Vážený aritmetický průměr - Weighted arithmetic mean

The vážený aritmetický průměr je podobný obyčejnému aritmetický průměr (nejběžnější typ průměrný ), s tím rozdílem, že namísto každého z datových bodů přispívajících rovnoměrně ke konečnému průměru přispívají některé datové body více než jiné. Pojem váženého průměru hraje roli v deskriptivní statistika a také se vyskytuje v obecnější formě v několika dalších oblastech matematiky.

Pokud jsou všechny váhy stejné, pak vážený průměr je stejný jako aritmetický průměr. Zatímco vážené prostředky se obecně chovají podobným způsobem jako aritmetické prostředky, mají několik neintuitivních vlastností, jak je zachyceno například v Simpsonův paradox.

Příklady

Základní příklad

Vzhledem k tomu, že dvě školní třídy, jedna s 20 studenty a jedna s 30 studenty, byly v každé třídě v testu známky:

Ranní hodina = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

Odpolední třída = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93 94, 95, 96, 97, 98, 99

Průměr pro dopolední třídu je 80 a průměr pro odpolední třídu je 90. Nevážený průměr ze dvou průměrů je 85. To však nezohledňuje rozdíl v počtu studentů v každé třídě (20 proti 30); hodnota 85 tedy neodráží průměrný stupeň studenta (nezávisle na třídě). Průměrnou známku studenta lze získat zprůměrováním všech známek bez ohledu na klasifikaci (sečtěte všechny známky a vydělte je celkovým počtem studentů):

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {4300} {50}} = 86.}$

Nebo toho lze dosáhnout vážením třídních prostředků podle počtu studentů v každé třídě. Větší třídě má větší váhu:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {(20 krát 80) + (30 krát 90)} {20 + 30}} = 86.}$

Vážený průměr tedy umožňuje najít průměrnou průměrnou známku studenta, aniž by znal skóre každého studenta. Jsou potřeba pouze prostředky ve třídě a počet studentů v každé třídě.

Příklad konvexní kombinace

Protože pouze relativní váhy jsou relevantní, jakýkoli vážený průměr lze vyjádřit pomocí koeficientů, které jsou součtem jedné. Taková lineární kombinace se nazývá a konvexní kombinace.

Pomocí předchozího příkladu bychom získali následující váhy:

${ displaystyle { frac {20} {20 + 30}} = 0,4}$

${ displaystyle { frac {30} {20 + 30}} = 0,6}$

Potom použijte závaží takto:

${ displaystyle { bar {x}} = (0,4 krát 80) + (0,6 krát 90) = 86.}$

Matematická definice

Formálně vážený průměr neprázdné konečné multiset dat ${ displaystyle {x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {n} },}$s odpovídajícími nezápornými hodnotami závaží ${ displaystyle {w_ {1}, w_ {2}, tečky, w_ {n} }}$ je

${ displaystyle { bar {x}} = { frac { sum limity _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum limity _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}},}$

který se rozšiřuje na:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} + w_ {2} + cdots + w_ {n}}}.}$

Proto datové prvky s vysokou hmotností přispívají k váženému průměru více než prvky s nízkou hmotností. Váhy nemohou být záporné. Některé mohou být nulové, ale ne všechny (protože dělení nulou není povoleno).

Vzorce jsou zjednodušeny, když jsou váhy normalizovány tak, že sečtou ${ displaystyle 1}$, tj.:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '} = 1}$.

U takto normalizovaných vah je vážený průměr pak:

${ displaystyle { bar {x}} = součet _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} 'x_ {i}}}$.

Všimněte si, že váhy lze vždy normalizovat provedením následující transformace na původní váhy:

${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} {w_ {j}}}}}$.

Použitím normalizované hmotnosti získáte stejné výsledky jako při použití původních závaží:

${ displaystyle { begin {aligned} { bar {x}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} w '_ {i} x_ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {w_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} x_ {i} = { frac { sum _ {i = 1} ^ { n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j}}} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}. end {zarovnáno}}}$

The obyčejný průměr ${ displaystyle { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$ je speciální případ váženého průměru, kde mají všechna data stejnou váhu.

