Teleparallelism - Teleparallelism

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Teleparallelism (také zvaný teleparalelní gravitace), byl pokus o Albert Einstein^[1] založit jednotnou teorii elektromagnetismus a gravitace o matematické struktuře vzdáleného paralelismu, označovaný také jako absolutní nebo teleparallelismus. V této teorii, a vesmírný čas je charakterizován bez zakřivení lineární připojení ve spojení s a metrický tenzor pole, oba definované z hlediska dynamického tetrad pole.

Teleparalelní časoprostory

Rozhodující novou myšlenkou pro Einsteina bylo zavedení a tetrad pole, tj. množina {X₁, X₂, X₃, X₄} ze čtyř vektorová pole definováno dne Všechno z M tak, že pro každého str ∈ M sada {X₁(str), X₂(str), X₃(str), X₄(str)} je základ z T_strM, kde T_strM označuje vlákno znovu str z tečný vektorový svazek TM. Proto je čtyřrozměrný vesmírný čas potrubí M musí být paralelizovatelné potrubí. Pole tetrad bylo zavedeno, aby umožnilo vzdálené srovnání směru vektorů tečen v různých bodech potrubí, odtud název vzdálený paralelismus. Jeho pokus selhal, protože v jeho rovnici zjednodušeného pole nebylo žádné Schwarzschildovo řešení.

Ve skutečnosti lze definovat připojení paralelizace (nazývané také Weitzenböck spojení) {X_i} být lineární připojení ∇ na M takhle ^[2]

${ displaystyle nabla _ {v} left (f ^ {i} mathrm {X} _ {i} right) = left (vf ^ {i} right) mathrm {X} _ {i} (p),}$

kde proti ∈ T_strM a Fⁱ jsou (globální) funkce M; tím pádem FⁱX_i je globální vektorové pole na M. Jinými slovy, koeficienty Weitzenböck připojení ∇ s ohledem na {X_i} jsou všechny identicky nulové, implicitně definované:

${ displaystyle nabla _ { mathrm {X} _ {i}} mathrm {X} _ {j} = 0,}$

proto

${ displaystyle {W ^ {k}} _ {ij} = omega ^ {k} vlevo ( nabla _ { mathrm {X} _ {i}} mathrm {X} _ {j} vpravo) equiv 0,}$

pro koeficienty připojení (také nazývané Weitzenböckovy koeficienty) na tomto globálním základě. Tady ω^k je dvojí globální základ (nebo coframe) definovaný ωⁱ(X_j) = δⁱ
_j.

To se obvykle děje Rⁿ, v každém afinní prostor nebo Lež skupina (například „zakřivená“ koule S³ ale ‚Weitzenböck plochý 'potrubí).

Pomocí transformačního zákona spojení, nebo ekvivalentně ∇ vlastnosti, máme následující výsledek.

Tvrzení. Přirozeně, spojené s místními souřadnicemi (U, X^μ), tj. v holonomickém rámci ∂_μ, (místní) koeficienty připojení Weitzenböckova připojení jsou dány vztahem:

${ displaystyle { Gamma ^ { beta}} _ { mu nu} = h_ {i} ^ { beta} částečný _ { nu} h _ { mu} ^ {i},}$

kde X_i = h^μ
_i∂_μ pro i, μ = 1, 2,… n jsou lokální výrazy globálního objektu, tj. dané tetrad.

The Weitzenböck připojení zmizel zakřivení, ale - obecně - nezmizí kroucení.

Vzhledem k poli rámce {X_i}, lze také definovat metriku koncipováním pole rámce jako ortonormálního vektorového pole. Jeden by pak získal a pseudo-Riemannian metrický tenzor pole G z podpis (3,1) od

${ displaystyle g left ( mathrm {X} _ {i}, mathrm {X} _ {j} right) = eta _ {ij},}$

kde

${ displaystyle eta _ {ij} = operatorname {diag} (-1, -1, -1,1).}$

Odpovídající podkladový časoprostor se v tomto případě nazývá a Weitzenböck vesmírný čas.^[3]

Stojí za zmínku, že tato „paralelní vektorová pole“ vedou k metrickému tenzoru jako vedlejšímu produktu.

Nová teleparalelní gravitační teorie

Nová teleparalelní gravitační teorie (nebo nová obecná relativita) je teorie gravitace na Weitzenböckově časoprostoru a gravitaci připisuje torznímu tenzoru vytvořenému z paralelních vektorových polí.

