Ping-pongové lemma - Ping-pong lemma

v matematika, ping-pongové lemmanebo lemma na stolní tenis, je některý z několika matematických výroků, které zajišťují, že několik prvků ve skupině herectví na sadě volně generuje A volný, uvolnit podskupina této skupiny.

Dějiny

Argument ping-pong sahá až do konce 19. století a je běžně připisován^[1] na Felix Klein kdo to využil ke studiu podskupin Kleinianské skupiny, tj. diskrétních skupin izometrií hyperbolický 3-prostor nebo ekvivalentně Möbiovy transformace z Riemannova koule. Ping-pongové lemma bylo klíčovým nástrojem, který používá Jacques prsa ve své práci z roku 1972^[2] obsahující důkaz slavného výsledku nyní známého jako Prsa alternativa. Výsledek uvádí, že a definitivně generováno lineární skupina je buď prakticky řešitelný nebo obsahuje a volný, uvolnit podskupina hodnosti dva. Ping-pongové lemma a jeho variace jsou široce používány v geometrická topologie a teorie geometrických skupin.

Moderní verze ping-pongového lemmatu najdete v mnoha knihách, jako je Lyndon & Schupp,^[3] de la Harpe,^[1] Bridson & Haefliger^[4] a další.

Formální prohlášení

Pingpongové lemma pro několik podskupin

Tato verze ping-pongového lemmatu zajišťuje několik podskupiny skupiny jednající na množině vygenerovat a produkt zdarma. Následující prohlášení se objeví v^[5]a důkaz pochází z^[1].

Nechat G být skupinou jednající na scéně X a nechte H₁, H₂,...., H_k být netriviální podskupiny G kde k≥2, takže alespoň jedna z těchto podskupin má objednat větší než 2. Předpokládejme, že existují párově disjunktní neprázdné podmnožiny X₁, X₂,....,X_k z X tak, že platí:

• Pro všechny i≠s a pro všechny h∈H_i, h≠ 1 máme h(X_s)⊆X_i.

Pak

${displaystyle langle H_ {1}, dots, H_ {k} angle = H_ {1} ast dots ast H_ {k}.}$

Důkaz

Podle definice bezplatného produktu stačí zkontrolovat, zda dané (neprázdné) redukované slovo představuje netriviální prvek ${displaystyle G}$. Nechat ${displaystyle w}$ být tak dlouhým slovem ${displaystyle mgeq 2}$a nechte

${displaystyle w = prod _ {i = 1} ^ {m} w_ {i},}$

kde ${extstyle w_ {i} v H_ {alpha _ {i}}}$ pro některé ${extstyle alpha _ {i} v {1, tečky, k}}$. Od té doby ${extstyle w}$ je snížena, máme ${displaystyle alpha _ {i} eq alpha _ {i + 1}}$pro všechny ${displaystyle i = 1, tečky, m-1}$ a každý ${displaystyle w_ {i}}$ je odlišný od prvku identity ${displaystyle H_ {alpha _ {i}}}$. Pak jsme to nechali ${displaystyle w}$ působí na prvek jedné ze sad ${displaystyle X_ {i}}$. Protože předpokládáme, že alespoň jedna podskupina ${displaystyle H_ {i}}$ má řád alespoň 3, bez ztráty obecnosti to můžeme předpokládat ${displaystyle H_ {1}}$ má řád minimálně 3. Nejprve uděláme předpoklad, že ${displaystyle alpha _ {1}}$a ${displaystyle alpha _ {m}}$ jsou oba 1 (což znamená ${displaystyle mgeq 3}$). Odtud uvažujeme ${displaystyle w}$ jednající na ${displaystyle X_ {2}}$. Dostaneme následující řetězec kontejnmentů:

${displaystyle w (X_ {2}) subseteq prod _ {i = 1} ^ {m-1} w_ {i} (X_ {1}) subseteq prod _ {i = 1} ^ {m-2} w_ {i } (X_ {alpha _ {m-1}}) subseteq tečky subseteq w_ {1} (X_ {alpha _ {2}}) subseteq X_ {1}.}$

Za předpokladu, že jiné ${displaystyle X_ {i}}$jsme disjunktní, došli jsme k závěru, že ${displaystyle w}$ působí netriviálně na nějaký prvek ${displaystyle X_ {2}}$, tím pádem ${displaystyle w}$ představuje netriviální prvek ${displaystyle G}$.

