Einsteinův vztah (kinetická teorie) - Einstein relation (kinetic theory)

v fyzika (konkrétně kinetická teorie plynů ) Einsteinův vztah (také známý jako Wright-Sullivanův vztah^[1]) je dříve neočekávané spojení odhalené nezávisle William Sutherland v roce 1904,^[2][3][4] Albert Einstein v roce 1905,^[5] a tím Marian Smoluchowski v roce 1906^[6] ve svých pracích na Brownův pohyb. Obecnější forma rovnice je^[7]

${ displaystyle D = mu , k _ { text {B}} T,}$

kde

D je koeficient difúze;

μ je „mobilita“ nebo poměr terminálu částice rychlost driftu na aplikovaný platnost, μ = proti_d/F;

k_B je Boltzmannova konstanta;

T je absolutní teplota.

Tato rovnice je časným příkladem a fluktuačně-disipační vztah.^[8]

Dvě často používané důležité speciální formy relace jsou:

${ displaystyle D = { frac { mu _ {q} , k _ { text {B}} T} {q}}}$ (rovnice elektrické mobility, pro šíření účtováno částice^[9])

${ displaystyle D = { frac {k _ { text {B}} T} {6 pi , eta , r}}}$ (Stokes – Einsteinova rovnice, pro difúzi sférických částic kapalinou s nízkou Reynoldsovo číslo )

Tady

q je elektrická nabíječka částice;

μ_q je elektrická mobilita nabité částice;

η je dynamika viskozita;

r je poloměr sférické částice.

Speciální případy

Rovnice elektrické mobility

Pro částice s elektrická nabíječka q, své elektrická mobilita μ_q souvisí s jeho obecnou mobilitou μ podle rovnice μ = μ_q/q. Parametr μ_q je poměr terminálu částice rychlost driftu na aplikovaný elektrické pole. Proto je rovnice v případě nabité částice uvedena jako

${ displaystyle D = { frac { mu _ {q} , k _ { text {B}} T} {q}},}$

kde

• ${ displaystyle D}$ je difúzní koeficient (${ displaystyle mathrm {m ^ {2} s ^ {- 1}}}$).
• ${ displaystyle mu _ {q}}$ je elektrická mobilita (${ displaystyle mathrm {m ^ {2} V ^ {- 1} s ^ {- 1}}}$).
• ${ displaystyle q}$ je elektrický náboj částice (C, coulomby)
• ${ displaystyle T}$ je teplota elektronů nebo teplota iontů v plazmě (K).^[10]

Pokud je teplota uvedena v Volt, což je častější u plazmy:

${ displaystyle D = { frac { mu _ {q} , T} {Z}},}$

kde

• ${ displaystyle Z}$ je Číslo poplatku částice (bez jednotky)
• ${ displaystyle T}$ je teplota elektronů nebo teplota iontů v plazmě (V).

Stokes – Einsteinova rovnice

Na hranici nízké Reynoldsovo číslo mobilita μ je inverzní hodnota koeficientu odporu ${ displaystyle zeta}$. Tlumící konstanta ${ displaystyle gamma = zeta / m}$ se často používá pro čas relaxace inverzní hybnosti (čas potřebný k tomu, aby se setrvačná hybnost stala zanedbatelnou ve srovnání s náhodným momentem) difuzního objektu. Pro sférické částice o poloměru r, Stokesův zákon dává

${ displaystyle zeta = 6 pi , eta , r,}$

kde ${ displaystyle eta}$ je viskozita média. Vztah Einstein – Smoluchowski tedy vede k vztahu Stokes – Einstein

${ displaystyle D = { frac {k _ { text {B}} T} {6 pi , eta , r}}.}$

Toto se používá již mnoho let k odhadu koeficientu vlastní difúze v kapalinách a verze odpovídající teorii izomorfů byla potvrzena počítačovými simulacemi Lennard-Jones Systém.^[11]

V případě rotační difúze, tření je ${ displaystyle zeta _ { text {r}} = 8 pi eta r ^ {3}}$a rotační difúzní konstanta ${ displaystyle D _ { text {r}}}$ je

${ displaystyle D _ { text {r}} = { frac {k _ { text {B}} T} {8 pi , eta , r ^ {3}}}.}$

Polovodič

V polovodič libovolně hustota stavů, tj. vztah formy ${ displaystyle p = p ( varphi)}$ mezi hustotou otvorů nebo elektronů ${ displaystyle p}$ a odpovídající kvazi Fermiho úroveň (nebo elektrochemický potenciál ) ${ displaystyle varphi}$, Einsteinův vztah je^[12][13]

${ displaystyle D = { frac { mu _ {q} p} {q { frac {dp} {d varphi}}}},}$

kde ${ displaystyle mu _ {q}}$ je elektrická mobilita (vidět níže pro důkaz tohoto vztahu). Příklad předpokládající a parabolická disperze vztah hustoty států a Statistiky Maxwell – Boltzmann, který se často používá k popisu anorganické polovodič materiály, lze vypočítat (viz hustota stavů ):

