Eisenstein ideální - Eisenstein ideal

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Eisenstein ideální je ideál v endomorfismus prsten z Jacobian odrůda a modulární křivka, skládající se zhruba z prvků Hecke algebra z Operátoři Hecke že zničit Eisensteinova řada. To bylo představeno Barry Mazur  (1977 ), při studiu racionálních bodů modulárních křivek. An Eisenstein prime je vrcholem podpory Eisensteinova ideálu (to nemá nic společného s prvočísly v Eisensteinových celých číslech).

Definice

Nechat N být racionálním vrcholem a definovat

J₀(N) = J

jako Jacobian rozmanitost modulární křivky

X₀(N) = X.

Existují endomorfismy T_l z J pro každé prvočíslo l nedělí se N. Ty pocházejí od operátora Hecke, považovaného nejprve za algebraická korespondence na X, a odtud jednat třídy dělitele, který dává akci na J. Je tam také Falešná involuce w (a Atkin-Lehnerova involuce -li N je složený). Eisensteinův ideál v (jednotném) podřetězci End (J) vygenerovaný jako prsten uživatelem T_l, je elementy generován jako ideál

T_l − l - 1

pro všechny l nedělí se N, a tím

w + 1.

Geometrická definice

Předpokládejme to T* je prsten generovaný operátory Hecke působícími na všech modulárních formách pro Γ₀(N) (nejen formy hrotu). Prsten T operátorů Hecke na hrotových formách je kvocient T*, takže Spec (T) lze zobrazit jako podsystém Spec (T*). Podobně Spec (T*) obsahuje řádek (nazývaný Eisensteinův řádek) izomorfní se Spec (Z) pocházející z akce operátorů Hecke na sérii Eisenstein. Eisensteinův ideál je ideál definující průsečík Eisensteinovy ​​linie se Spec (T) ve specifikaci (T*).

Příklad

• Eisensteinův ideál lze definovat také pro modulární formy s vyšší hmotností. Předpokládejme to T je plná Heckeova algebra generovaná operátory Hecke T_n působící na 2-dimenzionální prostor modulárních forem úrovně 1 a hmotnosti 12. Tento prostor je 2 dimenzionální, překlenut vlastními formami danými Eisensteinova řada E₁₂ a modulární diskriminátor Δ. Mapa s operátorem Hecke T_n na vlastní čísla (σ₁₁(n), τ (n)) dává homomorfismus z T do ringu Z×Z (kde τ je Funkce Ramanujan tau a σ₁₁(n) je součtem 11. mocností dělitelů n). Obrázek je sada párů (C,d) s C a d kongruentní mod 691 kvůli Ramanujanově shodě σ₁₁(n) ≡ τ (n) mod 691. Heckeova algebra Heckových operátorů působících na hrotovou formu Δ je právě izomorfní Z. Pokud to ztotožníme s Z pak je Eisensteinův ideál (691).

Reference

• Mazur, Barry (1977), "Modulární křivky a Eisensteinův ideál", Publikace Mathématiques de l'IHÉS (47): 33–186, ISSN  1618-1913, PAN  0488287
• Mazur, Barry; Serre, Jean-Pierre (1976), „Points rationnels des courbes modulaires X₀ (N) (d'après A. Ogg)“, Séminaire Bourbaki (1974/1975), Exp. Č. 469, Poznámky k přednášce v matematice., 514, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 238–255, PAN  0485882