Hranice Gromov - Gromov boundary

The Cayleyův graf a volná skupina se dvěma generátory. Tohle je hyperbolická skupina jehož hranice Gromov je a Cantor set. Hyperbolické skupiny a jejich hranice jsou důležitými tématy teorie geometrických skupin, stejně jako Cayleyovy grafy.

(6,4,2) trojúhelníkový hyperbolický obklad. The skupina trojúhelníků odpovídající tomuto obkladu má kruh jako svou hranici Gromov.

V matematice je Hranice Gromov a δ-hyperbolický prostor (zejména a hyperbolická skupina ) je abstraktní pojem zobecňující hraniční sféru hyperbolický prostor. Koncepčně je hranice Gromova množinou všech body v nekonečnu. Například hranice Gromova v skutečná linie jsou dva body, které odpovídají kladnému a zápornému nekonečnu.

Definice

Existuje několik ekvivalentních definic Gromovovy hranice geodetického a správného δ-hyperbolického prostoru. Jedno z nejběžnějších použití tříd ekvivalence geodetické paprsky.^[1]

Vyberte nějaký bod ${ displaystyle O}$ hyperbolického metrického prostoru ${ displaystyle X}$ být původem. A geodetický paprsek je cesta daná znakem izometrie ${ displaystyle gamma: [0, infty) rightarrow X}$ tak, že každý segment ${ displaystyle gamma ([0, t])}$ je cesta nejkratší délky z ${ displaystyle O}$ na ${ displaystyle gamma (t)}$ .

Dvě geodetiky ${ displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2}}$ jsou definovány jako ekvivalentní, pokud existuje konstanta ${ displaystyle K}$ takhle ${ displaystyle d ( gamma _ {1} (t), gamma _ {2} (t)) leq K}$ pro všechny ${ displaystyle t}$ . The třída ekvivalence z ${ displaystyle gamma}$ je označen ${ displaystyle [ gamma]}$ .

The Hranice Gromov geodetického a správného hyperbolického metrického prostoru ${ displaystyle X}$ je sada ${ displaystyle částečné X = {[ gamma] | gamma}$ je geodetický paprsek v ${ displaystyle X }}$ .

Topologie

Je užitečné použít Produkt Gromov tří bodů. Produkt Gromov tří bodů ${ displaystyle x, y, z}$ v metrickém prostoru je ${ displaystyle (x, y) _ {z} = 1/2 (d (x, z) + d (y, z) -d (x, y))}$ . V strom (teorie grafů), to měří, jak dlouho cesty od ${ displaystyle z}$ na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ zůstaňte spolu, než se rozejdete. Vzhledem k tomu, že hyperbolické prostory jsou stromové, produkt Gromov měří, jak dlouho geodetika trvá ${ displaystyle z}$ na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ zůstaňte blízko, než se rozcházíte.

Daný bod ${ displaystyle p}$ na hranici Gromova definujeme množiny ${ displaystyle V (p, r) = {q v částečné X |}$ existují geodetické paprsky ${ displaystyle gamma _ {1}, gamma _ {2}}$ s ${ displaystyle [ gamma _ {1}] = p, [ gamma _ {2}] = q}$ a ${ displaystyle lim inf _ {s, t rightarrow infty} ( gamma _ {1} (s), gamma _ {2} (t)) _ {O} geq r }}$ . Tyto otevřené sady tvoří a základ pro topologii hranice Gromov.

Tyto otevřené sady jsou pouze sadou geodetických paprsků, které sledují jeden fixovaný geodetický paprsek až do určité vzdálenosti ${ displaystyle r}$ před rozcházením.

Tato topologie dělá z hranice Gromovů a kompaktní měřitelný prostor.

Počet končí hyperbolické skupiny je počet komponenty hranice Gromova.

