Trhá stroj - Rips machine - Wikipedia

v teorie geometrických skupin, Trhá stroj je metoda studia akce z skupiny na R-stromy. To bylo představeno v nepublikované práci Eliyahu Rips asi v roce 1991.

An R-tree je jedinečně spojeno obloukem metrický prostor ve kterém je každý oblouk izometrický k nějakému reálnému intervalu. Rips dokázal domněnku Morgan & Shalen (1991) že nějaké konečně generovaná skupina svobodně působící na R-strom je produkt zdarma volných abelianských a povrchových skupin (Bestvina & Feighn 1995 ).

Působení skupin povrchů na R-stromy

Podle Teorie Bass – Serre, skupina jednající svobodně na jednoduchém stromu je zdarma. To již neplatí pro R-stromy, jako Morgan & Shalen (1991) ukázaly, že základní skupiny povrchů Eulerova charakteristika méně než −1 také svobodně působí na a RProkázali, že základní skupina spojeného uzavřeného povrchu S působí volně na R-strom právě tehdy, když S není jedním ze 3 neorientovatelných povrchů Eulerovy charakteristiky ≥ − 1.

Aplikace

Stroj Rips přiřadí stabilní izometrické akci konečně generované skupiny G určitá „normální forma“ aproximace této akce stabilním působením G na jednoduchém stromu, a tedy rozdělení G ve smyslu teorie Bass – Serre. Skupinové akce na skutečné stromy přirozeně vznikají v několika kontextech v geometrická topologie: například jako hraniční body Teichmüllerův prostor^[1] (každý bod na Thurstonově hranici Teichmüllerova prostoru je reprezentován měřenou geodetickou laminací na povrchu; tato laminace se zvedne k univerzálnímu krytu povrchu a přirozeně dvojitý předmět k tomuto výtahu je ${ displaystyle mathbb {R}}$ - strom obdařený izometrickým působením základní skupiny povrchu), jako Gromov-Hausdorffovy limity z, vhodně změněno, Kleinian skupina akce,^[2]^[3] a tak dále. Použití ${ displaystyle mathbb {R}}$ Stroje na stromy poskytují podstatné zkratky v moderních důkazech Thurstonova věta o hyperbolizaci pro Haken 3-potrubí.^[3]^[4] Podobně, ${ displaystyle mathbb {R}}$ -stromy hrají klíčovou roli při studiu Culler -Vogtmann je vesmír^[5]^[6] stejně jako v jiných oblastech teorie geometrických skupin; například, asymptotické kužele skupin má často stromovou strukturu a vede ke skupinovým akcím skutečné stromy.^[7]^[8] Použití ${ displaystyle mathbb {R}}$ -stromy, společně s teorií Bass – Serre, je klíčovým nástrojem v práci Sely na řešení problému izomorfismu pro (bez zkroucení) hyperbolické skupiny slov, Selova verze teorie rozkladu JSJ a práce Sely na Tarskiho domněnce pro volné skupiny a teorie omezené skupiny.^[9]^[10]

Reference

^ Richard Skora. Dělení povrchů. Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.), sv. 23 (1990), č. 2 1, s. 85–90
^ Mladen Bestvina. Degenerace hyperbolického prostoru. Duke Mathematical Journal. sv. 56 (1988), č. 5. 1, s. 143–161
^ ^A ^b M. Kapovich. Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny.Progress in Mathematics, 183. Birkhäuser. Boston, MA, 2001. ISBN 0-8176-3904-7
^ J.-P. Otal. Věta o hyperbolizaci pro vláknitá 3-potrubí.Přeloženo z francouzského originálu z roku 1996 Leslie D. Kay. Texty a monografie SMF / AMS, 7. Americká matematická společnost, Providence, RI; Société Mathématique de France, Paříž. ISBN 0-8218-2153-9
^ Marshall Cohen a Martin Lustig. Velmi malé skupinové akce ${ displaystyle mathbb {R}}$ -stromy a Dehnovy kroucení automorfismů. Topologie, sv. 34 (1995), č. 3. 3, str. 575–617
^ Gilbert Levitt a Martin Lustig. Neredukovatelné automorfismy F._n mít dynamiku sever-jih ve zhutněném vesmíru. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, sv. 2 (2003), č. 2 1, s. 59–72
^ Cornelia Druţu a Mark Sapir. Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. (S dodatkem od Denis Osin a Mark Sapir.) Topologie, sv. 44 (2005), č. 5 5, str. 959–1058
^ Cornelia Drutu a Mark Sapir. Skupiny působící na stromově odstupňovaných prostorech a rozdělení relativně hyperbolických skupin. Pokroky v matematice, sv. 217 (2008), č. 3, s. 1313–1367
^ Zlil Sela. Diophantine geometrie přes skupiny a elementární teorie volných a hyperbolických skupin. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Peking, 2002), s. 87–92, vyšší vydání. Press, Peking, 2002; ISBN 7-04-008690-5
^ Zlil Sela. Diophantine geometrie přes skupiny. I. Makanin-Razborovovy diagramy. Publikace Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques, č. 93 (2001), s. 31–105

Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1995), „Stabilní akce skupin na skutečných stromech“, Inventiones Mathematicae, 121 (2): 287–321, doi:10.1007 / BF01884300, ISSN 0020-9910, PAN 1346208
Gaboriau, D .; Levitt, G .; Paulin, F. (1994), „Pseudogroup of isometries of R a Ripsova věta o volných akcích na R-stromy ", Israel Journal of Mathematics, 87 (1): 403–428, doi:10.1007 / BF02773004, ISSN 0021-2172, PAN 1286836
Kapovich, Michael (2009) [2001], Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, PAN 1792613
Morgan, John W .; Shalen, Peter B. (1991), „Volné akce povrchových skupin na R-stromy ", Topologie, 30 (2): 143–154, doi:10.1016 / 0040-9383 (91) 90002-L, ISSN 0040-9383, PAN 1098910
Shalen, Peter B. (1987), „Dendrologie skupin: úvod“, Gersten, S. M. (ed.), Eseje v teorii skupin, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, PAN 0919830

externí odkazy

[1] Richard Skora. Dělení povrchů. Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.), sv. 23 (1990), č. 2 1, s. 85–90

[2] Mladen Bestvina. Degenerace hyperbolického prostoru. Duke Mathematical Journal. sv. 56 (1988), č. 5. 1, s. 143–161

[k-3] A ^b M. Kapovich. Hyperbolická potrubí a diskrétní skupiny.Progress in Mathematics, 183. Birkhäuser. Boston, MA, 2001. ISBN 0-8176-3904-7

[4] J.-P. Otal. Věta o hyperbolizaci pro vláknitá 3-potrubí.Přeloženo z francouzského originálu z roku 1996 Leslie D. Kay. Texty a monografie SMF / AMS, 7. Americká matematická společnost, Providence, RI; Société Mathématique de France, Paříž. ISBN 0-8218-2153-9

[5] Marshall Cohen a Martin Lustig. Velmi malé skupinové akce ${ displaystyle mathbb {R}}$ -stromy a Dehnovy kroucení automorfismů. Topologie, sv. 34 (1995), č. 3. 3, str. 575–617

[6] Gilbert Levitt a Martin Lustig. Neredukovatelné automorfismy F._n mít dynamiku sever-jih ve zhutněném vesmíru. Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, sv. 2 (2003), č. 2 1, s. 59–72

[7] Cornelia Druţu a Mark Sapir. Stromově odstupňované prostory a asymptotické kužele skupin. (S dodatkem od Denis Osin a Mark Sapir.) Topologie, sv. 44 (2005), č. 5 5, str. 959–1058

[8] Cornelia Drutu a Mark Sapir. Skupiny působící na stromově odstupňovaných prostorech a rozdělení relativně hyperbolických skupin. Pokroky v matematice, sv. 217 (2008), č. 3, s. 1313–1367

[9] Zlil Sela. Diophantine geometrie přes skupiny a elementární teorie volných a hyperbolických skupin. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Peking, 2002), s. 87–92, vyšší vydání. Press, Peking, 2002; ISBN 7-04-008690-5

[10] Zlil Sela. Diophantine geometrie přes skupiny. I. Makanin-Razborovovy diagramy. Publikace Mathématiques. Institut de Hautes Études Scientifiques, č. 93 (2001), s. 31–105

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]