The standardní chyba váženého průměru (odchylky vstupu jednotky), ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ lze zobrazit pomocí šíření nejistoty být:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = vlevo ({ sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}} vpravo) ^ {- 1}}$

Statistické vlastnosti

Vážený průměr vzorku, ${ displaystyle { bar {x}}}$, je sama o sobě náhodná proměnná. Jeho očekávaná hodnota a směrodatná odchylka souvisí s očekávanými hodnotami a směrodatnými odchylkami pozorování, jak je uvedeno níže. Pro zjednodušení předpokládáme normalizované váhy (váhy sčítané do jedné).

Pokud mají pozorování očekávané hodnoty

${ displaystyle E (x_ {i}) = { mu _ {i}},}$

pak vážený průměr vzorku má očekávání

${ displaystyle E ({ bar {x}}) = součet _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} ' mu _ {i}}.}$

Zejména pokud jsou prostředky stejné, ${ displaystyle mu _ {i} = mu}$, pak očekávání váženého průměru vzorku bude tato hodnota,

${ displaystyle E ({ bar {x}}) = mu.}$

Pro nekorelovaná pozorování s odchylkami ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$, rozptyl váženého průměru vzorku je^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} }}$

jehož druhá odmocnina ${ displaystyle sigma _ { bar {x}}}$ lze nazvat standardní chyba váženého průměru (obecný případ).^{[Citace je zapotřebí ]}

Pokud mají tedy všechna pozorování stejnou rozptyl, ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2}}$, vážený průměr vzorku bude mít rozptyl

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} },}$

kde ${ displaystyle 1 / n leq sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2}} leq 1}$. Rozptyl dosahuje své maximální hodnoty, ${ displaystyle sigma _ {0} ^ {2}}$, když jsou všechny váhy kromě jedné nulové. Jeho minimální hodnota se zjistí, když jsou všechny váhy stejné (tj. Nevážený průměr), v takovém případě máme ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = sigma _ {0} / { sqrt {n}}}$, tj. degeneruje do standardní chyba průměru, na druhou.

Všimněte si, že protože lze vždy transformovat nenormalizované váhy na normalizované váhy, lze všechny vzorce v této části upravit na nenormalizované váhy nahrazením všech ${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i}}}}}$.

Váhy odchylek

Pro vážený průměr ze seznamu dat, pro která každý prvek ${ displaystyle x_ {i}}$ potenciálně pochází z jiného rozdělení pravděpodobnosti se známým rozptyl ${ displaystyle sigma _ {i} ^ {2}}$, jedna možná volba pro váhy je dána převrácenou odchylkou:

${ displaystyle w_ {i} = { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Vážený průměr v tomto případě je:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} vlevo ({ dfrac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2} }} right)} { sum _ {i = 1} ^ {n} { dfrac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}}},}$

a standardní chyba váženého průměru (s váhami rozptylu) je:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} = { sqrt { frac {1} { součet _ {i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2}}}} ,}$

Všimněte si, že se to sníží na ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ {0} ^ {2} / n}$ když všichni ${ displaystyle sigma _ {i} = sigma _ {0}}$Jedná se o speciální případ obecného vzorce v předchozí části,

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = součet _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} sigma _ {i} ^ {2} } = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} { sigma _ {i} ^ {- 4} sigma _ {i} ^ {2}}} { left ( sum _ { i = 1} ^ {n} sigma _ {i} ^ {- 2} vpravo) ^ {2}}}.}$

Výše uvedené rovnice lze kombinovat a získat:

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {x_ {i}} { sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Význam této volby spočívá v tom, že tento vážený průměr je odhad maximální pravděpodobnosti střední hodnoty rozdělení pravděpodobnosti za předpokladu, že jsou nezávislé a normálně distribuováno se stejným průměrem.

Oprava nadměrného nebo nedostatečného rozptylu

Vážené prostředky se obvykle používají k nalezení váženého průměru historických dat, nikoli teoreticky generovaných dat. V tomto případě dojde k nějaké chybě v rozptylu každého datového bodu. Experimentální chyby lze obvykle podceňovat, protože experimentátor při výpočtu rozptylu každého datového bodu nebere v úvahu všechny zdroje chyb. V takovém případě musí být odchylka ve váženém průměru opravena, aby se zohlednila skutečnost, že ${ displaystyle chi ^ {2}}$ je příliš velký. Oprava, kterou je třeba provést, je

${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}} ^ {2} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} chi _ { nu} ^ {2}}$

kde ${ displaystyle chi _ { nu} ^ {2}}$ je snížený chi-kvadrát:

${ displaystyle chi _ { nu} ^ {2} = { frac {1} {(n-1)}} součet _ {i = 1} ^ {n} { frac {(x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}} { sigma _ {i} ^ {2}}};}$

Druhá odmocnina ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { bar {x}}}$ lze nazvat standardní chyba váženého průměru (váhy odchylek, opravená stupnice).

