Icosian počet - Icosian calculus

The ikosiánský počet je nekomutativní algebraická struktura objeven irským matematikem William Rowan Hamilton v roce 1856.^[1][2]V moderních pojmech dal skupinová prezentace z ikosahedrální rotační skupina podle generátory a vztahy.

Hamiltonův objev odvozený z jeho pokusů o nalezení algebry „trojčata“ nebo trojice že věřil, že bude odrážet tři Kartézské osy. Symboly ikonického počtu lze přirovnat k pohybům mezi vrcholy na a dvanáctistěn. Hamiltonova práce v této oblasti vyústila v podmínky nepřímo Hamiltonovský okruh a Hamiltonova cesta v teorii grafů.^[3] On také vynalezl icosian hra jako prostředek k ilustraci a popularizaci jeho objevu.

Neformální definice

Stereografická projekce dodecahedronu použitého pro Hamiltona icosian hra

Algebra je založena na třech symbolech, z nichž každý je kořeny jednoty, při opakované aplikaci kteréhokoli z nich se po určitém počtu kroků získá hodnota 1. Oni jsou:

${ displaystyle { begin {zarovnaný} iota ^ {2} & = 1, kappa ^ {3} & = 1, lambda ^ {5} & = 1. end {zarovnaný}}}$

Hamilton také dává jeden další vztah mezi symboly:

${ displaystyle lambda = iota kappa.}$

(Z moderního hlediska je to (2,3,5) skupina trojúhelníků.)

Operace je asociativní ale ne komutativní. Generují skupinu řádu 60, izomorfní s skupina rotací pravidelného dvacetistěnu nebo dvanáctistěn, a tedy k střídavá skupina stupně pět.

Ačkoli algebra existuje jako čistě abstraktní konstrukce, lze ji nejsnáze vizualizovat, pokud jde o operace na okrajích a vrcholech dvanáctistěn. Hamilton sám použil zploštělý dvanáctistěn jako základ pro svou výukovou hru.

Představte si, jak se hmyz plazí po určitém okraji Hamiltonova označeného dodekaedru určitým směrem, řekněme z ${ displaystyle B}$ na ${ displaystyle C}$. Můžeme to reprezentovat směrovaná hrana podle ${ displaystyle BC}$.

Geometrické znázornění operace iota v ikózském počtu

• Icosian symbol ${ displaystyle iota}$ odpovídá změně směru na libovolné hraně, takže se z ní hmyz plazí ${ displaystyle C}$ na ${ displaystyle B}$ (podle směrované hrany ${ displaystyle CB}$).
• Icosian symbol ${ displaystyle kappa}$ odpovídá rotaci aktuálního pohybu hmyzu proti koncovému bodu proti směru hodinových ručiček. V našem příkladu by to znamenalo změnu počátečního směru ${ displaystyle BC}$ stát se ${ displaystyle DC}$.
• Icosian symbol ${ displaystyle lambda}$ rovná se odbočení doprava v koncovém bodě, pohyb od ${ displaystyle BC}$ na ${ displaystyle CD}$.

Dědictví

Icosian počet je jedním z prvních příkladů mnoha matematických nápadů, včetně:

• prezentace a studium skupiny generátory a vztahy;
• A skupina trojúhelníků, později zobecněn na Skupiny coxeterů;
• vizualizace skupiny pomocí grafu, který vedl k teorie kombinatorických grup a později teorie geometrických skupin;
• Hamiltonovské obvody a Hamiltonovské cesty v teorii grafů;^[3]
• dessin d'enfant^[4][5] - viz dessin d'enfant: historie pro detaily.

Viz také

• Icosian

Reference