, ${ displaystyle U}$ podskupina indexu ${ displaystyle n}$. Pak ${ displaystyle G}$ působí na množinu vlevo kosety z ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle G}$ posunem doleva:

${ displaystyle g (hU) = (gh) U.}$

Takto, ${ displaystyle U}$ indukuje a homomorfismus z ${ displaystyle G}$ do symetrická skupina na ${ displaystyle G / U}$. ${ displaystyle G}$ působí přechodně na ${ displaystyle G / U}$, a naopak, vzhledem k tranzitivní akci ${ displaystyle G}$ na

${ displaystyle {1, ldots, n },}$

stabilizátor bodu 1 je podskupinou indexu ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle G}$. Od setu

${ displaystyle {2, ldots, n }}$

lze permutovat v

${ displaystyle (n-1)!}$

způsoby, zjistíme, že ${ displaystyle s_ {n} (G)}$ se rovná počtu tranzitivů ${ displaystyle G}$-akce děleno ${ displaystyle (n-1)!}$. Mezi všemi ${ displaystyle G}$-akce, můžeme rozlišit přechodné akce podle a prosévací argument, abychom dospěli k následujícímu vzorci

${ displaystyle s_ {n} (G) = { frac {h_ {n} (G)} {(n-1)!}} - sum _ { nu = 1} ^ {n-1} { frac {h_ {n- nu} (G) s _ { nu} (G)} {(n- nu)!}},}$

kde ${ displaystyle h_ {n} (G)}$ označuje počet homomorfismů

${ displaystyle varphi: G rightarrow S_ {n}.}$

V několika případech funkce ${ displaystyle h_ {n} (G)}$ je pak snazší se k němu dostat ${ displaystyle s_ {n} (G)}$, a pokud ${ displaystyle h_ {n} (G)}$ roste dostatečně velký, součet je zanedbatelného řádu, proto člověk získá asymptotické vzorec pro ${ displaystyle s_ {n} (G)}$.

Jako příklad, pojďme ${ displaystyle F_ {2}}$ být volná skupina na dvou generátorech. Pak každá mapa generátorů ${ displaystyle F_ {2}}$ sahá až k homomorfismu

${ displaystyle F_ {2} rightarrow S_ {n},}$

to je

${ displaystyle h_ {n} (F_ {2}) = (n!) ^ {2}.}$

Z toho usuzujeme

${ displaystyle s_ {n} (F_ {2}) sim n cdot n !.}$

U složitějších příkladů odhad ${ displaystyle h_ {n} (G)}$ zahrnuje teorie reprezentace a statistické vlastnosti symetrických skupin.

Reference