Když jsou všechny odchylky dat stejné, ${ displaystyle sigma _ {i} = sigma _ {0}}$, ruší se ve váženém průměrném rozptylu, ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2}}$, což se opět snižuje na standardní chyba průměru (na druhou), ${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = sigma ^ {2} / n}$, formulované z hlediska standardní směrodatná odchylka (na druhou),

${ displaystyle sigma ^ {2} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}} {n-1} }.}$

Ověření bootstrappingu

Ukázalo se to bootstrapping metody, které jsou přesným odhadem pro druhou mocninu standardní chyby průměru (obecný případ):^[1]

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = { frac {n} {(n-1) w_ {s} ^ {2}}} left [ sum (w_ {i} x_ {i} -w_ {s} { bar {x}}) ^ {2} -2 { bar {x}} sum (w_ {i} -w_ {s}) (w_ {i} x_ { i} -w_ {s} { bar {x}}) + { bar {x}} ^ {2} sum (w_ {i} -w_ {s}) ^ {2} right]}$

kde ${ displaystyle w_ {s} = součet w_ {i}}$. Další zjednodušení vede k

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = { frac {n} {(n-1) w_ {s} ^ {2}}} součet w_ {i} ^ {2} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}}$

Vážená odchylka vzorku

Když se vypočítá průměr, je obvykle důležité znát rozptyl a standardní odchylka o tom znamená. Když vážený průměr ${ displaystyle mu ^ {*}}$ Pokud je použito, rozptyl váženého vzorku se liší od rozptylu neváženého vzorku.

The předpojatý vážený rozptyl vzorku ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ je definován podobně jako normální předpojatý rozptyl vzorku ${ displaystyle { hat { sigma}} ^ {2}}$:

${ displaystyle { begin {aligned} { hat { sigma}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} left (x_ {i} - mu right) ^ {2}} {N}} { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2}} {V_ {1}}} end {aligned}}}$

kde ${ displaystyle V_ {1} = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}$, který je ${ displaystyle N}$ pro normalizované váhy. Pokud jsou váhy frekvenční váhy (a jsou to tedy náhodné proměnné), lze to ukázat ${ displaystyle { hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}}$ je maximální odhad pravděpodobnosti ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ pro iid Gaussova pozorování.

U malých vzorků je obvyklé používat nezaujatý odhad pro populační rozptyl. V normálních nevážených vzorcích N ve jmenovateli (odpovídající velikosti vzorku) se změní na N - 1 (viz Besselova korekce ). Ve váženém nastavení existují ve skutečnosti dva různé nezaujaté odhady, jeden pro případ frekvenční váhy a další pro případ váhy spolehlivosti.

Frekvenční váhy

Pokud jsou váhy frekvenční váhy^{[je nutná definice ]}, pak je objektivní odhad:

${ displaystyle { begin {aligned} s ^ {2} & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2}} {V_ {1} -1}} end {aligned}}}$

Tím se efektivně použije Besselova korekce pro frekvenční váhy.

Například pokud hodnoty ${ displaystyle {2,2,4,5,5,5 }}$ jsou čerpány ze stejné distribuce, pak můžeme tuto sadu považovat za nevážený vzorek, nebo ji můžeme považovat za vážený vzorek ${ displaystyle {2,4,5 }}$ s odpovídajícími váhami ${ displaystyle {2,1,3 }}$, a získáme stejný výsledek v obou směrech.

Pokud je frekvence závaží ${ displaystyle {w_ {i} }}$ jsou normalizovány na 1, pak se po Besselově korekci stane správný výraz

${ displaystyle { begin {aligned} s ^ {2} & = { frac {V_ {1}} {V_ {1} -1}} sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i } left (x_ {i} - mu ^ {*} right) ^ {2} end {zarovnáno}}}$

kde je celkový počet vzorků ${ displaystyle V_ {1}}$ (ne ${ displaystyle N}$). V každém případě jsou informace o celkovém počtu vzorků nezbytné k získání objektivní korekce, i když ${ displaystyle w_ {i}}$ má jiný význam než frekvenční váha.