V nové teleparalelní gravitační teorii jsou základní předpoklady následující:

V roce 1961 Christian Møller^[4] oživil Einsteinův nápad a Pellegrini a Plebanski^[5] našel Lagrangeovu formulaci pro absolutní paralelismus.

Møllerova tetradová teorie gravitace

V roce 1961 Møller^[4][6] ukázal, že a tetrad popis gravitačních polí umožňuje racionálnější zacházení s komplex energie-hybnost než v teorii založené na metrický tenzor sama. Výhoda použití tetrad jako gravitačních proměnných byla spojena se skutečností, že to umožnilo konstruovat výrazy pro komplex energie-hybnost, který měl uspokojivější transformační vlastnosti než v čistě metrické formulaci. Nedávno se ukázalo, že celková energie hmoty a gravitace je úměrná Ricci skalární tříprostoru až do lineárního řádu poruch.^[7]

Nová překladová teleparalelní teorie gravitace

Nezávisle v roce 1967 Hayashi a Nakano^[8] oživil Einsteinův nápad a Pellegrini a Plebanski^[5] začal formulovat teorii měřidla časoprostorové překladové skupiny. Hayashi poukázal na souvislost mezi teorií měřidla časoprostorové translační skupiny a absolutním paralelismem. První svazek vláken formulace byla poskytnuta Cho.^[9] Tento model byl později studován Schweizerem a kol.,^[10] Nitsch a Hehl, Meyer a další pokroky lze najít v Aldrovandi a Pereira, Gronwald, Itin, Maluf a da Rocha Neto, Münch, Obukhov a Pereira a Schucking a Surowitz.

V dnešní době lidé studují teleparallelismus čistě jako gravitační teorii^[11] aniž bychom se ho snažili sjednotit s elektromagnetismem. V této teorii je gravitační pole Ukázalo se, že je plně zastoupen překladem měřicí potenciál B^A_μ, jak by mělo být pro teorie měřidel pro překladovou skupinu.

Pokud je tato volba provedena, pak již žádná neexistuje Lorentz symetrie měřidla protože vnitřní Minkowského prostor vlákno —Na každý bod časoprostoru potrubí —Představuje a svazek vláken s Abelianem R⁴ tak jako strukturní skupina. Může však být zavedena symetrie translačního měřidla takto: Místo vidění tetrady jako základní zavedeme základní R⁴ místo toho symetrie translačního měřidla (která působí na vnitřní vlákna Minkowského prostoru afinně takže toto vlákno je opět lokální) pomocí a spojení B a „souřadnicové pole“ X převzetí hodnot ve vesmírném vláknu Minkowski.

Přesněji řečeno π : M → M být Minkowski svazek vláken přes časoprostor potrubí M. Za každý bod str ∈ Mvlákno M_str je afinní prostor. Ve vláknovém grafu (PROTI, ψ), souřadnice jsou obvykle označeny ψ = (X^μ, X^A), kde X^μ jsou souřadnice na časoprostorovém potrubí M, a X^A jsou souřadnice ve vlákně M_str.

Za použití abstraktní indexová notace, nechť A, b, C,… odkazují na M_str a μ, ν,… odkazovat na tečný svazek TM. V každém konkrétním měřidle hodnota X^A na místě str je dán sekce

${ displaystyle x ^ { mu} doleva (x ^ { mu}, x ^ {a} = xi ^ {a} (p) doprava).}$

The kovarianční derivace

${ displaystyle D _ { mu} xi ^ {a} equiv left (d xi ^ {a} right) _ { mu} + {B ^ {a}} _ { mu} = částečné _ { mu} xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ { mu}}$

je definován s ohledem na formulář připojení B, 1-forma předpokládající hodnoty v Lež algebra translační abelianské skupiny R⁴. Tady, d je vnější derivace z Ath součástka z X, což je skalární pole (nejde tedy o čistě abstraktní indexovou notaci). Pod transformací měřidla překladovým polem α^A,

${ displaystyle x ^ {a} až x ^ {a} + alpha ^ {a}}$

a

${ displaystyle {B ^ {a}} _ { mu} až {B ^ {a}} _ { mu} - částečný _ { mu} alpha ^ {a}}$

a tak kovarianční derivace X^A = ξ^A(str) je měřidlo neměnné. Toto je identifikováno s translační (ko-) tetradou