Abychom dokončili důkaz, musíme vzít v úvahu tři případy:

• -li ${displaystyle alpha _ {1} = 1,, alpha _ {m} ekv. 1}$, pak nechte ${displaystyle hin H_ {1} setminus {w_ {1} ^ {- 1}, 1}}$ (takový ${displaystyle h}$ existuje od předpokladu ${displaystyle H_ {1}}$ má objednávku alespoň 3);
• -li ${displaystyle alpha _ {1} eq 1,, alpha _ {m} = 1}$, pak nechte ${displaystyle hin H_ {1} setminus {w_ {m}, 1}}$;
• a pokud ${displaystyle alpha _ {1} eq 1,, alpha _ {m} eq 1}$, pak nechte ${displaystyle hin H_ {1} setminus {1}}$.

V každém případě, ${displaystyle hwh ^ {- 1}}$po zmenšení se slovo zmenší na první a poslední písmeno v ${displaystyle H_ {1}}$. Konečně, ${displaystyle hwh ^ {- 1}}$představuje netriviální prvek ${displaystyle G}$a stejně tak ${displaystyle w}$. To dokazuje nárok.

Ping-pongové lemma pro cyklické podskupiny

Nechat G být skupina herectví na setu X. Nechat A₁,...,A_k být prvky G nekonečného řádu, kde k ≥ 2. Předpokládejme, že existují nesouvislé neprázdné podmnožiny

X₁⁺,...,X_k⁺ a X₁^–,...,X_k^–

z X s následujícími vlastnostmi:

• A_i(X − X_i^–) ⊆ X_i⁺ pro i = 1, ..., k;
• A_i⁻¹(X − X_i⁺) ⊆ X_i^– pro i = 1, ..., k.

Pak podskupina H = <A₁, ..., A_k> ≤ G generováno podle A₁, ..., A_k je volný, uvolnit zdarma {A₁, ..., A_k}.

Důkaz

Toto prohlášení následuje jako důsledek verze pro obecné podskupiny, pokud to necháme X_i= X_i⁺∪X_i⁻ a nechte H_i = ⟨A_i⟩.

Příklady

Speciální příklad lineární skupiny

K prokázání lze použít ping-pongové lemma^[1] že podskupina H = <A,B> ≤SL (2,Z), generované maticemi

${displaystyle scriptstyle A = {egin {pmatrix} 1 & 2 0 & 1end {pmatrix}}}$ a ${displaystyle scriptstyle B = {egin {pmatrix} 1 & 0 2 & 1end {pmatrix}}}$

je volný, uvolnit hodnosti dva.

Důkaz

Opravdu, pojďme H₁ = <A> a H₂ = <B> být cyklický podskupiny SL (2,Z) generované A a B podle toho. Není těžké zkontrolovat, že A a B jsou prvky nekonečného řádu v SL (2,Z) a to

${displaystyle H_ {1} = {A ^ {n} | nin mathbb {Z}} = left {{egin {pmatrix} 1 & 2n 0 & 1end {pmatrix}}: nin mathbb {Z} ight}}$

a

${displaystyle H_ {2} = {B ^ {n} | nin mathbb {Z}} = left {{egin {pmatrix} 1 & 0 2n & 1end {pmatrix}}: nin mathbb {Z} ight}.}$

Zvažte standardní akci SL (2,Z) zapnuto R² podle lineární transformace. Dát

${displaystyle X_ {1} = left {{egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} v mathbb {R} ^ {2}: | x |> | y | ight}}$

a

${displaystyle X_ {2} = left {{egin {pmatrix} x yend {pmatrix}} v mathbb {R} ^ {2}: | x | <| y | ight}.}$

Není těžké zkontrolovat pomocí výše uvedených výslovných popisů H₁ a H₂ to pro každou netriviální G ∈ H₁ my máme G(X₂) ⊆ X₁ a to pro každou netriviální G ∈ H₂ my máme G(X₁) ⊆ X₂. Použitím alternativní formy ping-pongového lemmatu, pro dvě výše uvedené podskupiny, to uzavíráme H = H₁∗H₂. Protože skupiny H₁ a H₂ jsou nekonečný cyklický, z toho vyplývá, že H je volná skupina hodnosti dva.