Upozorňujeme, že odhad může být nestranný pouze v případě, že váhy nejsou standardizováno ani normalizováno, tyto procesy mění průměr a rozptyl dat, což vede k a ztráta základní sazby (počet obyvatel, což je požadavek na Besselovu opravu).

Váhy spolehlivosti

Pokud jsou váhy místo toho nenáhodné (váhy spolehlivosti^{[je nutná definice ]}), můžeme určit korekční faktor, abychom získali nestranný odhad. Za předpokladu, že každá náhodná proměnná je vzorkována ze stejného rozdělení s průměrem ${ displaystyle mu}$ a skutečná odchylka ${ displaystyle sigma _ { text {actual}} ^ {2}}$vezmeme očekávání, která máme,

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} [{ hat { sigma}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} operatorname {E} [(x_ {i} - mu) ^ {2}]} {N}} & = operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] - { frac {1} {N}} operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] & = left ({ frac {N-1} { N}} right) sigma _ { text {actual}} ^ {2} operatorname {E} [{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}] & = { frac { sum limits _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} operatorname {E} [(x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}]}} {V_ {1}}} & = operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2 }}} operatorname {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2}] & = left (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} right) sigma _ { text {actual}} ^ {2} end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle V_ {2} = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}}$. Proto je zkreslení v našem odhadci ${ displaystyle left (1 - { frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} right)}$, analogicky k ${ displaystyle left ({ frac {N-1} {N}} right)}$ zkreslení v neváženém odhadci (všimněte si také toho ${ displaystyle V_ {1} ^ {2} / V_ {2} = N_ {eff}}$ je efektivní velikost vzorku ). To znamená, že abychom mohli zkreslit náš odhad, musíme ho předem rozdělit ${ displaystyle 1- left (V_ {2} / V_ {1} ^ {2} right)}$, zajišťující, že očekávaná hodnota odhadované odchylky se rovná skutečné odchylce distribuce vzorkování.

Konečný nezaujatý odhad rozptylu vzorku je:

${ displaystyle { begin {aligned} s _ { mathrm {w}} ^ {2} & = { frac {{ hat { sigma}} _ { mathrm {w}} ^ {2}} { 1- (V_ {2} / V_ {1} ^ {2})}} & = { frac { sum limity _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} (x_ {i} - mu ^ {*}) ^ {2}} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}} end {zarovnáno}}}$,^[2]

kde ${ displaystyle operatorname {E} [s _ { mathrm {w}} ^ {2}] = sigma _ { text {aktuální}} ^ {2}}$.

Stupně volnosti váženého, ​​nezaujatého rozptylu vzorků se podle toho liší N - 1 až 0.

Směrodatná odchylka je jednoduše druhá odmocnina rozptylu výše.

Jako vedlejší poznámku byly popsány další přístupy k výpočtu váženého rozptylu vzorků.^[3]

Vážená kovariance vzorku

Ve váženém vzorku každý řádek vektor ${ displaystyle textstyle { textbf {x}} _ {i}}$ (každá sada jednotlivých pozorování na každém z K. náhodných proměnných) je přiřazena váha ${ displaystyle textstyle w_ {i} geq 0}$.

Pak Vážený průměr vektor ${ displaystyle textstyle mathbf { mu ^ {*}}}$ je dána

${ displaystyle mathbf { mu ^ {*}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}.}$

A vážená kovarianční matice je dána vztahem:^[4]

${ displaystyle { begin {zarovnaný} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1}}}. end {aligned}}}$

Podobně jako u váženého rozptylu vzorku existují dva různé nezaujaté odhady v závislosti na typu vah.

Frekvenční váhy

Pokud jsou váhy frekvenční váhy, objektivní vážený odhad kovarianční matice ${ displaystyle textstyle mathbf {C}}$, s Besselovou korekcí, je dán vztahem:^[4]

${ displaystyle { begin {zarovnaný} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1} -1}}. end {zarovnáno} }}$

Všimněte si, že tento odhad může být nestranný pouze v případě, že váhy nejsou standardizováno ani normalizováno, tyto procesy mění průměr a rozptyl dat, což vede k a ztráta základní sazby (počet obyvatel, což je požadavek na Besselovu opravu).

