Experimentální analýza nejistoty - Experimental uncertainty analysis

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek čte jako učebnice a může vyžadovat vyčištění. Prosím pomozte vylepšit tento článek udělat to neutrální tónem a setkat se s Wikipedií standardy kvality. (Březen 2011) tento článek potřebuje víc odkazy na další články pomoci integrovat to do encyklopedie. Prosím pomozte vylepšit tento článek přidáním odkazů které jsou relevantní pro kontext v rámci stávajícího textu. (Říjen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Experimentální analýza nejistoty je technika, která analyzuje a odvozený množství na základě nejistot v experimentu měřeno veličiny, které se používají v nějaké formě matematického vztahu ("Modelka ") pro výpočet odvozené veličiny. Model použitý k převodu měření na odvozenou veličinu je obvykle založen na základních principech vědecké nebo technické disciplíny.

Nejistota má dvě složky, jmenovitě zkreslení (související s přesnost ) a nevyhnutelné náhodná variace k tomu dochází při opakovaných měřeních (související s přesnost ). Měřené množství může mít předsudky, a určitě mají náhodné variace, takže je třeba se zabývat tím, jak jsou „šířeny“ do nejistoty odvozené veličiny. Analýza nejistoty se často nazývá „šíření chyby."

Bude vidět, že se jedná o obtížný a ve skutečnosti někdy neřešitelný problém, je-li zpracován podrobně. Naštěstí jsou k dispozici přibližná řešení, která poskytují velmi užitečné výsledky, a tato přiblížení budou diskutována v kontextu praktického experimentálního příkladu.

Úvod

Spíše než poskytnout suchou sbírku rovnic se tento článek zaměří na experimentální analýzu nejistoty vysokoškolského laboratorního experimentu, ve kterém kyvadlo se používá k odhadu hodnoty místní gravitační zrychlení konstantní G. Příslušná rovnice^[1] pro idealizované jednoduché kyvadlo je přibližně

${displaystyle T, =, 2, pi, {sqrt {L nad g}} ,, doleva [{1 ,,, + ,,, {1 přes 4} hřích ^ {2} doleva ({heta přes 2} noc) ,} ight] {mathbf {,,,,,,,,, Eq (1)}}}$

kde T je doba z kmitání (sekundy), L je délka (metry) a θ je počáteční úhel. Od té doby θ je jediná časově závislá souřadnice tohoto systému, může být lepší použít θ₀ k označení počáteční (počáteční) přemístění úhel, ale pro notaci bude pohodlnější vynechat dolní index. Řešení rovnice (1) pro konstantu G,

${displaystyle {hat {g}}, =, {{4, pi ^ {2} L} nad {T ^ {2}}} ,, vlevo [{, 1 ,,, + ,,, {1 nad 4} sin ^ {2} left ({heta over 2} ight),} ight] ^ {2} {mathbf {,,,,,,,,,,,, Eq (2)}}}$

Toto je rovnice nebo model, který se má použít pro odhad G ze sledovaných údajů. Do odhadu bude zavedeno určité mírné zkreslení G tím, že výraz v závorkách je pouze první dva výrazy a rozšíření série, ale v praktických experimentech může být toto zkreslení ignorováno a bude.

Postupem je měření délky kyvadla L a poté proveďte opakovaná měření periody T, při každém spuštění pohybu kyvadla ze stejného počátečního úhlu posunutí θ. Replikovaná měření T jsou průměrně a poté použit v Eq (2) k získání odhadu G. Rovnice (2) je prostředek, jak se dostat z měřeno množství L, T, a θ do odvozený Množství G.

Všimněte si, že alternativním přístupem by bylo převést všechny jednotlivce T měření k odhadům G, pomocí Eq (2), a pak k jejich průměrování G hodnoty k získání konečného výsledku. To by nebylo praktické bez nějaké formy mechanizované výpočetní kapacity (tj. Počítače nebo kalkulačky), protože množství numerického výpočtu při hodnocení Eq (2) pro mnoho T měření by byla zdlouhavá a náchylná k chybám. Který z těchto přístupů má být ve statistickém smyslu preferován, bude popsán níže.

Systematická analýza chyb / zkreslení / citlivosti

Úvod

Nejprve budou zváženy možné zdroje zkreslení. Existují tři veličiny, které je třeba měřit: (1) délka kyvadla od bodu zavěšení po těžiště „bobu“; (2) doba oscilace; (3) počáteční úhel posunutí. Délka se v tomto experimentu považuje za pevnou a je třeba ji měřit jednou, i když bylo možné provést opakovaná měření a výsledky zprůměrovat.

Počáteční úhel posunutí musí být nastaven pro každé opakované měření periody Ta předpokládá se, že tento úhel je konstantní. Počáteční úhel je často udržován malý (méně než asi 10 stupňů), takže korekce tohoto úhlu je považována za zanedbatelnou; tj. výraz v závorkách v rovnici (2) je považován za jednotu. Pro zde studovaný experiment je však tato korekce zajímavá, takže typická počáteční hodnota posunutí se může pohybovat od 30 do 45 stupňů.

Předpokládejme, že to byl případ, neznámý studentům, že měření délky byla příliš malá, řekněme o 5 mm. Může to být způsobeno vadným měřicím zařízením (např. Měřicí tyčí) nebo, a pravděpodobněji, a systematická chyba při používání tohoto zařízení při měření L. To by mohlo nastat, kdyby studenti zapomněli měřit do těžiště bobu a místo toho důsledně měřeno do bodu, kde se k němu připojil řetězec. Tato chyba tedy není náhodná; objevuje se pokaždé, když se měří délka.

Dále období oscilace T by mohla trpět systematickou chybou, kdyby například studenti důsledně chybně spočítal pohyby kyvadla tam a zpět, aby získal celočíselný počet cyklů. (Experimentální postup často vyžaduje načasování několika cyklů, např. Pět nebo deset, ne pouze jeden.) Nebo snad digitální stopky, které používali, měly elektronický problém a důsledně přečíst příliš velkou hodnotu, například o 0,02 sekundy. Samozřejmě budou také náhodné varianty časování; tento problém bude vyřešen později. Znepokojující je zde soustavná, systematická, nepravidelná chyba v měření doby oscilace kyvadla.

Nakonec bylo možné změřit počáteční úhel pomocí jednoduchého úhloměru. Je obtížné umístit a přečíst počáteční úhel s vysokou přesností (nebo přesněji, toto měření je špatné reprodukovatelnost ). Předpokládejme, že studenti důsledně nesprávně umístěte úhloměr tak, aby odečet úhlu byl příliš malý, řekněme o 5 stupňů. Pak jsou všechna počáteční měření úhlu předpjata o tuto částku.

Chyby citlivosti

Nicméně, během experimentu nejsou známa předpětí. Pokud bylo například známo, že měření délky byla nízká o 5 mm, mohli studenti buď opravit chybu v měření, nebo přidat 5 mm k jejich údajům, aby předpojatost odstranili. Více hodnotné je spíše studovat účinky náhodných možností systematické chyby před experiment se provádí. Toto je forma Analýza citlivosti.

Myšlenkou je odhadnout rozdíl nebo zlomkovou změnu v odvozené veličině zde G, vzhledem k tomu, že měřené veličiny jsou předpjaté o určitou danou částku Například pokud byl počáteční úhel důsledně nízko o 5 stupňů, jaký vliv by to mělo na odhad G? Pokud je délka důsledně krátká o 5 mm, jaká je změna v odhadu G? Pokud jsou měření období důsledně příliš dlouho o 0,02 sekundy, kolik odhaduje G změna? Co se stane s odhadem G pokud se tyto předsudky vyskytují v různých kombinacích?

Jedním z důvodů pro zkoumání těchto otázek je to, že experimentální návrh ve smyslu toho, jaké zařízení a postup má být použit (nikoli statistický smysl; kterému se budeme věnovat později), závisí na relativním účinku systematických chyb v měřených veličinách. Pokud by odchylka 5 stupňů v počátečním úhlu způsobila nepřijatelnou změnu odhadu G, pak je pro toto měření možná třeba vypracovat propracovanější a přesnější metodu. Na druhou stranu, pokud lze před provedením experimentu prokázat, že tento úhel má zanedbatelný vliv na G, pak je použití úhloměru přijatelné.

