Burnsideův problém - Burnside problem
Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie |
---|
Nekonečná dimenzionální Lieova skupina
|
The Burnsideův problém, představuje William Burnside v roce 1902 a jedna z nejstarších a nejvlivnějších otázek v roce teorie skupin, ptá se, zda a konečně generovaná skupina ve kterém má každý prvek konečnou hodnotu objednat musí nutně být konečná skupina. Evgeny Golod a Igor Šafarevič poskytl protiklad v roce 1964. Problém má mnoho variant (viz ohraničený a omezený níže), které se liší v dodatečných podmínkách uložených na objednávky prvků skupiny.
Stručná historie
Počáteční práce směřovaly k kladné odpovědi. Například pokud skupina G je definitivně generováno a pořadí každého prvku G je tedy dělitelem 4 G je konečný. Navíc, A. I. Kostrikin v roce 1958 dokázal, že mezi konečnými skupinami s daným počtem generátorů a daným hlavním exponentem existuje největší. To poskytuje řešení pro omezený problém Burnside pro případ hlavního exponenta. (Později, v roce 1989, Efim Zelmanov byl schopen vyřešit omezený problém Burnside pro libovolného exponenta.) Issai Schur v roce 1911 ukázal, že jakákoli konečně generovaná periodická skupina, která byla podskupinou skupiny invertible n × n komplexní matice byla konečná; použil tuto větu k prokázání Jordan – Schurova věta.[1]
Obecná odpověď na problém Burnside se nicméně ukázala být negativní. V roce 1964 Golod a Shafarevich zkonstruovali nekonečnou skupinu typu Burnside, aniž by předpokládali, že všechny prvky mají jednotně ohraničené pořadí. V roce 1968 Petr Novikov a Sergej Adian dodal záporné řešení úlohy ohraničeného exponenta pro všechny liché exponenty větší než 4381. V roce 1982 A. Yu. Ol'shanskii našel několik nápadných protikladů pro dostatečně velké liché exponenty (větší než 1010) a poskytl podstatně jednodušší důkaz založený na geometrických myšlenkách.
Ukázalo se, že případ sudých exponentů je mnohem těžší urovnat. V roce 1992 S. V. Ivanov oznámil negativní řešení pro dostatečně velké i exponenty dělitelné velkou silou 2 (podrobné důkazy byly publikovány v roce 1994 a zabíraly asi 300 stran). Pozdější společná práce Ol'shanskii a Ivanova přinesla negativní řešení analogu problému Burnside pro hyperbolické skupiny, za předpokladu, že exponent je dostatečně velký. Naproti tomu, když je exponent malý a liší se od 2, 3, 4 a 6, je známo velmi málo.
Obecný problém Burnside
Skupina G je nazýván periodicky pokud má každý prvek konečné pořadí; jinými slovy, pro každého G v G, existuje nějaké kladné celé číslo n takhle Gn = 1. Je zřejmé, že každá konečná skupina je periodická. Existují snadno definované skupiny, například p∞-skupina což jsou nekonečné periodické skupiny; ale druhou skupinu nelze definitivně generovat.
Obecný problém Burnside. Li G je konečně generovaná periodická skupina G nutně konečné?
Na tuto otázku odpověděl záporně v roce 1964 Evgeny Golod a Igor Šafarevič, který uvedl příklad nekonečna p-skupina který je definitivně generován (viz Golod – Šafarevičova věta ). Pořadí prvků této skupiny však není a priori ohraničený jedinou konstantou.
Ohraničený problém Burnside
Část obtíží s obecným problémem Burnside spočívá v tom, že požadavky na definitivní a periodické generování poskytují velmi málo informací o možné struktuře skupiny. Proto klademe více požadavků na G. Zvažte periodickou skupinu G s další vlastností, že existuje nejméně celé číslo n takové, že pro všechny G v G, Gn = 1. O skupině s touto vlastností se říká, že je periodické s ohraničeným exponentem n, nebo jen a skupina s exponentem n. Burnsideův problém pro skupiny s ohraničeným exponentem se ptá:
Burnsideův problém. Li G je konečně generovaná skupina s exponentem n, je G nutně konečné?