Váhy spolehlivosti

V případě váhy spolehlivosti, váhy jsou normalizováno:

${ displaystyle V_ {1} = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 1.}$

(Pokud tomu tak není, vydělte váhy výpočtem jejich součtem, aby se normalizovaly ${ displaystyle V_ {1}}$:

${ displaystyle w_ {i} '= { frac {w_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}}}$

Pak Vážený průměr vektor ${ displaystyle textstyle mathbf { mu ^ {*}}}$ lze zjednodušit na

${ displaystyle mathbf { mu ^ {*}} = součet _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} mathbf {x} _ {i}.}$

a objektivní vážený odhad kovarianční matice ${ displaystyle textstyle mathbf {C}}$ je:^[5]

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {C} & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} { left ( sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} right) ^ {2} - sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right ) & = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right) ^ {T } left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {V_ {1} - (V_ {2} / V_ {1})}}. end {aligned}} }$

Zdůvodnění je stejné jako v předchozí části.

Protože předpokládáme, že váhy jsou normalizovány, pak ${ displaystyle V_ {1} = 1}$ a to se redukuje na:

${ displaystyle mathbf {C} = { frac { sum _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} vlevo ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} vpravo ) ^ {T} left ( mathbf {x} _ {i} - mu ^ {*} right)} {1-V_ {2}}}.}$

Pokud jsou všechny váhy stejné, tj. ${ displaystyle textstyle w_ {i} / V_ {1} = 1 / N}$, pak se vážený průměr a kovariance sníží na nevážený průměr vzorku a kovarianci výše.

Odhady s vektorovou hodnotou

Výše uvedené se zobecňuje snadno v případě, že se použije průměr odhadů s vektorovou hodnotou. Například odhady polohy v rovině mohou mít menší jistotu v jednom směru než v jiném. Stejně jako ve skalárním případě může vážený průměr z více odhadů poskytnout a maximální pravděpodobnost odhad. Jednoduše nahradíme rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ podle kovarianční matice ${ displaystyle mathbf {C}}$ a aritmetická inverze podle inverzní matice (oba označeny stejným způsobem, pomocí horních indexů); hmotnostní matice pak zní:^[6]

${ displaystyle mathbf {W} _ {i} = mathbf {C} _ {i} ^ {- 1}.}$

Vážený průměr v tomto případě je:

${ displaystyle { bar { mathbf {x}}} = mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} vlevo ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf { W} _ {i} mathbf {x} _ {i} vpravo),}$

(kde je pořadí maticový vektorový produkt není komutativní ), pokud jde o kovarianci váženého průměru:

${ displaystyle mathbf {C} _ { bar { mathbf {x}}} = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {W} _ {i} right) ^ { -1},}$

Zvažte například vážený průměr bodu [1 0] s vysokou odchylkou v druhé složce a [0 1] s vysokou odchylkou v první složce. Pak

${ displaystyle mathbf {x} _ {1}: = { begin {bmatrix} 1 & 0 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {1}: = { begin { bmatrix} 1 a 0 0 a 100 end {bmatrix}}}$

${ displaystyle mathbf {x} _ {2}: = { begin {bmatrix} 0 & 1 end {bmatrix}} ^ { top}, qquad mathbf {C} _ {2}: = { begin { bmatrix} 100 a 0 0 a 1 konec {bmatrix}}}$

vážený průměr je:

${ displaystyle { begin {aligned} { bar { mathbf {x}}} & = left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} + mathbf {C} _ {2} ^ {-1} right) ^ {- 1} left ( mathbf {C} _ {1} ^ {- 1} mathbf {x} _ {1} + mathbf {C} _ {2} ^ { -1} mathbf {x} _ {2} right) [5pt] & = { begin {bmatrix} 0,9901 & 0 0 & 0,9901 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 0,9901 0,9901 end {bmatrix}} end {zarovnáno}}}$

což dává smysl: [1 0] odhad je „kompatibilní“ v druhé složce a [0 1] odhad je kompatibilní s první složkou, takže vážený průměr je téměř [1 1].