Existuje další motivace pro tuto formu analýzy citlivosti po experiment byl proveden a analýza dat ukazuje zkreslení v odhadu G. Zkoumání změny v G které by mohly vyplývat ze zkreslení v několika vstupních parametrech, tj. měřených veličinách, mohou vést k nahlédnutí do toho, co způsobilo zkreslení v odhadu G. Tato analýza může pomoci izolovat takové problémy, jako jsou chyby měření, problémy s aparátem, nesprávné předpoklady o modelu atd.

Přímý (přesný) výpočet zkreslení

Nejpřímějším, nemluvě o zřejmém, způsobu, jak k tomu přistupovat, by bylo přímo vypočítat změnu pomocí Eq (2) dvakrát, jednou s teoretizovanými zkreslenými hodnotami a znovu se skutečnými, nezaujatými hodnotami pro parametry:

${displaystyle Delta {hat {g}} ,,, = ,,,, {hat {g}} vlevo ({L + Delta L ,,,, T + Delta T ,,,, heta + Delta heta} ight), ,, - ,,, {hat {g}} vlevo ({L ,,, T ,,, heta} ight) {mathbf {,,,,,,,, Eq (3)}}}$

kde ΔL atd. představují předpětí v příslušných měřených veličinách. (Karát přes G znamená odhadovanou hodnotu G.) Aby to bylo konkrétnější, zvažte idealizované kyvadlo o délce 0,5 metru s počátečním úhlem posunutí 30 stupňů; z Eq (1) pak bude období 1,443 sekundy. Předpokládejme, že předpětí jsou −5 mm, −5 stupňů a +0,02 sekundy L, θ, a T resp. Poté vezmeme v úvahu nejprve pouze délkové zkreslení ΔL sám o sobě,

${displaystyle Delta {hat {g}} ,,, = ,,, {hat {g}} vlevo ({0,495 ,,,, 1,443 ,,,, 30} ight) ,,, - ,,, {hat {g }} vlevo ({0,500 ,,, 1,443 ,,, 30} ight) ,,, = ,,, - 0,098 {m {,,, m / s ^ {2}}}}$

a pro tento a další parametry měření T a θ změny v G jsou zaznamenány v stůl 1.

V analýze citlivosti je běžnou praxí vyjádřit změny jako zlomky (nebo procenta). Pak přesná zlomková změna G je

${displaystyle {{Delta {hat {g}}} nad {hat {g}}} ,,, = ,,,, {{{hat {g}} vlevo ({L + Delta L ,,,, T + Delta T ,,,, heta + Delta heta} ight) ,,, - ,,, {hat {g}} vlevo ({L ,,, T ,,, heta} ight)} nad {{hat {g}} vlevo ({L ,,, T ,,, heta} ight)}} {mathbf {,,,,,,,, Eq (4)}}}$

Výsledky těchto výpočtů pro ukázkový systém kyvadla jsou shrnuty v tabulce 1.

Linearizovaná aproximace; úvod

Dále předpokládejme, že je nepraktické použít přímý přístup k nalezení závislosti odvozené veličiny (G) na vstupu měřené parametry (L, T, θ). Existuje alternativní metoda? Z počtu je pojem celkový rozdíl^[2] je zde užitečné:

${displaystyle dz = {{částečné z} nad {částečné x_ {1}}} dx_ {1} ,,, + ,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {2}}} dx_ {2} ,,, + ,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {3}}} dx_ {3} ,,, + ,,, cdots ,,,,, = ,,, součet limitů _ {i ,, = ,, 1 } ^ {p} {, {{částečné z} nad {částečné x_ {i}}} dx_ {i}} {mathbf {,,,,,,,,,,,,, Eq (5)}}}$

kde z je nějaká funkce několika (str) proměnné X. Symbol ∂z / ∂x₁ představuje „parciální derivace "funkce z s ohledem na jednu z několika proměnných X které ovlivňují z. Pro tento účel hledání této derivace spočívá v udržování konstantní všech proměnných jiných než té, ve vztahu k níž se parciální část nachází, a v nalezení první derivace obvyklým způsobem (který může a často zahrnuje řetězové pravidlo ). Ve funkcích, které zahrnují úhly, jako to dělá Eq (2), je úhly musí být změřeny v radiány.

Eq (5) je lineární funkce, která přibližný, např. křivka ve dvou rozměrech (str= 1) tečnou čárou v bodě na této křivce nebo ve třech rozměrech (str= 2) přibližuje povrch tečnou rovinou v bodě na tomto povrchu. Myšlenka je, že celková změna v z v těsné blízkosti konkrétního bodu je nalezen z Eq (5). V praxi se používají spíše konečné rozdíly než diferenciály

${displaystyle Delta zapprox {{částečné z} nad {částečné x_ {1}}} Delta x_ {1} ,,, + ,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {2}}} Delta x_ {2}, ,, + ,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {3}}} delta x_ {3} ,,, + ,,, cdots ,,,,, = ,,, součet limitů _ {i ,, = ,, 1} ^ {p} {, {{částečné z} nad {částečné x_ {i}}} Delta x_ {i}} {mathbf {,,,,,,,,,,,,,,, ekv (6)}}}$

a to funguje velmi dobře, pokud se zvyšuje ΔX jsou dostatečně malé.^[3] Dokonce i vysoce zakřivené funkce jsou téměř dostatečně lineární v dostatečně malé oblasti. Frakční změna je tedy

${displaystyle {{Delta z} nad z} ,,, cca ,,, {1 nad z} ,, limity součtu _ {i ,, = ,, 1} ^ {p} {, {{částečné z} nad {částečné x_ {i}}} Delta x_ {i}} {mathbf {,,,,,,,,,,,,,,,,,, Eq (7)}}}$

Alternativní, užitečný způsob zápisu Eq (6) používá formalismus s vektorovou maticí:

${displaystyle Delta z ,, cca ,, {egin {pmatrix} {částečné z přes částečné x_ {1}} & {částečné z přes částečné x_ {2}} & {částečné z přes částečné x_ {3}} & cdots & {částečné z přes částečný x_ {p}} konec {pmatrix}} {egin {pmatrix} {Delta x_ {1}} {Delta x_ {2}} {Delta x_ {3}} {vdots} {Delta x_ { p}} konec {pmatrix}} {mathbf {,,,,,,,,,,,,, Eq (8)}}}$

Při aplikaci těchto parciálních derivací si povšimněte, že se jedná o funkce, které budou hodnoceny v bodě, to znamená, že všechny parametry, které se zobrazují v částečkách, budou mít číselné hodnoty. Například vektorový produkt v Eq (8) bude mít za následek jednu číselnou hodnotu. U studií zkreslení jsou hodnoty použité v částečkách skutečnými hodnotami parametrů, protože aproximujeme funkci z v malé oblasti poblíž těchto skutečných hodnot.

Linearizovaná aproximace; příklad absolutní změny

Návrat k příkladu kyvadla a použití těchto rovnic, absolutní změna v odhadu G je

${displaystyle Delta {hat {g}} ,, cca ,, {{částečné {hat {g}}} nad {částečné L}} Delta L ,,, + ,,, {{částečné {hat {g}}} nad {částečné T}} Delta T ,,, + ,,, {{částečné {hat {g}}} nad {částečné heta}} Delta heta {mathbf {,,,,,,,,,, Eq (9) }}}$

a nyní je úkolem najít parciální derivace v této rovnici. Výrazně to zjednoduší definování procesu

${displaystyle alpha (heta) ,, equiv ,, left [{, 1 ,,, + ,,, {1 přes 4} sin ^ {2} left ({heta přes 2} ight),} ight] ^ {2} }$

Přepis Eq (2) a převzetí partials

${displaystyle {egin {aligned} {hat {g}} & = {{4pi ^ {2} L} přes {T ^ {2}}} alfa (heta) {{částečný {hat {g}}} přes {částečné L}} ,, & = ,,, {{4, pi ^ {2}} nad {T ^ {2}}} alfa (heta) {{částečné {hat {g}}} nad {částečné T}} ,, & = ,, {{- 8, L, pi ^ {2}} nad {T ^ {3}}} alfa (heta) {{částečné {hat {g}}} nad {částečné heta}} ,, & = ,, {{L, pi ^ {2}} nad {T ^ {2}}} ,, {sqrt {alpha (heta)}} ,, sin (heta) {mathbf { ,,,, Eq (10)}} konec {zarovnáno}}}$