Ukazuje se, že tento problém lze znovu vyjádřit jako otázku konečnosti skupin v konkrétní rodině. The skupina Burnside zdarma hodnosti m a exponent n, označeno B (m, n), je skupina s m významné generátory X1, ..., Xm ve kterém je totožnost Xn = 1 platí pro všechny prvky X, a která je „největší“ skupinou splňující tyto požadavky. Přesněji, charakteristická vlastnost B (m, n) je to, vzhledem k jakékoli skupině G s m generátory G1, ..., Gm a exponent n, existuje jedinečný homomorfismus z B (m, n) až G který mapuje ith generátor Xi z B (m, n) do ith generátor Gi z G. V jazyce skupinové prezentace, zdarma Burnside skupina B (m, n) má m generátory X1, ..., Xm a vztahy Xn = 1 pro každé slovo X v X1, ..., Xma jakoukoli skupinu G s m generátory exponentu n se z ní získá uložením dalších vztahů. Existence volné skupiny Burnside a její jedinečnost až po izomorfismus jsou stanoveny standardními technikami teorie skupin. Tedy pokud G je libovolná konečně generovaná skupina exponentů n, pak G je homomorfní obraz z B (m, n), kde m je počet generátorů G. Burnsideův problém lze nyní vyřešit následovně:
Burnsideův problém II. Pro která jsou kladná celá čísla m, n je bezplatná skupina Burnside B (m, n) konečný?
Úplné řešení problému Burnside v této podobě není známo. Burnside ve svém původním článku uvažoval o několika snadných případech:
- B (1, n) je cyklická skupina řádu n.
- B (m, 2) je přímý produkt z m kopie cyklické skupiny řádu 2, a tedy konečné.[poznámka 1]
Jsou známy následující další výsledky (Burnside, Sanov, M. Hall ):
- B (m, 3), B (m, 4) a B (m, 6) jsou konečné pro všechny m.
Zvláštní případ B (2, 5) zůstává otevřený: od roku 2005[Aktualizace] nebylo známo, zda je tato skupina konečná.
Průlom v řešení problému Burnside byl dosažen Petr Novikov a Sergej Adian v roce 1968. Pomocí složitého kombinatorického argumentu prokázali, že pro každého zvláštní číslo n s n > 4381, existují nekonečné, konečně generované skupiny exponentů n. Adian později vylepšil vazbu na lichém exponentu na 665.[2] Ukázalo se, že případ dokonce exponentu je mnohem obtížnější. Teprve v roce 1994 dokázal Sergej Vasiljevič Ivanov dokázat analogii Novikov – Adianovy věty: pro jakoukoli m > 1 a sudý n ≥ 248, n dělitelné 29, skupina B (m, n) je nekonečný; společně s teorémem Novikov – Adian to znamená nekonečnost pro všechny m > 1 a n ≥ 248. To v roce 1996 vylepšil I. G. Lysënok na m > 1 a n ≥ 8000. Novikov – Adian, Ivanov a Lysënok stanovili podstatně přesnější výsledky ve struktuře volných skupin Burnside. V případě lichého exponenta se ukázalo, že všechny konečné podskupiny volných Burnsideových skupin jsou cyklické skupiny. V případě sudého exponenta je každá konečná podskupina obsažena v součinu dvou dihedrální skupiny a existují necyklické konečné podskupiny. Navíc slovo a konjugace problémy se ukázaly být efektivně řešitelné v B (m, n) jak pro případ lichých, tak i sudých exponentů n.
Slavnou třídu protikladů k problému Burnside tvoří konečně generované necyklické nekonečné skupiny, ve kterých je každá netriviální vlastní podskupina konečná cyklická skupina, takzvaný Tarski Monsters. První příklady takových skupin sestavil A. Yu. Ol'shanskii v roce 1979 pomocí geometrických metod, čímž afirmativní řešení O. Yu. Schmidtův problém. V roce 1982 byl Ol'shanskii schopen posílit své výsledky, aby prokázal existenci pro všechny dostatečně velké prvočíslo p (jeden může trvat p > 1075) konečně generované nekonečné skupiny, ve které je každá netriviální vlastní podskupina a cyklická skupina řádu p. V článku publikovaném v roce 1996 Ivanov a Ol'shanskii svévolně vyřešili analogii problému Burnside hyperbolická skupina pro dostatečně velké exponenty.