${ displaystyle p ( varphi) = N_ {0} e ^ { frac {q varphi} {k _ { text {B}} T}},}$

kde ${ displaystyle N_ {0}}$ je celková hustota dostupných energetických stavů, což dává zjednodušený vztah:

${ displaystyle D = mu _ {q} { frac {k _ { text {B}} T} {q}}.}$

Nernst – Einsteinova rovnice

Nahrazením difuzivit ve výrazech elektrických iontových mobilit kationtů a aniontů z výrazů ekvivalentní vodivost elektrolytu je odvozena Nernst – Einsteinova rovnice:

${ displaystyle Lambda _ {e} = { frac {z_ {i} ^ {2} F ^ {2}} {RT}} (D _ {+} + D _ {-}).}$

Důkaz obecného případu

Důkaz Einsteinova vztahu lze nalézt v mnoha referencích, například viz Kubo.^[14]

Předpokládejme nějaké pevné, externí potenciální energie ${ displaystyle U}$ generuje a konzervativní síla ${ displaystyle F ( mathbf {x}) = - nabla U ( mathbf {x})}$ (například elektrická síla) na částici umístěnou v dané poloze ${ displaystyle mathbf {x}}$. Předpokládáme, že by částice reagovala pohybem rychlostí ${ displaystyle v ( mathbf {x}) = mu ( mathbf {x}) F ( mathbf {x})}$. Nyní předpokládejme, že existuje velké množství takových částic s lokální koncentrací ${ displaystyle rho ( mathbf {x})}$ jako funkce polohy. Po nějaké době nastane rovnováha: částice se hromadí kolem oblastí s nejnižší potenciální energií ${ displaystyle U}$, ale přesto bude do určité míry rozložen kvůli difúze. V rovnováze neexistuje žádný čistý tok částic: tendence částic se táhnout směrem dolů ${ displaystyle U}$, nazvaný driftový proud, dokonale vyvažuje tendenci částic k šíření v důsledku difúze, tzv difúzní proud (vidět rovnice drift-difúze ).

Čistý tok částic v důsledku driftového proudu je

${ displaystyle mathbf {J} _ { mathrm {drift}} ( mathbf {x}) = mu ( mathbf {x}) F ( mathbf {x}) rho ( mathbf {x}) = - rho ( mathbf {x}) mu ( mathbf {x}) nabla U ( mathbf {x}),}$

tj. počet částic proudících kolem dané polohy se rovná koncentraci částic krát průměrné rychlosti.

Tok částic v důsledku difúzního proudu je o Fickův zákon,

${ displaystyle mathbf {J} _ { mathrm {difúze}} ( mathbf {x}) = - D ( mathbf {x}) nabla rho ( mathbf {x}),}$

kde znaménko mínus znamená, že částice proudí z vyšší na nižší koncentraci.

Nyní zvažte rovnovážný stav. Nejprve neexistuje žádný čistý tok, tj. ${ displaystyle mathbf {J} _ { mathrm {drift}} + mathbf {J} _ { mathrm {difúze}} = 0}$. Zadruhé, pro neinteragující bodové částice rovnovážná hustota ${ displaystyle rho}$ je pouze funkcí místní potenciální energie ${ displaystyle U}$, tj. pokud mají dvě místa stejná ${ displaystyle U}$ pak budou mít také to samé ${ displaystyle rho}$ (např. viz Statistiky Maxwella-Boltzmanna jak je popsáno níže.) To znamená použití řetězové pravidlo,

${ displaystyle nabla rho = { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} U}} nabla U.}$

Proto v rovnováze:

${ displaystyle 0 = mathbf {J} _ { mathrm {drift}} + mathbf {J} _ { mathrm {difúze}} = - mu rho nabla UD nabla rho = left (- mu rho -D { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} U}} vpravo) nabla U.}$

Protože tento výraz platí na každé pozici ${ displaystyle mathbf {x}}$, znamená to obecnou formu Einsteinova vztahu:

${ displaystyle D = - mu { frac { rho} { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} U}}}.}$

Vztah mezi ${ displaystyle rho}$ a ${ displaystyle U}$ pro klasické částice lze modelovat prostřednictvím Statistiky Maxwella-Boltzmanna

${ displaystyle rho ( mathbf {x}) = Ae ^ {- { frac {U ( mathbf {x})} {k _ { rm {B}} T}}},}$

kde ${ displaystyle A}$ je konstanta vztahující se k celkovému počtu částic. Proto

${ displaystyle { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} U}} = - { frac {1} {k _ { rm {B}} T}} rho.}$

Za tohoto předpokladu, zapojení této rovnice do obecného Einsteinova vztahu dává:

${ displaystyle D = - mu { frac { rho} { frac { mathrm {d} rho} { mathrm {d} U}}} = mu k _ { rm {B}} T, }$

což odpovídá klasickému Einsteinovu vztahu.

Viz také

• Smoluchowského faktor
• Vodivost (elektrolytická)
• Stokesův poloměr
• Iontové přepravní číslo

Reference

externí odkazy

• Einsteinovy ​​relační kalkulačky
• iontová difuzivita