Účtování korelací

Obecně předpokládejme, že ${ displaystyle mathbf {X} = [x_ {1}, dots, x_ {n}] ^ {T}}$, ${ displaystyle mathbf {C}}$ je kovarianční matice týkající se množství ${ displaystyle x_ {i}}$, ${ displaystyle { bar {x}}}$ je běžný průměr, který se má odhadnout, a ${ displaystyle mathbf {J}}$ je návrhová matice rovná se a vektor jedniček ${ displaystyle [1, ..., 1] ^ {T}}$ (délky ${ displaystyle n}$). The Gauss – Markovova věta uvádí, že odhad průměru s minimální odchylkou je dán vztahem:

${ displaystyle sigma _ { bar {x}} ^ {2} = ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {J}) ^ {- 1},}$

a

${ displaystyle { bar {x}} = sigma _ { bar {x}} ^ {2} ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {W} mathbf {X}),}$

kde:

${ displaystyle mathbf {W} = mathbf {C} ^ {- 1}.}$

Klesající síla interakcí

Zvažte časovou řadu nezávislé proměnné ${ displaystyle x}$ a závislá proměnná ${ displaystyle y}$, s ${ displaystyle n}$ pozorování odebrána v diskrétních časech ${ displaystyle t_ {i}}$. V mnoha běžných situacích je hodnota ${ displaystyle y}$ v čase ${ displaystyle t_ {i}}$ záleží nejen na ${ displaystyle x_ {i}}$ ale také na jeho minulé hodnoty. Síla této závislosti obvykle klesá s rostoucím odstupem pozorování v čase. Pro modelování této situace je možné nahradit nezávislou proměnnou jejím posuvným průměrem ${ displaystyle z}$ pro velikost okna ${ displaystyle m}$.

${ displaystyle z_ {k} = součet _ {i = 1} ^ {m} w_ {i} x_ {k + 1-i}.}$

Exponenciálně klesající váhy

Ve scénáři popsaném v předchozí části se pokles síly interakce nejčastěji řídí negativním exponenciálním zákonem. Pokud jsou pozorování vzorkována ve stejných vzdálenostech, pak exponenciální pokles odpovídá snížení o konstantní zlomek ${ displaystyle 0 < Delta <1}$ v každém časovém kroku. Nastavení ${ displaystyle w = 1- Delta}$ můžeme definovat ${ displaystyle m}$ normalizované váhy o

${ displaystyle w_ {i} = { frac {w ^ {i-1}} {V_ {1}}},}$

kde ${ displaystyle V_ {1}}$ je součet nenormalizovaných vah. V tomto případě ${ displaystyle V_ {1}}$ je prostě

${ displaystyle V_ {1} = součet _ {i = 1} ^ {m} {w ^ {i-1}} = { frac {1-w ^ {m}} {1-w}},}$

blížící se ${ displaystyle V_ {1} = 1 / (1-t)}$ pro velké hodnoty ${ displaystyle m}$.

Konstanta tlumení ${ displaystyle w}$ musí odpovídat skutečnému snížení síly interakce. Pokud to nelze určit z teoretických úvah, pak jsou při vhodném výběru užitečné následující vlastnosti exponenciálně klesajících vah: v kroku ${ displaystyle (1-w) ^ {- 1}}$, váha přibližně rovná ${ displaystyle {e ^ {- 1}} (1-w) = 0,39 (1-w)}$, ocasní plocha hodnota ${ displaystyle e ^ {- 1}}$, oblast hlavy ${ displaystyle {1-e ^ {- 1}} = 0,61}$. Ocasní plocha v kroku ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle leq {e ^ {- n (1-w)}}}$. Kde primárně nejblíže ${ displaystyle n}$ záleží na pozorováních a účinek zbývajících pozorování lze bezpečně ignorovat, poté zvolte ${ displaystyle w}$ tak, aby ocasní plocha byla dostatečně malá.

Vážené průměry funkcí

Koncept váženého průměru lze rozšířit na funkce.^[7] Vážené průměry funkcí hrají důležitou roli v systémech váženého diferenciálu a integrálního počtu.^[8]

Viz také

Reference

Další čtení

• Bevington, Philip R (1969). Redukce dat a analýza chyb pro fyzikální vědy. New York, NY: McGraw-Hill. OCLC  300283069.
• Strutz, T. (2010). Přizpůsobení dat a nejistota (praktický úvod do vážených nejmenších čtverců a dále). Vieweg + Teubner. ISBN  978-3-8348-1022-9.

externí odkazy

• David Terr. "Vážený průměr". MathWorld.