Zapojení těchto derivátů do Eq (9),

${displaystyle Delta {hat {g}} ,,, cca ,,, vlevo [{{{4, pi ^ {2}} nad {T ^ {2}}} alfa (heta)} ight], Delta L ,, ,,, + ,,,,,, vlevo [{{{- 8, L, pi ^ {2}} nad {T ^ {3}}} alfa (heta)} ight] Delta T ,,, + ,, ,, left [{{{L, pi ^ {2}} over {T ^ {2}}} ,, {sqrt {alpha (heta)}} ,, sin (heta)} ight] Delta heta {mathbf {, ,,,,,,, Eq (11)}}}$

a poté aplikováním stejných číselných hodnot pro parametry a jejich předpětí jako dříve, jsou získány výsledky v tabulce 1. Hodnoty jsou přiměřeně blízké hodnotám nalezeným pomocí Eq (3), ale nejsou přesné, s výjimkou L. Důvodem je změna v G je lineární s L, což lze odvodit ze skutečnosti, že dílčí s ohledem na (w.r.t.) L nezávisí na L. Lineární „přiblížení“ se tedy ukazuje jako přesné L. Částečný w.r.t. θ je složitější a vyplývá z použití pravidla řetězu na α. Také při použití Eq (10) v Eq (9) nezapomeňte, že úhel měří, včetně Δθ, musí být převedeny ze stupňů na radiány.

Linearizovaná aproximace; příklad částečné změny

Linearizovaná aproximace částečná změna v odhadu G je aplikace Eq (7) na příklad kyvadla,

${displaystyle {{Delta {hat {g}}} over {hat {g}}} ,,,, cca ,,,, {1 over {hat {g}}} ,, {{částečné {hat {g}} } nad {částečné L}} Delta L ,,, + ,,,, {1 nad {klobouk {g}}} ,, {{částečné {klobouk {g}}} nad {částečné T}} Delta T ,,, + ,,,, {1 nad {hat {g}}} ,, {{částečný {hat {g}}} nad {částečný heta}} Delta heta}$

což vypadá velmi komplikovaně, ale v praxi to obvykle vede k jednoduchému vztahu pro zlomkovou změnu. Tím pádem,

${displaystyle {{Delta {hat {g}}} přes {hat {g}}} ,,, cca ,,, vlevo [{{{{4, pi ^ {2}} přes {T ^ {2}}} alfa (heta)} nad {{{4, pi ^ {2} L} nad {T ^ {2}}} alfa (heta)}} vpravo], Delta L ,,,,, + ,,,,,, vlevo [{{{{- 8, L, pi ^ {2}} nad {T ^ {3}}} alfa (heta)} nad {{{4, pi ^ {2} L} nad {T ^ {2 }}} alfa (heta)}} ight] Delta T ,,, + ,,,, vlevo [{{{{L, pi ^ {2}} nad {T ^ {2}}} ,, {sqrt {alfa (heta)}} ,, sin (heta)} nad {{{4, pi ^ {2} L} nad {T ^ {2}}} alfa (heta)}} ight] Delta heta}$

což se snižuje na

${displaystyle {{Delta {hat {g}}} over {hat {g}}} ,,, cca ,,, {{Delta L} over L} ,,, - ,,, 2 ,, {{Delta T} nad T} ,,, + ,,, {{sin (heta)} nad {4, {sqrt {alfa (heta)}}}} Delta heta}$

To je až na poslední termín pozoruhodně jednoduchý výsledek. Rozšiřování posledního semestru jako série v θ,

${displaystyle {{sin (heta)} nad {4left [{1 ,,, + ,,, {1 nad 4} sin ^ {2} vlevo ({heta nad 2} no)} no}}}, cca ,,, {heta nad 4} ,,,,,,,,,, Rightarrow ,,,,,,,, {heta nad 4} ,, Delta heta ,,, = ,,, {{heta ^ {2 }} přes 4} {{Delta heta} přes heta}}$

takže výsledek pro linearizovanou aproximaci pro zlomkovou změnu v odhadu G je

${displaystyle {{Delta {hat {g}}} over {hat {g}}} ,,, cca ,,, {{Delta L} over L} ,,,,, - ,,, 2 ,, {{Delta T} nad T} ,,,,, + ,,,,, vlevo ({heta nad 2} ight) ^ {2} {{Delta heta} nad heta} {mathbf {,,,,,,,,,, , Eq (12)}}}$

Připomínáme, že úhly jsou v radiánové míře a že hodnota použitá v příkladu je 30 stupňů, je to asi 0,524 radiánů; na polovinu a na druhou jako koeficient částečné změny θ říká, tento koeficient je asi 0,07. Z Eq (12) pak lze snadno usoudit, že nejvlivnější parametry jsou T, L, θ. Jiným způsobem, jak to říci, je odvozená veličina G je citlivější například na měřené množství T než do L nebo θ. Nahrazením numerických hodnot příkladu jsou výsledky uvedeny v tabulce 1 a přiměřeně souhlasí s výsledky zjištěnými pomocí Eq (4).

Forma Eq (12) je obvykle cílem analýzy citlivosti, protože je obecná, tj. Není vázána na konkrétní sadu hodnot parametrů, jako tomu bylo v případě metody přímého výpočtu Eq (3) nebo ( 4) a v zásadě je kontrolou zřejmé, které parametry mají největší účinek, pokud mají systematické chyby. Například pokud je měření délky L byla vysoká o deset procent, pak odhad G by také byla vysoká o deset procent. Pokud období T byl pododhadem o 20 procent, pak odhadem G bylo by přesodhaduje o 40 procent (všimněte si záporného znaménka pro T období). Pokud počáteční úhel θ byl nadhodnocen o deset procent, odhad G by byl nadhodnocen asi o 0,7 procenta.

Tyto informace jsou velmi cenné při analýze dat po experimentu, aby bylo možné zjistit, která měření mohla přispět k pozorovanému zkreslení celkového výsledku (odhad G). Například úhel by mohl být rychle odstraněn jako jediný zdroj zkreslení G řekněme 10 procent. Úhel by musel být omylem asi o 140 procent, což by, jak doufáme, nebyl fyzicky věrohodný.

Tabulka výsledků

Náhodná chyba / přesnost

Úvod

Dále zvažte skutečnost, že jelikož studenti opakovaně měří dobu oscilace kyvadla, získají pro každé měření jiné hodnoty. Jedná se o náhodné výkyvy - malé rozdíly v reakční době při používání stopek, rozdíly v odhadu, kdy kyvadlo dosáhlo svého maximálního úhlového pohybu atd.; všechny tyto věci interagují a vytvářejí variace v měřené veličině. Tohle je ne zkreslení, o kterém se hovořilo výše, kde se předpokládalo, že mezi odečtem stopek a skutečným obdobím bude rozdíl 0,02 sekundy T. Předpětí je pevná konstantní hodnota; náhodná variace je právě to - náhodná, nepředvídatelná.

Náhodné variace nejsou předvídatelné, ale mají tendenci dodržovat některá pravidla a tato pravidla jsou obvykle shrnuta matematickým konstruktem zvaným a funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF). Tato funkce má zase několik parametrů, které jsou velmi užitečné při popisu variace pozorovaných měření. Dva takové parametry jsou znamenat a rozptyl PDF. Průměr je v zásadě umístění PDF na řádku reálného čísla a rozptyl je popis rozptylu nebo rozptylu nebo šířky PDF.

Pro ilustraci, Obrázek 1 ukazuje tzv Normální PDF, což se bude považovat za distribuci pozorovaných časových období v kyvadlovém experimentu. Ignorujeme všechna předpětí v měření pro tuto chvíli, pak průměr tohoto PDF bude na skutečné hodnotě T pro idealizované kyvadlo 0,5 metru, které má počáteční úhel 30 stupňů, a to od rovnice (1), 1,443 sekundy. Na obrázku je 10 000 simulovaných měření v histogramu (který třídí data do košů s malou šířkou, aby se zobrazil tvar distribuce) a normální PDF je plná čára. Svislá čára je průměr.