Příklad hyperbolické skupiny slov

Nechat G být hyperbolická skupina slov který je bez kroucení, tj. bez netriviálních prvků konečné objednat. Nechat G, h ∈ G být dva prvky nedojíždějící, to je takové, že gh ≠ hg. Pak existuje M≥1 takové, že pro všechna celá čísla n ≥ M, m ≥ M podskupina H = <Gⁿ, h^m> ≤ G je volný, uvolnit hodnosti dva.

Náčrt důkazu^[6]

Skupina G činy na jeho hyperbolická hranice ∂G podle homeomorfismy. Je známo, že pokud A ∈ G je pak netriviální prvek A má přesně dva odlišné pevné body, A^∞ a A^−∞ v ∂G a to A^∞ je přilákání pevného bodu zatímco A^−∞ je odpuzující pevný bod.

Od té doby G a h nedojíždět, základní fakta o hyperbolické skupiny slov naznačují to G^∞, G^−∞, h^∞ a h^−∞ jsou čtyři odlišné body v ∂G. Vezměte disjunktní sousedství U₊, U_–, PROTI₊ a PROTI_– z G^∞, G^−∞, h^∞ a h^−∞ v ∂G Potom přitahovací / odpuzující vlastnosti pevných bodů G a h znamenat, že existuje M ≥ 1 takový, že pro všechna celá čísla n ≥ M, m ≥ M my máme:

• Gⁿ(∂G – U_–) ⊆ U₊
• G⁻ⁿ(∂G – U₊) ⊆ U_–
• h^m(∂G – PROTI_–) ⊆ PROTI₊
• h^−m(∂G – PROTI₊) ⊆ PROTI_–

Ping-pongové lemma to nyní naznačuje H = <Gⁿ, h^m> ≤ G je volný, uvolnit hodnosti dva.

Aplikace ping-pongového lemmatu

• Ping-pongové lemma se používá v Kleinianské skupiny studovat jejich tzv Podskupiny Schottky. V kontextu Kleinianových skupin lze pomocí ping-pongového lemmatu ukázat, že určitá skupina izometrií hyperbolický 3-prostor není jen volný, uvolnit ale také správně nesouvislé a geometricky konečný.
• Podobné argumenty typu Schottky jsou široce používány v teorie geometrických skupin, zejména pro podskupiny hyperbolické skupiny slov^[6] a pro automorfické skupiny stromů.^[7]
• Pingpongové lemma se také používá ke studiu podskupin typu Schottky mapování skupin tříd z Riemannovy povrchy, kde množina, na kterou skupina skupin mapování působí, je Thurstonovou hranicí Teichmüllerův prostor.^[8] Podobný argument se používá také při studiu podskupin EU vnější skupina automorfismu a volná skupina.^[9]
• Jedna z nejznámějších aplikací ping-pongového lemmatu je v důkazu Jacques prsa tzv Prsa alternativa pro lineární skupiny.^[2] (viz také ^[10] pro přehled Titsových důkazů a vysvětlení použitých myšlenek, včetně použití ping-pongového lemmatu).
• Existují zevšeobecnění ping-pongového lemmatu, která nejen produkují produkty zdarma ale také sloučené produkty zdarma a HNN rozšíření.^[3] Tyto zevšeobecnění se používají zejména v důkazu Maskitovy věty o kombinaci pro Kleinianské skupiny.^[11]
• Existují také verze ping-pongového lemmatu, které zaručují, že několik prvků ve skupině vygeneruje a bezplatná poloskupina. Takové verze jsou k dispozici v obecném kontextu a skupinová akce na setu,^[12] a pro konkrétní typy akcí, např. v kontextu lineární skupiny,^[13] skupiny působící na stromy^[14] a další.^[15]

Reference

Viz také

• Zdarma skupina
• Produkt zdarma
• Kleinianova skupina
• Prsa alternativa
• Hyperbolická skupina slov
• Schottkyho skupina