Ultralimit - Ultralimit
- Pro přímý limit posloupnosti ultrapravidel viz Ultraprodukt.
v matematika, an ultralimit je geometrická konstrukce, která se přiřadí k posloupnosti metrické prostory Xn omezující metrický prostor. Pojem ultralimit zachycuje omezující chování konečných konfigurací v prostorech Xn a používá ultrafiltr vyhnout se procesu opakovaného přechodu na subsekvence, aby byla zajištěna konvergence. Ultralimit je zobecněním pojmu Konvergence Gromov – Hausdorff metrických prostorů.
Ultrafiltry
Připomeňme, že ultrafiltr ω na množině přirozených čísel ℕ je sada neprázdných podskupin ℕ (jehož inkluzní funkci lze považovat za míru), která je uzavřena pod konečným průsečíkem, vzhůru uzavřena a která vzhledem k jakékoli podmnožině X z ℕ, obsahuje buď X nebo ℕ ∖ X. Ultrafiltr ω na ℕ je non-jistina pokud neobsahuje žádnou konečnou množinu.
Limit posloupnosti bodů vzhledem k ultrafiltru
Nechat ω být hlavním ultrafiltrem na .Li je posloupnost bodů v a metrický prostor (X,d) a X∈ X, bod X se nazývá ω -omezit z Xn, označeno , pokud pro každého my máme:
Není těžké vidět následující:
- Pokud ω -limit posloupnosti bodů existuje, je jedinečný.
- Li ve standardním smyslu, . (Aby tato vlastnost byla zachována, je zásadní, aby ultrafilter nebyl principál.)
Důležitý základní fakt[1] uvádí, že pokud (X,d) je kompaktní a ω je hlavní ultrafiltr na , ω-limit jakékoli posloupnosti bodů v X existuje (a je nutně jedinečný).
Zejména jakákoli ohraničená posloupnost reálných čísel má dobře definovaný ω- omezit (protože uzavřené intervaly jsou kompaktní).
Ultralimit metrických prostorů se zadanými základními body
Nechat ω být hlavním ultrafiltrem na . Nechť (Xn,dn) být posloupností metrické prostory se zadanými základními body strn∈Xn.
Řekněme, že sekvence , kde Xn∈Xn, je přípustný, pokud posloupnost reálných čísel (dn(Xn,strn))n je ohraničené, to znamená, pokud existuje kladné reálné číslo C takhle Označme množinu všech přípustných sekvencí znakem .
Z trojúhelníkové nerovnosti je dobře vidět, že pro jakékoli dvě přípustné sekvence a sekvence (dn(Xn,yn))n je ohraničený, a proto existuje ω-omezit . Pojďme definovat vztah na scéně všech přípustných sekvencí následovně. Pro my máme kdykoli Je snadné to ukázat je vztah ekvivalence na
The ultralimit s ohledem na ω sekvence (Xn,dn, strn) je metrický prostor definováno následovně.[2]
Jako sadu máme .
Pro dva - třídy ekvivalence přípustných sekvencí a my máme
Není těžké to vidět je dobře definovaný a že je a metrický na scéně .
Označit .
Na základních bodech v případě rovnoměrně ohraničených prostorů
Předpokládejme, že (Xn,dn) je posloupnost metrické prostory stejnoměrně ohraničeného průměru, to znamená, že existuje reálné číslo C> 0 takový, že průměr (Xn)≤C pro každého . Pak pro jakoukoli volbu strn základních bodů v Xn každý sekvence je přípustný. Proto v této situaci nemusí být při definování ultralimitu specifikován výběr základních bodů a ultralimit záleží pouze na (Xn,dn) a dále ω ale nezávisí na volbě sekvence základního bodu . V tomto případě jeden píše .
Základní vlastnosti ultralimitů
- Pokud (Xn,dn) jsou geodetické metrické prostory pak je také geodetický metrický prostor.[1]
- Pokud (Xn,dn) jsou kompletní metrické prostory pak je také kompletní metrický prostor.[3][4]
Ve skutečnosti je mezní prostor podle konstrukce vždy kompletní, i když (Xn,dn) je opakující se posloupnost mezery (X,d), který není úplný.[5]
- Pokud (Xn,dn) jsou kompaktní metrické prostory, které konvergují do kompaktního metrického prostoru (X,d) v Gromov – Hausdorff smysl (to automaticky znamená, že mezery (Xn,dn) mají rovnoměrně ohraničený průměr), pak ultralimit je izometrický k (X,d).
- Předpokládejme, že (Xn,dn) jsou správné metrické prostory a to jsou základní body takové, že špičatá posloupnost (Xn,dn,strn) konverguje do správného metrického prostoru (X,d) v Gromov – Hausdorff smysl. Pak ultralimit je izometrický k (X,d).[1]
- Nechat κ≤0 a nechte (Xn,dn) být posloupností KOČKA(κ) -metrické mezery. Pak ultralimit je také KOCOUR (κ)-prostor.[1]
- Nechť (Xn,dn) být posloupností KOČKA(κn) -metrické mezery kde Pak ultralimit je skutečný strom.[1]
Asymptotické kužele
Důležitou třídou ultralimitů jsou tzv asymptotické kužele metrických prostorů. Nechť (X,d) být metrický prostor, nechť ω být hlavním ultrafiltrem na a nechte strn ∈ X být posloupností základních bodů. Pak ω–Ultimimit posloupnosti se nazývá asymptotický kužel X s ohledem na ω a a je označen . Jeden často považuje sekvenci základního bodu za konstantní, strn = str pro některé p ∈ X; v tomto případě asymptotický kužel nezávisí na výběru p ∈ X a je označen nebo prostě .