Zajímavým problémem s náhodnými výkyvy je rozptyl. Kladná druhá odmocnina rozptylu je definována jako standardní odchylka, a je to míra šířky PDF; existují i ​​jiná opatření, ale směrodatná odchylka symbolizovaná řeckým písmenem σ „sigma“ je zdaleka nejběžněji používaná. Pro tuto simulaci je sigma 0,03 sekundy pro měření T byl použit; měření L a θ předpokládaná zanedbatelná variabilita.

Na obrázku jsou šířky jedno-, dvou- a tří sigmat označeny svislými tečkovanými čarami se šipkami. Je vidět, že šířka tří sigma na obou stranách průměru obsahuje téměř všechna data pro normální PDF. Rozsah pozorovaných časových hodnot je od přibližně 1,35 do 1,55 sekundy, ale většina z těchto časových měření spadá do užšího intervalu.

Odvozené množství PDF

Obrázek 1 ukazuje výsledky měření pro mnoho opakovaných měření periody kyvadla T. Předpokládejme, že tato měření byla použita, jeden po druhém, v Eq (2) k odhadu G. Co by bylo za PDF G odhady? S tímto PDF, jaký je průměr a rozptyl souboru G odhady? To není jednoduchá otázka, na kterou byste měli odpovědět, takže simulace bude nejlepším způsobem, jak zjistit, co se stane. Na obrázku 2 je opět 10 000 měření T, které jsou poté použity v Eq (2) k odhadu G, a těchto 10 000 odhadů se umístí do histogramu. Průměr (svislá černá čára) úzce souhlasí^[4] se známou hodnotou pro G 9,8 m / s².

Někdy je možné odvodit skutečné PDF transformovaných dat. V příkladu kyvadla měření času T jsou v Eq (2) na druhou a rozděleny do několika faktorů, které prozatím lze považovat za konstanty. Používání pravidel pro transformaci náhodných proměnných^[5] lze prokázat, že pokud T měření jsou normálně distribuována, jako na obrázku 1, pak odhady G sledovat další (komplikovanou) distribuci, kterou lze odvodit analyticky. Že G-PDF je vykreslen s histogramem (černá čára) a souhlas s údaji je velmi dobrý. Na obrázku 2 je také znázorněno a G-PDF křivka (červená přerušovaná čára) pro předpojatý hodnoty T které byly použity v předchozí diskusi o zaujatosti. Tedy průměr neobjektivníhoTg-PDF je na 9 800 - 0,266 m / s² (viz tabulka 1).

Zvažte znovu funkci, jak bylo provedeno v diskusi o zkreslení výše

${displaystyle z ,,, = ,,, fleft ({x_ {1} ,,, x_ {2} ,,, x_ {3} ,, ... ,,, x_ {p}} v noci)}$

kde F nemusí být a často není lineární a X jsou náhodné proměnné, které obecně nemusí být normálně distribuovány a které mohou obecně vzájemně korelovat. Při analýze výsledků experimentu je průměr a rozptyl odvozené veličiny z, což bude náhodná proměnná, jsou zajímavé. Ty jsou definovány jako očekávané hodnoty

${displaystyle mu _ {z} ,, = ,,, {m {E}}, [z] ,,,,,,,,,,,,,, sigma _ {z} ^ {2} ,,, = ,,, {m {E}}, doleva [{left ({z ,, - ,, mu _ {z}} ight) ^ {2}} ight]}$

tj. první okamžik PDF o původu a druhý okamžik PDF o průměru odvozené náhodné proměnné z. Tyto očekávané hodnoty jsou nalezeny pomocí integrálu, přičemž zde se uvažuje o spojitých proměnných. Pro vyhodnocení těchto integrálů je však pro PDF odvozené veličiny zapotřebí funkční forma z. To bylo poznamenáno^[6]

Přesný výpočet [odchylek] nelineárních funkcí proměnných, které podléhají chybám, je obecně problém velké matematické složitosti. Ve skutečnosti se podstatná část matematické statistiky zabývá obecným problémem odvození úplného rozdělení kmitočtů [PDF] takových funkcí, ze kterých lze potom odvodit [odchylku].

Pro ilustraci je jednoduchým příkladem tohoto procesu najít průměr a rozptyl odvozené veličiny z = x² kde měřené množství X je normálně distribuován se střední hodnotou μ a rozptyl σ². Odvozené množství z bude mít nějaké nové PDF, které lze (někdy) najít pomocí pravidel pravděpodobnostního počtu.^[7] V takovém případě lze pomocí těchto pravidel zobrazit soubor PDF z bude

${displaystyle {m {PDF}} _ {z} ,,, sim ,,, {1 nad {2 {sqrt {z}}}} ,,, {1 nad {{sqrt {2pi}} ,, sigma}} left [{exp left ({- ,, {{left ({{sqrt {z}} - mu} ight) ^ {2}} over {2, sigma ^ {2}}}} ight) ,,, +, ,, exp left ({- ,, {{left ({- {sqrt {z}} - mu} ight) ^ {2}} over {2, sigma ^ {2}}}} ight)} ight]}$

Integrace toto z nuly na kladné nekonečno vrací jednotu, která ověří, že se jedná o PDF. Dále je zapotřebí průměr a rozptyl tohoto PDF, aby bylo možné charakterizovat odvozené množství z. Průměr a rozptyl (ve skutečnosti střední čtvercová chyba, rozdíl, který zde nebude sledován) lze najít z integrálů

${displaystyle mu _ {z} ,, = ,,, int _ {,, 0} ^ {,, infty} {z, {m {PDF}} _ {z}}, dz ,,,,,,,, ,,,, sigma _ {z} ^ {2} ,, = ,, int _ {,, 0} ^ {,, infty} {left ({z-mu _ {z}} ight) ^ {2}, } {m {PDF}} _ {z}, dz}$

pokud jsou tyto funkce vůbec integrovatelné. V tomto případě jsou možné analytické výsledky,^[8] a zjistilo se, že

${displaystyle mu _ {z} = mu ^ {2} + ,, sigma ^ {2} ,,,,,,,,,,,,, sigma _ {z} ^ {2} ,, = ,, 2, sigma ^ {2} vlevo ({2mu ^ {2} + ,, sigma ^ {2}} vpravo)}$

Tyto výsledky jsou přesné. Všimněte si, že průměr (očekávaná hodnota) z z není to, co by se logicky dalo očekávat, tj. jednoduše druhá mocnina průměru X. I když tedy použijeme pravděpodobně nejjednodušší nelineární funkci, druhou mocninu náhodné proměnné, je proces zjišťování střední hodnoty a rozptylu odvozené veličiny obtížný a u složitějších funkcí lze s jistotou říci, že tento proces není pro experimentální analýza dat.

Jak je v těchto studiích dobrým zvykem, výše uvedené výsledky lze ověřit pomocí simulace. Obrázek 3 ukazuje histogram 10 000 vzorků z, přičemž výše uvedené PDF je také graficky znázorněno; dohoda je vynikající. V této simulaci X data měla průměr 10 a směrodatnou odchylku 2. Tedy naivní očekávaná hodnota pro z by samozřejmě bylo 100. Svislá čára „zkresleného průměru“ je nalezena pomocí výše uvedeného výrazu pro μ_z, a to dobře souhlasí s pozorovaným průměrem (tj. počítáno z dat; přerušovaná svislá čára) a zkreslený průměr je nad „očekávanou“ hodnotou 100. Čárkovaná křivka zobrazená na tomto obrázku je normální PDF, který bude řešeno později.

Linearizované aproximace pro střední a rozptyl odvozeného množství

Pokud, jako je tomu obvykle, nebyl nalezen PDF odvozené veličiny, ai když PDF měřených veličin nejsou známy, ukázalo se, že je stále možné odhadnout průměr a rozptyl (a tedy , směrodatná odchylka) odvozené veličiny. Tato takzvaná „diferenciální metoda“^[9] bude popsáno dále. (Odvození rovnic (13) a (14) viz tato sekce, níže.)