Omezený problém Burnside
Formulováno ve 30. letech 20. století klade další související otázku:
Omezený problém Burnside. Pokud je známo, že skupina G s m generátory a exponent n je konečný, lze usoudit, že pořadí G je omezen nějakou konstantou pouze v závislosti na m a n? Ekvivalentně je jich jen konečně mnoho konečný skupiny s m generátory exponentu n, až do izomorfismus ?
Tuto variantu problému Burnside lze také uvést z hlediska určitých univerzálních skupin s m generátory a exponent n. Podle základních výsledků teorie grup je průnik dvou podskupin konečných index v jakékoli skupině je sama o sobě podskupinou konečného indexu. Nechat M být průsečíkem všech podskupin volné skupiny Burnside B (m, n), které mají konečný index M je normální podskupina z B (m, n) (jinak existuje podskupina.) G−1Mg s konečným indexem obsahujícím prvky, které nejsou v M). Lze tedy definovat skupinu B.0(m, n) být skupinou faktorů B (m, n)/M. Každá konečná skupina exponentů n s m generátory je homomorfní obraz B0(m, n). Omezený problém Burnside se poté zeptá, zda B0(m, n) je konečná skupina.
V případě hlavního exponenta p, tento problém rozsáhle studoval A. I. Kostrikin během padesátých let, před negativním řešením obecného problému Burnside. Jeho řešení, stanovení konečnosti B.0(m, p), použil vztah k hlubokým otázkám identit v Lež algebry v konečné charakteristice. Případ libovolného exponenta byl zcela vyřešen kladně Efim Zelmanov, který byl oceněn Fields Medal v roce 1994 za svou práci.
Poznámky
Reference
- ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962). Teorie reprezentace konečných skupin a sdružených algeber. John Wiley & Sons. str. 256–262.
- ^ John Britton v roce 1973 navrhl téměř 300stránkový alternativní důkaz problému Burnside; Adian však nakonec poukázal na chybu v tomto důkazu.
Bibliografie
- S.I. Adian (1979) Burnsideův problém a identity ve skupinách. Z ruštiny přeložili John Lennox a James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Výsledky v matematice a příbuzných oblastech], 95. Springer-Verlag, Berlín-New York. ISBN 3-540-08728-1.
- S. V. Ivanov (1994) „Volné Burnsideovy skupiny dostatečně velkých exponentů,“ Internat. J. Algebra Comput. 4.
- S. V. Ivanov, A. Yu. Ol'shanskii (1996) "Hyperbolické skupiny a jejich kvocienty ohraničených exponentů," Trans. Amer. Matematika. Soc. 348: 2091–2138.
- A. I. Kostrikin (1990) Kolem Burnside. Přeloženo z ruštiny a s předmluvou James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 20. Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-50602-0.
- I. G. Lysënok (1996). „Infinite Burnside groups of even exponent“. Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Rohož. (v Rusku). 60 (3): 3–224. doi:10,4213 / im77. Překlad v Lysënok, I. G. (1996). "Nekonečné skupiny Burnsideů i exponentů". Izv. Matematika. 60 (3): 453–654. doi:10.1070 / IM1996v060n03ABEH000077.
- A. Yu. Ol'shanskii (1989) Geometrie definování vztahů ve skupinách. Překlad z ruského originálu z roku 1989 Yu. A. Bakhturin (1991) Matematika a její aplikace (Sovětská série), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-1394-1.
- E. Zelmanov (1990). "Řešení omezeného problému Burnside pro skupiny lichých exponentů". Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Rohož. (v Rusku). 54 (1): 42–59, 221. Překlad v Zel'manov, E I (1991). "Řešení omezeného problému Burnside pro skupiny lichých exponentů". Matematika. SSSR-Izv. 36 (1): 41–60. doi:10.1070 / IM1991v036n01ABEH001946. S2CID 39623037.
- E. Zelmanov (1991). "Řešení omezeného problému Burnside pro 2 skupiny". Rohož. Sb. (v Rusku). 182 (4): 568–592. Překlad v Zel'manov, E I (1992). "Řešení omezeného problému Burnside pro 2 skupiny". Matematika. SSSR Sbornik. 72 (2): 543–565. doi:10.1070 / SM1992v072n02ABEH001272.