Pojem asymptotický kužel hraje v teorie geometrických skupin protože asymptotické kužele (nebo přesněji jejich topologické typy a typy bi-Lipschitz ) poskytnout kvazi-izometrie invarianty metrických prostorů obecně a zejména konečně generovaných skupin.[6] Asymptotické kužely se také ukázaly být užitečným nástrojem při studiu relativně hyperbolické skupiny a jejich zobecnění.[7]
Příklady
- Nechť (X,d) být kompaktní metrický prostor a dát (Xn,dn)=(X,d) pro každého . Pak ultralimit je izometrický k (X,d).
- Nechť (X,dX) a (Y,dY) být dva odlišné kompaktní metrické prostory a nechat (Xn,dn) být posloupností metrických prostorů tak, že pro každý n buď (Xn,dn)=(X,dX) nebo (Xn,dn)=(Y,dY). Nechat a . Tím pádem A1, A2 jsou disjunktní a Proto jeden z A1, A2 má ω- opatření 1 a druhé má ω- opatření 0. Proto je izometrický k (X,dX) pokud ω(A1) = 1 a je izometrický k (Y,dY) pokud ω(A2) = 1. To ukazuje, že ultralimit může záviset na výběru ultrafiltru ω.
- Nechť (M,G) být kompaktní Riemannovo potrubí dimenze m, kde G je Riemannova metrika na M. Nechat d být metrikou na M souhlasí s G, aby (M,d) je geodetický metrický prostor. Vyberte základní bod str∈M. Pak ultralimit (a dokonce i obyčejný Gromov-Hausdorffův limit ) je izometrický k tečný prostor TstrM z M na str se zapnutou funkcí vzdálenosti TstrM dané vnitřní produkt g (p). Proto je ultralimit je izometrický k Euklidovský prostor se standardem Euklidovská metrika.[8]
- Nechat být standardem m-dimenzionální Euklidovský prostor se standardní euklidovskou metrikou. Pak asymptotický kužel je izometrický k .
- Nechat být 2-dimenzionální celočíselná mřížka kde vzdálenost mezi dvěma mřížovými body je dána délkou nejkratší okrajové cesty mezi nimi v mřížce. Pak asymptotický kužel je izometrický k kde je Metrika taxíku (nebo L1-metrické) zapnuto .
- Nechť (X,d) být a δ-hyperbolický pro některé geodetický metrický prostor δ≥0. Pak asymptotický kužel je skutečný strom.[1][9]
- Nechť (X,d) být metrický prostor konečného průměru. Pak asymptotický kužel je jediný bod.
- Nechť (X,d) být a CAT (0) -metrický prostor. Pak asymptotický kužel je také prostor CAT (0).[1]
Poznámky pod čarou
- ^ A b C d E F G M. Kapovich B. Leeb. Na asymptotických kuželech a kvazi-izometrii tříd základních skupin 3-variet, Geometrická a funkční analýza, Sv. 5 (1995), č. 5. 3, s. 582–603
- ^ John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definice 7.19, s. 107.
- ^ L. Van den Dries, A. J. Wilkie, Na Gromovovu větu o skupinách polynomiálního růstu a elementární logice. Journal of Algebra, Sv. 89 (1984), str. 349–374.
- ^ John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Návrh 7.20, s. 108.
- ^ Bridson, Haefliger "Metrické prostory pozitivního zakřivení" Lemma 5.53
- ^ John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2
- ^ Cornelia Druţu a Mark Sapir (s dodatkem od Denis Osin a Mark Sapir), Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. Topologie, Svazek 44 (2005), č. 5, str. 959–1058.
- ^ Yu. Burago, M. Gromov a G. Perel'man. A. D. Aleksandrov prostory s křivkami ohraničenými níže (v ruštině), Uspekhi Matematicheskih Nauk sv. 47 (1992), s. 3–51; přeloženo do: Russian Math. Průzkumy sv. 47, č. 2 (1992), s. 1–58
- ^ John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Příklad 7.30, s. 118.
Základní reference
- John Roe. Přednášky o hrubé geometrii. Americká matematická společnost, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Ch. 7.
- L. Van den Dries, A. J. Wilkie, Na Gromovovu větu o skupinách polynomiálního růstu a elementární logice. Journal of Algebra, Sv. 89 (1984), str. 349–374.
- M. Kapovich B. Leeb. Na asymptotických kuželích a kvazi-izometrii tříd základních skupin 3-variet, Geometrická a funkční analýza, Sv. 5 (1995), č. 5. 3, s. 582–603
- M. Kapovich. Hyperbolické rozdělovače a diskrétní skupiny. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4; Ch. 9.
- Cornelia Druţu a Mark Sapir (s dodatkem Denise Osina a Marka Sapira), Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. Topologie, Svazek 44 (2005), č. 5, str. 959–1058.
- M. Gromov. Metrické struktury pro Riemannovy a neriemannovské prostory. Progress in Mathematics sv. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9; Ch. 3.
- B. Kleiner a B. Leeb, Tuhost kvazi-izometrií pro symetrické prostory a euklidovské budovy. Publikace Mathématiques de L'IHÉS. Svazek 86, číslo 1, prosinec 1997, s. 115–197.