Jak je v aplikované matematice obvyklé, jeden způsob, jak se vyhnout složitosti, je aproximovat funkci jinou, jednodušší funkcí, a často se to provádí pomocí nízkého řádu Taylor série expanze. Může se to ukázat^[10] to, pokud je funkce z je nahrazen rozšířením prvního řádu o bod definovaný středními hodnotami každého z str proměnné X, je rozptyl linearizované funkce aproximován

${displaystyle sigma _ {z} ^ {2} ,,, přibližně ,,, součet limitů _ {i, =, 1} ^ {p} {, součet limitů _ {j, =, 1} ^ {p} {vlevo ({{částečné z} nad {částečné x_ {i}}} vpravo)}} vlevo ({{částečné z} nad {částečné x_ {j}}} vpravo) sigma _ {i, j} {mathbf {,,, ,,,,,,,,, Eq (13)}}}$

kde σ_ij představuje kovariance dvou proměnných X_i a X_j. Převezme se dvojnásobná částka Všechno kombinace i a j, s tím, že kovariance proměnné sama o sobě je rozptylem této proměnné, tj. σ_ii = σ_i². Rovněž jsou kovariance symetrické σ_ij = σ_ji . Opět, jak tomu bylo v případě výpočtů zkreslení, jsou dílčí deriváty hodnoceny v konkrétním bodě, v tomto případě střední (průměrnou) hodnotou nebo jiným nejlepším odhadem každé z nezávislých proměnných. Všimněte si, že pokud F je pak lineární, a teprve potom, Eq (13) je přesný.

Očekávanou hodnotu (průměr) odvozeného PDF lze odhadnout pro případ, kdy z je funkce jedné nebo dvou měřených proměnných pomocí^[11]

${displaystyle mu _ {z} ,, cca ,, zleft ({mu _ {1}, mu _ {2}} ight) ,,, + ,,, {1 přes 2} vlevo {{, {{částečné ^ { 2} z} nad {částečné x_ {1} ^ {2}}} sigma _ {1} ^ {2} ,,, + ,,, {{částečné ^ {2} z} nad {částečné x_ {2} ^ {2}}} sigma _ {2} ^ {2}} ight} ,,, + ,,, {{částečné z ^ {2}} nad {částečné x_ {1}, částečné x_ {2}}} sigma _ {12} {mathbf {,,,,,,,,, Eq (14)}}}$

kde jsou částice vyhodnoceny jako průměr příslušné měřené proměnné. (U více než dvou vstupních proměnných je tato rovnice rozšířena, včetně různých smíšených částeček.)

Návrat k jednoduchému příkladu případu z = x² průměr se odhaduje na

${displaystyle mu _ {z} ,, cca ,, mu ^ {2} ,, + ,,, {1 nad 2} ,, sigma ^ {2} ,, {{částečné ^ {2} z} nad {částečné x ^ {2}}} ,,, = ,,, mu ^ {2} + ,,, {1 nad 2} ,, sigma ^ {2} ,, doleva [2ight] ,,,, = ,,, mu ^ {2} +, sigma ^ {2}}$

což je v tomto konkrétním případě stejné jako přesný výsledek. Pro rozptyl (ve skutečnosti čs_E),

${displaystyle sigma _ {z} ^ {2} přibližně vlevo ({{částečné z} nad {částečné x}} vpravo) ^ {2} sigma ^ {2} ,, = ,, 4, x ^ {2}, sigma ^ {2} ,,,,, Rightarrow ,,,,, 4left ({mu ^ {2}} ight) sigma ^ {2} = ,,,, 4, mu ^ {2} sigma ^ {2}}$

který se liší pouze absencí posledního termínu, který byl v přesném výsledku; od té doby σ by měl být malý ve srovnání s μ, to by neměl být zásadní problém.

Na obrázku 3 je zobrazen normální PDF (přerušované čáry) se střední hodnotou a odchylkou od těchto aproximací. Normální PDF nepopisuje tato odvozená data zvlášť dobře, zejména na dolním konci. Dosazením známého průměru (10) a rozptylu (4) z X hodnot v této simulaci nebo ve výše uvedených výrazech je vidět, že přibližné (1600) a přesné (1632) odchylky se liší jen nepatrně (2%).

Maticový formát aproximace rozptylu

Elegantnějším způsobem psaní tzv. Varianční rovnice „šíření chyby“ je použití matice.^[12] Nejprve definujte vektor parciálních derivací, jak byl použit v Eq (8) výše:

${displaystyle {oldsymbol {gamma}} ^ {T} ekviv {egin {pmatrix} {parciální z nad parciální x_ {1}} & {parciální z nad parciální x_ {2}} & {parciální z nad parciální x_ {3}} & cdots & {částečné z přes částečné x_ {p}} konec {pmatrix}}}$

kde horní index T označuje transpozici matice; poté definujte kovarianční matici

${displaystyle mathbf {C} ,, equiv, {egin {pmatrix} {sigma _ {1} ^ {2}} & {sigma _ {12}} & {sigma _ {13}} & cdots & {sigma _ {1p} } {sigma _ {21}} & {sigma _ {2} ^ {2}} & {sigma _ {23}} & cdots & {sigma _ {2p}} {sigma _ {31}} & {sigma _ {32}} & {sigma _ {3} ^ {2}} & cdots & {sigma _ {3p}} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots {sigma _ {p1}} & {sigma _ {p2}} & {sigma _ {p3}} & cdots & {sigma _ {p} ^ {2}} konec {pmatrix}}}$

Šíření aproximace chyb lze potom stručně zapsat jako kvadratická forma

${displaystyle sigma _ {z} ^ {2} ,, cca ,, {oldsymbol {gamma}} ^ {T}, mathbf {C} ,, {oldsymbol {gamma}} {mathbf {,,,,,,,, ,,,,,, Eq (15)}}}$

Pokud korelace mezi str proměnné jsou všechny nulové, jak se často předpokládá, pak kovarianční matice C se stane úhlopříčkou s jednotlivými odchylkami podél hlavní úhlopříčky. Chcete-li znovu zdůraznit bod, částice ve vektoru y jsou všechny hodnoceny v určitém bodě, takže Eq (15) vrací jeden číselný výsledek.

Bude užitečné podrobně napsat výraz pro odchylku pomocí Eq (13) nebo (15) pro případ str = 2. To vede k

${displaystyle sigma _ {z} ^ {2} ,,, cca ,,, vlevo ({{částečné z} nad {částečné x_ {1}}} vpravo) vlevo ({{částečné z} nad {částečné x_ {1} }}ight)sigma _{11},,,+,,,left({{partial z} over {partial x_{2}}}ight)left({{partial z} over {partial x_{2}}} ight)sigma _{22},,,+,,,left({{partial z} over {partial x_{1}}}ight)left({{partial z} over {partial x_{2}}}ight) sigma _{12},,,+,,,,left({{partial z} over {partial x_{2}}}ight)left({{partial z} over {partial x_{1}}}ight)sigma _{21}}$

which, since the last two terms above are the same thing, is

${displaystyle sigma _{z}^{2},,,approx ,,,left({{partial z} over {partial x_{1}}}ight)^{2}sigma _{1}^{2},,,+,,,left({{partial z} over {partial x_{2}}}ight)^{2}sigma _{2}^{2},,,+,,,2left({{partial z} over {partial x_{1}}}ight)left({{partial z} over {partial x_{2}}}ight),,sigma _{12}}$

Linearized approximation: simple example for variance

Consider a relatively simple algebraic example, before returning to the more involved pendulum example. Nechat

${displaystyle z,,=,,x^{2},y,,,,,,,,,,,{{partial z} over {partial x}},,=,,2x,y,,,,,,,,,{{partial z} over {partial y}},,=,,x^{2}}$

aby

${displaystyle sigma _{z}^{2},,,approx ,,,left({2,x,y}ight)^{2}sigma _{x}^{2},,,+,,,left({x^{2}}ight)^{2}sigma _{y}^{2},,,+,,,2left({2,x,y}ight)left({x^{2}}ight)sigma _{x,y}}$

This expression could remain in this form, but it is common practice to divide through by z² since this will cause many of the factors to cancel, and will also produce in a more useful result:

${displaystyle {{sigma _{z}^{2},} over {z^{2}}},,approx ,,,{{left({2xy}ight)^{2}} over {left({x^{2}y}ight)^{2}}}sigma _{x}^{2},,,+,,,{{left({x^{2}}ight)^{2}} over {left({x^{2}y}ight)^{2}}}sigma _{y}^{2},,,+,,,{{2left({2xy}ight)left({x^{2}}ight)} over {left({x^{2}y}ight)^{2}}}sigma _{x,y}}$

což se snižuje na

${displaystyle {{sigma _{z}^{2}} over {z^{2}}},,approx ,,,left({{2sigma _{x}} over x}ight)^{2},,+,,,,left({{sigma _{y}} over y}ight)^{2},+,,,4left({{sigma _{x,y}} over {x,y}}ight)}$

Since the standard deviation of z is usually of interest, its estimate is

${displaystyle {hat {sigma }}_{z},,approx ,,{ ar {z}},,{sqrt {,,left({{2{hat {sigma }}_{x}} over { ar {x}}}ight)^{2},,+,,,,left({{{hat {sigma }}_{y}} over { ar {y}}}ight)^{2},+,,,4left({{{hat {sigma }}_{x,y}} over {{ ar {x}},{ ar {y}}}}ight)}}}$

where the use of the means (averages) of the variables is indicated by the overbars, and the carats indicate that the component (co)variances must also be estimated, unless there is some solid a priori knowledge of them. Generally this is not the case, so that the estimators

${displaystyle {hat {sigma }}_{i},,,=,,,{sqrt {{,,sum limits _{k=1}^{n}{left({x_{k}-{ ar {x}}_{i}}ight)^{2}}} over {n-1}}},,,,,,,,,,,,,,,,,,{hat {sigma }}_{i,j},,,=,,,{sqrt {{,,sum limits _{k=1}^{n}{left({x_{k}-{ ar {x}}_{i}}ight)left({x_{k}-{ ar {x}}_{j}}ight)}} over {n-1}}}}$

are frequently used,^[13] na základě n observations (measurements).

Linearized approximation: pendulum example, mean

For simplicity, consider only the measured time as a random variable, so that the derived quantity, the estimate of G, amounts to

${displaystyle {hat {g}}=,,{k over {T^{2}}}}$

kde k collects the factors in Eq(2) that for the moment are constants. Again applying the rules for probability calculus, a PDF can be derived for the estimates of G (this PDF was graphed in Figure 2). In this case, unlike the example used previously, the mean and variance could not be found analytically. Thus there is no choice but to use the linearized approximations. For the mean, using Eq(14), with the simplified equation for the estimate of G,

${displaystyle {{partial {hat {g}}} over {partial T}},,=,,,{{-2k} over {T^{3}}},,,,,,,,,,,{{partial ^{2}{hat {g}}} over {partial T^{2}}},,,=,,,-2,k{{-3} over {T^{4}}},,,=,,{{6,k} over {T^{4}}}}$

Then the expected value of the estimated G bude

${displaystyle {m {E}}[{hat {g}}],,,=,,,{k over {mu _{T}^{2}}},,,+,,,{1 over 2}left({{6,k} over {mu _{T}^{4}}}ight)sigma _{T}^{2}{mathbf {,,,,,,,,,,,,,,Eq(16)} }}$

where, if the pendulum period times T are unbiased, the first term is 9.80 m/s². This result says that the mean of the estimated G values is biased high. This will be checked with a simulation, below.

Linearized approximation: pendulum example, variance

Next, to find an estimate of the variance for the pendulum example, since the partial derivatives have already been found in Eq(10), all the variables will return to the problem. The partials go into the vector y. Following the usual practice, especially if there is no evidence to the contrary, it is assumed that the covariances are all zero, so that C je úhlopříčka.^[14] Pak

${displaystyle sigma _{hat {g}}^{2},,,approx ,,,,{ egin{pmatrix}{{partial {hat {g}}} over {partial L}}&{{partial {hat {g}}} over {partial T}}&{{partial {hat {g}}} over {partial heta }}end{pmatrix}}{ egin{pmatrix}{sigma _{L}^{2}}&0&0�&{sigma _{T}^{2}}&0�&0&{sigma _{ heta }^{2}}end{pmatrix}}{ egin{pmatrix}{{partial {hat {g}}} over {partial L}}{{partial {hat {g}}} over {partial T}}{{partial {hat {g}}} over {partial heta }}end{pmatrix}},=,left({{partial {hat {g}}} over {partial L}}ight)^{2}sigma _{L}^{2},,,+,,,left({{partial {hat {g}}} over {partial T}}ight)^{2}sigma _{T}^{2},,,+,,,left({{partial {hat {g}}} over {partial heta }}ight)^{2}sigma _{ heta }^{2}{mathbf {,,,,,,,,Eq(17)} }}$

The same result is obtained using Eq(13). It must be stressed that these "sigmas" are the variances that describe the random variation in the measurements of L, T, a θ; they are not to be confused with the biases used previously. The variances (or standard deviations) and the biases are not the same thing.

To illustrate this calculation, consider the simulation results from Figure 2. Here, only the time measurement was presumed to have random variation, and the standard deviation used for it was 0.03 seconds. Thus, using Eq(17),

${displaystyle sigma _{hat {g}}^{2},,,approx ,,,left({{partial {hat {g}}} over {partial T}}ight)^{2}sigma _{T}^{2},,,,=,,,left({{{-8L,pi ^{2}} over {T^{3}}}alpha ( heta )}ight)^{2}sigma _{T}^{2}}$

and, using the numerical values assigned before for this example,

${displaystyle sigma _{hat {g}}^{2},,,approx ,,,left({{{-8 imes 0.5 imes pi ^{2}} over {1.443^{3}}}1.0338}ight)^{2}0.03^{2},,=,,0.166}$

which compares favorably to the observed variance of 0.171, as calculated by the simulation program. (Estimated variances have a considerable amount of variability and these values would not be expected to agree exactly.) For the mean value, Eq(16) yields a bias of only about 0.01 m/s², which is not visible in Figure 2.

To make clearer what happens as the random error in a measurement variable increases, consider Figure 4, where the standard deviation of the time measurements is increased to 0.15 s, or about ten percent. The PDF for the estimated G values is also graphed, as it was in Figure 2; note that the PDF for the larger-time-variation case is skewed, and now the biased mean is clearly seen. The approximated (biased) mean and the mean observed directly from the data agree well. The dashed curve is a Normal PDF with mean and variance from the approximations; it does not represent the data particularly well.

Linearized approximation: pendulum example, relative error (precision)

Rather than the variance, often a more useful measure is the standard deviation σ, and when this is divided by the mean μ we have a quantity called the relativní chybanebo coefficient of variation. This is a measure of přesnost:

${displaystyle {m {RE}}_{hat {g}}equiv ,,,{{sigma _{hat {g}}} over {mu _{hat {g}}}},,,=,,,{{sqrt {0.166}} over {9.8}},,,=,,0.042}$

For the pendulum example, this gives a precision of slightly more than 4 percent. As with the bias, it is useful to relate the relative error in the derived quantity to the relative error in the measured quantities. Divide Eq(17) by the square of G:

${displaystyle {{sigma _{hat {g}}^{2},} over {{hat {g}}^{2}}},,,approx ,,,{1 over {{hat {g}}^{2}}},left({{partial {hat {g}}} over {partial L}}ight)^{2}sigma _{L}^{2},,,+,,,,{1 over {{hat {g}}^{2}}},left({{partial {hat {g}}} over {partial T}}ight)^{2}sigma _{T}^{2},,,+,,,,{1 over {{hat {g}}^{2}}},left({{partial {hat {g}}} over {partial heta }}ight)^{2}sigma _{ heta }^{2}}$

and use results obtained from the fractional change bias calculations to give (compare to Eq(12)):

${displaystyle {{sigma _{hat {g}}^{2},} over {{hat {g}}^{2}}},,,approx ,,,{{sigma _{L}^{2},} over {L^{2}}},,,+,,,,4{{sigma _{T}^{2}} over {T^{2}}},,,+,,,,left({ heta over 2}ight)^{4}{{sigma _{ heta }^{2}} over { heta ^{2}}}}$

Taking the square root then gives the RE:

${displaystyle RE_{hat {g}},,=,,{{sigma _{g},} over {hat {g}}},,,approx ,,,{sqrt {,,left({{sigma _{L}} over L}ight)^{2},,,+,,,,4left({{sigma _{T}} over T}ight)^{2},,+,,,,left({ heta over 2}ight)^{4}left({{sigma _{ heta }} over heta }ight)^{2},}}{mathbf {,,,,,,,,,,,,,Eq(18)} }}$

In the example case this gives

${displaystyle {m {RE}}_{hat {g}},,,approx ,,,2,,{{sigma _{T}} over T},,,=,,,2{{0.03} over {1.443}},,,=,,,0.042}$

which agrees with the RE obtained previously. This method, using the relative errors in the component (measured) quantities, is simpler, once the mathematics has been done to obtain a relation like Eq(17). Recall that the angles used in Eq(17) must be expressed in radians.