Vlastnosti hranice Gromov

Hranice Gromov má několik důležitých vlastností. Jednou z nejčastěji používaných vlastností v teorii skupin je následující: pokud skupina ${ displaystyle G}$ působí geometricky na δ-hyperbolický prostor, pak ${ displaystyle G}$ je hyperbolická skupina a ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle X}$ mít homeomorfní hranice Gromov.^[2]

Jednou z nejdůležitějších vlastností je, že se jedná o a kvazi-izometrie neměnný; to znamená, že pokud jsou dva hyperbolické metrické prostory kvazi-izometrické, pak kvazi-izometrie mezi nimi dává homeomorfismus mezi jejich hranicemi.^[3]^[4] To je důležité, protože homeomorfismy kompaktních prostorů jsou mnohem srozumitelnější než kvazi-izometrie prostorů.

Příklady

Gromovská hranice a strom je Cantorův prostor.
Gromovská hranice hyperbolický n-prostor je (n-1)-dimenzionální koule.
Gromovská hranice základní skupiny a kompaktní povrch Riemann je jednotkový kruh.
Gromovská hranice většina hyperbolické skupiny je a Menger houba.^[5]

Zobecnění

Vizuální hranice prostoru CAT (0)

Pro kompletní CAT (0) prostor X, vizuální hranice X, stejně jako Gromovova hranice δ-hyperbolického prostoru, se skládá z třídy ekvivalence asymptotických geodetických paprsků. Produkt Gromov však nelze použít k definování topologie na něm. Například v případě ploché roviny budou mít jakékoli dva geodetické paprsky vycházející z bodu, který nesměřuje do opačných směrů, nekonečný produkt Gromov vzhledem k tomuto bodu. Vizuální hranice je místo toho obdařena topologie kužele. Opravte bod Ó v X. Libovolný hraniční bod může být reprezentován jedinečným geodetickým paprskem vycházejícím z Ó. Dostal paprsek ${ displaystyle gamma}$ vydávající od Óa kladná čísla t > 0 a r > 0, a sousedství základ v hraničním bodě ${ displaystyle [ gamma]}$ je dána sadami formuláře

{ displaystyle U ( gamma, t, r) = {[ gamma _ {1}] v částečné X | gamma _ {1} (0) = o, d ( gamma _ {1} ( t), gamma (t))

Topologie kužele, jak je definována výše, je nezávislá na výběru Ó.

Li X je správně, pak je vizuální hranice s topologií kužele kompaktní. Když X je jak CAT (0), tak správný geodetický δ-hyperbolický prostor, topologie kužele se shoduje s topologií Gromovovy hranice.^[6]

Dělová domněnka

Cannonova domněnka se týká klasifikace skupin s 2-koulí v nekonečnu:

Cannonova domněnka: Každý Gromov hyperbolická skupina s 2-koulí v nekonečnu působí geometricky na hyperbolický 3-prostor.^[7]

Je známo, že analogie této domněnky platí pro 1-sféry a false pro sféry všech dimenzí větších než 2.

Reference

Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999), Metrické prostory pozitivního zakřiveníGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64324-9, PAN 1744486
Cannon, James W. (1994), „Kombinatoriální Riemannova věta o mapování'", Acta Mathematica, 173 (2): 155–234, doi:10.1007 / bf02398434
Champetier, C. (1995), „Propriétés statistiques des groupes de presentation finie“, Adv. Matematika., 116: 197–262, doi:10.1006 / aima.1995.1067
Coornaert, M .; Delzant, T .; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 1441, Springer-Verlag, ISBN 3-540-52977-2
de la Harpe, Pierre; Ghys, Etienne (1990), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov (ve francouzštině), Birkhäuser
Gromov, M. (1987), „Hyperbolic groups“, S. Gersten (ed.), Eseje v teorii skupin, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, str. 75–263
Kapovich, Ilya; Benakli, Nadia (2002), „Hranice hyperbolických skupin“, Kombinatorická a geometrická teorie grup, Současná matematika, 296, s. 39–93
Roe, John (2003), Přednášky o hrubé geometrii, Univerzitní přednáškový cyklus, 31, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3332-2

[1] Kapovich & Benakli 2002

[2] Gromov 1987

[3] Coornaert, Delzant a Papadopoulos 1990

[4] Ghys & de la Harpe 1996

[5] Champetier 1995

[6] Bridson & Haefliger 1999

[RM-7] Cannon 1994

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]