If, as is often the case, the standard deviation of the estimated G should be needed by itself, this is readily obtained by a simple rearrangement of Eq(18). This standard deviation is usually quoted along with the "point estimate" of the mean value: for the simulation this would be 9.81 ± 0.41 m/s². What is to be inferred from intervals quoted in this manner needs to be considered very carefully. Discussion of this important topic is beyond the scope of this article, but the issue is addressed in some detail in the book by Natrella.^[15]

Linearized approximation: pendulum example, simulation check

It is good practice to check uncertainty calculations using simulace. These calculations can be very complicated and mistakes are easily made. For example, to see if the relative error for just the angle measurement was correct, a simulation was created to sample the angles from a Normal PDF with mean 30 degrees and standard deviation 5 degrees; both are converted to radians in the simulation. The relative error in the angle is then about 17 percent. From Eq(18) the relative error in the estimated G is, holding the other measurements at negligible variation,

${displaystyle {m {RE}}_{hat {g}},,,approx ,,,left({ heta over 2}ight)^{2}{{sigma _{ heta }} over heta },,,=,,,left({{0.524} over 2}ight)^{2}{{0.0873} over {0.524}},,,approx ,,,0.0114}$

The simulation shows the observed relative error in G to be about 0.011, which demonstrates that the angle uncertainty calculations are correct. Thus, as was seen with the bias calculations, a relatively large random variation in the initial angle (17 percent) only causes about a one percent relative error in the estimate of G.

Figure 5 shows the histogram for these G odhady. Since the relative error in the angle was relatively large, the PDF of the G estimates is skewed (not Normal, not symmetric), and the mean is slightly biased. In this case the PDF is not known, but the mean can still be estimated, using Eq(14). The second partial for the angle portion of Eq(2), keeping the other variables as constants, collected in k, can be shown to be^[8]

${displaystyle {{partial ^{2}{hat {g}}} over {partial heta ^{2}}},,,=,,,{k over {32}}left[{9cos left({mu _{ heta }}ight),,,-,,,cos left({2mu _{ heta }}ight)}ight]}$

so that the expected value is

${displaystyle {m {E}}[{hat {g}}],,,approx ,,,,kalpha left({mu _{ heta }}ight),,,+,,,{1 over 2},,{k over {32}}left[{9cos left({mu _{ heta }}ight),,,-,,,cos left({2mu _{ heta }}ight)}ight]sigma _{ heta }^{2}}$

and the dotted vertical line, resulting from this equation, agrees with the observed mean.

Selection of data analysis method

Úvod

In the introduction it was mentioned that there are two ways to analyze a set of measurements of the period of oscillation T of the pendulum:

Metoda 1: average the n měření T, use that mean in Eq(2) to obtain the final G odhad;

Metoda 2: use all the n individual measurements of T in Eq(2), one at a time, to obtain n odhady G, average those to obtain the final G estimate.

It would be reasonable to think that these would amount to the same thing, and that there is no reason to prefer one method over the other. However, Method 2 results in a bias that is not removed by increasing the sample size. Method 1 is also biased, but that bias decreases with sample size. This bias, in both cases, is not particularly large, and it should not be confused with the bias that was discussed in the first section. What might be termed "Type I bias" results from a systematic error in the measurement process; "Type II bias" results from the transformation of a measurement random variable via a nonlinear model; here, Eq(2).

Type II bias is characterized by the terms after the first in Eq(14). As was calculated for the simulation in Figure 4, the bias in the estimated G for a reasonable variability in the measured times (0.03 s) is obtained from Eq(16) and was only about 0.01 m/s². Rearranging the bias portion (second term) of Eq(16), and using β for the bias,

${displaystyle eta ,,,approx ,,,{{3,k} over {mu _{T}^{2}}},left({{sigma _{T}} over {mu _{T}}}ight)^{2},,,approx ,,,30,,left({{sigma _{T}} over {mu _{T}}}ight)^{2}{mathbf {,,,,,,,,,,,Eq(19)} }}$

using the example pendulum parameters. From this it is seen that the bias varies as the square of the relative error in the period T; for a larger relative error, about ten percent, the bias is about 0.32 m/s², which is of more concern.

Velikost vzorku

What is missing here, and has been deliberately avoided in all the prior material, is the effect of the velikost vzorku on these calculations. The number of measurements n has not appeared in any equation so far. Implicitly, all the analysis has been for the Method 2 approach, taking one measurement (e.g., of T) at a time, and processing it through Eq(2) to obtain an estimate of G.

To use the various equations developed above, values are needed for the mean and variance of the several parameters that appear in those equations. In practical experiments, these values will be estimated from observed data, i.e., measurements. These measurements are averaged to produce the estimated mean values to use in the equations, e.g., for evaluation of the partial derivatives. Thus, the variance of interest is the variance of the mean, not of the population, and so, for example,

${displaystyle sigma _{hat {g}}^{2},,,approx ,,,left({{partial {hat {g}}} over {partial T}}ight)^{2}sigma _{T}^{2},,,,=,,,left({{{-8L,pi ^{2}} over {T^{3}}}alpha ( heta )}ight)^{2}sigma _{T}^{2},,,,,,,Rightarrow ,,,,,left({{{-8{ ar {L}},pi ^{2}} over {{ ar {T}}^{3}}}alpha ({ ar { heta }})}ight)^{2}{{sigma _{T}^{2}} over {n_{T}}}}$

which reflects the fact that, as the number of measurements of T increases, the variance of the mean value of T sníží se. There is some inherent variability in the T measurements, and that is assumed to remain constant, but the variability of the average T will decrease as n zvyšuje. Assuming no covariance amongst the parameters (measurements), the expansion of Eq(13) or (15) can be re-stated as

${displaystyle sigma _{z}^{2},,,approx ,,,sum limits _{i,,=,,1}^{p}{,left({{partial z} over {partial x_{i}}}ight)_{{ ar {x}}_{i}}^{2}},,{{sigma _{i}^{2}} over {n_{i}}}}$

where the subscript on n reflects the fact that different numbers of measurements might be done on the several variables (e.g., 3 for L, 10 for T, 5 pro θ, atd.)

This dependence of the overall variance on the number of measurements implies that a component of statistical experimental design would be to define these sample sizes to keep the overall relative error (precision) within some reasonable bounds. Having an estimate of the variability of the individual measurements, perhaps from a pilot study, then it should be possible to estimate what sample sizes (number of replicates for measuring, e.g., T in the pendulum example) would be required.

Returning to the Type II bias in the Method 2 approach, Eq(19) can now be re-stated more accurately as

${displaystyle eta ,,,approx ,,,{{3,k} over {mu _{T}^{2}}},left({{sigma _{T}} over {mu _{T}}}ight)^{2},,,approx ,,,30,,left({{s_{T}} over {n_{T},{ ar {T}}}}ight)^{2}}$

kde s is the estimated standard deviation of the n_T T Měření. In Method 2, each individual T measurement is used to estimate G, aby n_T = 1 for this approach. On the other hand, for Method 1, the T measurements are first averaged before using Eq(2), so that n_Tis greater than one. Tohle znamená tamto

${displaystyle eta _{,,1},,,approx ,,,,30,,left({{s_{T}} over {n_{T},{ ar {T}}}}ight)^{2},,,,,,,,,,,,,,,,, eta _{,,2},,,approx ,,30,,left({{s_{T}} over { ar {T}}}ight)^{2}}$

which says that the Type II bias of Method 2 does not decrease with sample size; it is constant. The variance of the estimate of G, on the other hand, is in both cases

${displaystyle sigma _{hat {g}}^{2},,,approx ,,,left({{{-8{ ar {L}},pi ^{2}} over {{ ar {T}}^{3}}}alpha ({ ar { heta }})}ight)^{2}{{sigma _{T}^{2}} over {n_{T}}}}$

because in both methods n_T measurements are used to form the average G estimate.^[16] Thus the variance decreases with sample size for both methods.

These effects are illustrated in Figures 6 and 7. In Figure 6 is a series PDFs of the Method 2 estimated G for a comparatively large relative error in the T measurements, with varying sample sizes. The relative error in T is larger than might be reasonable so that the effect of the bias can be more clearly seen. In the figure the dots show the mean; the bias is evident, and it does not change with n. The variance, or width of the PDF, does become smaller with increasing n, and the PDF also becomes more symmetric. In Figure 7 are the PDFs for Method 1, and it is seen that the means converge toward the correct g value of 9.8 m/s² as the number of measurements increases, and the variance also decreases.

From this it is concluded that Method 1 is the preferred approach to processing the pendulum or other data.

Diskuse

Systematic errors in the measurement of experimental quantities leads to zaujatost in the derived quantity, the magnitude of which is calculated using Eq(6) or Eq(7). However, there is also a more subtle form of bias that can occur even if the input, measured, quantities are unbiased; all terms after the first in Eq(14) represent this bias. It arises from the nonlinear transformations of random variables that often are applied in obtaining the derived quantity. The transformation bias is influenced by the relative size of the variance of the measured quantity compared to its mean. The larger this ratio is, the more skew the derived-quantity PDF may be, and the more bias there may be.

The Taylor-series approximations provide a very useful way to estimate both bias and variability for cases where the PDF of the derived quantity is unknown or intractable. The mean can be estimated using Eq(14) and the variance using Eq(13) or Eq(15). There are situations, however, in which this first-order Taylor series approximation approach is not appropriate – notably if any of the component variables can vanish. Pak second-order expansion would be useful; see Meyer^[17] for the relevant expressions.

The sample size is an important consideration in experimental design. To illustrate the effect of the sample size, Eq(18) can be re-written as

${displaystyle RE_{hat {g}},,=,,{{{hat {sigma }}_{g},} over {hat {g}}},,,approx ,,,{sqrt {,,left({{s_{L}} over {n_{L},{ ar {L}}}}ight)^{2},,,+,,,,4left({{s_{T}} over {n_{T},{ ar {T}}}}ight)^{2},,+,,,,left({{ ar { heta }} over 2}ight)^{4}left({{s_{ heta }} over {n_{ heta },{ ar { heta }}}}ight)^{2},}}}$

where the average values (bars) and estimated standard deviations s are shown, as are the respective sample sizes. In principle, by using very large n the RE of the estimated G could be driven down to an arbitrarily small value. However, there are often constraints or practical reasons for relatively small numbers of measurements.

Details concerning the difference between the variance and the mean-squared error (MSe) have been skipped. Essentially, the MSe estimates the variability about the true (but unknown) mean of a distribution. This variability is composed of (1) the variability about the actual, observed mean, and (2) a term that accounts for how far that observed mean is from the true mean. Tím pádem

${displaystyle {m {MSe}},,,=,,,sigma ^{2}+,,, eta ^{2}}$

kde β is the bias (distance). This is a statistical application of the parallel-axis theorem z mechanika.^[18]

In summary, the linearized approximation for the expected value (mean) and variance of a nonlinearly-transformed random variable is very useful, and much simpler to apply than the more complicated process of finding its PDF and then its first two moments. In many cases, the latter approach is not feasible at all. The mathematics of the linearized approximation is not trivial, and it can be avoided by using results that are collected for often-encountered functions of random variables.^[19]

Derivation of propagation of error equations

Outline of procedure

1. Given a function z of several random variables X, the mean and variance of z are sought.
2. The direct approach is to find the PDF of z and then find its mean and variance:

${displaystyle {m {E}}[z],,,=,,,int {z,,{m {PDF}}_{z}},,dz,,,,,,,,,,,,,{m {Var}}[z],,=,,int {left({z-{m {E}}[z]}ight)^{2},,{m {PDF}}_{z}},,dz}$

3. Finding the PDF is nontrivial, and may not even be possible in some cases, and is certainly not a practical method for ordinary data analysis purposes. Even if the PDF can be found, finding the moments (above) can be difficult.

4. The solution is to expand the function z v druhý-order Taylor series; the expansion is done around the mean values of the several variables X. (Usually the expansion is done to first order; the second-order terms are needed to find the bias in the mean. Those second-order terms are usually dropped when finding the variance; see below).

5. With the expansion in hand, find the expected value. This will give an approximation for the mean of z, and will include terms that represent any bias. In effect the expansion “isolates” the random variables X so that their expectations can be found.

6. Having the expression for the expected value of z, which will involve partial derivatives and the means and variances of the random variables X, set up the expression for the expectation of the variance:

${displaystyle {m {Var}}[z],,,equiv ,,{m {E}}left[{left({,z,,-,,{m {E}}[z],}ight)^{2}}ight]}$

that is, find ( z − E[z] ) and do the necessary algebra to collect terms and simplify.

7. For most purposes, it is sufficient to keep only the first-order terms; square that quantity.

8. Find the expected value of that result. This will be the approximation for the variance of z.

Multivariate Taylor series

This is the fundamental relation for the second-order expansion used in the approximations:^[20]

${displaystyle {egin {aligned} zleft ({x_ {1} ,,, x_ {2}, cdots ,,, x_ {p}} ight) ,,, cca ,,, zleft ({{ar {x}} _ {1} ,,, {ar {x}} _ {2} ,, cdots ,,, {ar {x}} _ {p}} ight) ,,,, + ,,,, součet limitů _ {i, =, 1} ^ {p} {left. {{Partial z} over {partial x_ {i}}} ight |} _ {{ar {x}} _ {i}} left ({x_ {i} - { ar {x}} _ {i}} ight) ,,,, ,,,,,,,,,,, + ,,,, {1 přes 2} limity součtu _ {i, =, 1} ^ {p} {limity součtu _ {j, =, 1} ^ {p} {vlevo. {{částečné ^ {2} z} přes {částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} hned |}} _ { {ar {x}} _ {i}, {ar {x}} _ {j}} vlevo ({x_ {i} - {ar {x}} _ {i}} vpravo) vlevo ({x_ {j} - {ar {x}} _ {j}} ight) end {aligned}}}$

Příklad rozšíření: str = 2

Aby se snížil nepořádek v notaci, nejsou zobrazeny symboly vyhodnocení u střední hodnoty:

${displaystyle {egin {aligned} & zleft ({x_ {1} ,, x_ {2}} ight) ,,,, cca ,,, zleft ({{ar {x}} _ {1} ,, {ar {x }} _ {2}} ight) ,,, + ,,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {1}}} vlevo ({x_ {1} - ,, {ar {x}} _ {1 }} ight) ,,, + ,,, {{částečné z} nad {částečné x_ {2}}} vlevo ({x_ {2} - ,, {ar {x}} _ {2}} vpravo) ,, , & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, + +,, {1 nad 2} {{částečné ^ {2} z} nad { částečné x_ {1} částečné x_ {2}}} vlevo ({x_ {1} - ,, {ar {x}} _ {1}} vpravo) vlevo ({x_ {2} - ,, {ar {x} } _ {2}} ight) ,,, + ,,, {1 nad 2} {{částečné ^ {2} z} nad {částečné x_ {2} částečné x_ {1}}} vlevo ({x_ {2} - ,, {ar {x}} _ {2}} ight) vlevo ({x_ {1} - ,, {ar {x}} _ {1}} ight) & ,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, + ,,, {1 nad 2} {{částečné ^ {2} z} nad {částečné x_ {1} částečné x_ {1}}} left ({x_ {1} - ,, {ar {x}} _ {1}} ight) left ({x_ {1} - ,, {ar {x}} _ {1}} ight) ,,, + ,,, {1 nad 2} {{částečné ^ {2} z} nad {částečné x_ {2} částečné x_ {2}}} vlevo ({x_ {2} - ,, {ar {x}} _ {2 }} ight) left ({x_ {2} - ,, {ar {x}} _ {2}} ight) end {aligned}}}$