${ displaystyle {h ^ {a}} _ { mu} = částečné _ { mu} xi ^ {a} + {B ^ {a}} _ { mu}}$

což je jeden formulář který přebírá hodnoty v Lež algebra translační abelianské skupiny R⁴, odkud je měřidlo neměnné.^[12] Ale co to znamená? X^A = ξ^A(str) je místní část (čistě překladového) afinního vnitřního svazku M → M, další důležitá struktura kromě pole translačního měřidla B^A_μ. Geometricky toto pole určuje původ afinních prostorů; to je známé jako Cartan Vektor poloměru. V teoreticko-teoretickém rámci měřidla je to jedna forma

${ displaystyle h ^ {a} = {h ^ {a}} _ { mu} dx ^ { mu} = left ( partial _ { mu} xi ^ {a} + {B ^ {a }} _ { mu} vpravo) dx ^ { mu}}$

vzniká jako nelineární translační měřicí pole s ξ^A interpretováno jako Goldstone pole popisující spontánní porušení translační symetrie.

Surová analogie: Přemýšlejte M_str jako obrazovka počítače a vnitřní posun jako poloha ukazatele myši. Představte si zakřivenou podložku pod myš jako časoprostor a polohu myši jako polohu. Udržujeme-li orientaci myši pevnou, pohybujeme-li myší kolem zakřivené podložky pod myš, mění se také poloha ukazatele myši (vnitřní posunutí) a tato změna je závislá na cestě; tj. to nezávisí jen na počáteční a konečné poloze myši. Změna vnitřního posunutí, když pohybujeme myší po uzavřené cestě na podložce pod myš, je kroucení.

Další surová analogie: Mysli na a krystal s vady vedení (dislokace hran a dislokace šroubů ale ne disklinace ). Paralelní transport bodu M podél cesty je dáno spočítáním počtu (nahoru / dolů, dopředu / dozadu a doleva / doprava) krystalových vazeb napříč. The Hamburgery vektor odpovídá kroucení. Disklinace odpovídají zakřivení, a proto jsou vynechány.

Torze, tj. Translační intenzita pole Teleparallel Gravity (nebo translační „zakřivení“),

${ displaystyle {T ^ {a}} _ { mu nu} equiv left (DB ^ {a} right) _ { mu nu} = D _ { mu} {B ^ {a}} _ { nu} -D _ { nu} {B ^ {a}} _ { mu},}$

je měřidlo neměnné.

Samozřejmě si můžeme vždy zvolit měřidlo, kde X^A je všude nula (problém však; M_str je afinní prostor a také vlákno, a tak musíme definovat počátek bod po bodu, ale to lze vždy provést libovolně) a to nás vede zpět k teorii, kde je tetrad zásadní.

Teleparallelism se týká jakékoli gravitační teorie založené na tomto rámci. Existuje zvláštní výběr z akce což je přesně ekvivalentní^[9] k obecné relativitě, ale existují i ​​další možnosti akce, které nejsou ekvivalentní GR. V některých z těchto teorií neexistuje ekvivalence mezi nimi setrvačný a gravitační hmoty.

Na rozdíl od GR není gravitace způsobena zakřivením časoprostoru. Je to způsobeno kroucením.

Negravitační kontexty

Existuje blízká analogie geometrie časoprostoru se strukturou defektů v krystalu.^[13][14] Dislokace jsou reprezentovány kroucením, disklinace zakřivením. Tyto vady nejsou na sobě nezávislé. Dislokace je ekvivalentní dvojici disklinace a antidisklinace, disklinace je ekvivalentní řetězci dislokací. To je základní důvod, proč lze Einsteinovu teorii založenou čistě na zakřivení přepsat jako teleparalelní teorii založenou pouze na kroucení. Kromě toho existuje nekonečně mnoho způsobů přepisování Einsteinovy ​​teorie, v závislosti na tom, kolik zakřivení chce člověk znovu vyjádřit z hlediska torze, teleparalelní teorie je pouze jejich konkrétní verzí.^[15]

Další aplikace teleparallelism nastává v kvantové teorii pole, jmenovitě, dvojrozměrný nelineární sigma modely s cílovým prostorem na jednoduchých geometrických varietách, jejichž chování při normalizaci je řízeno a Ricciho tok, který zahrnuje kroucení. Tato torze modifikuje Ricciho tenzor a vede tedy k infračervený pevný bod pro spojku z důvodu teleparallelismu ("geometrostáza").^[16]

Viz také

• Klasické gravitační teorie
• Teorie gravitačního měřidla

Reference

Další čtení

• Bishop, R. L.; Goldberg, S. I. (1968). Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.). Macmillana. ISBN  978-0-486-64039-6.
• Weitzenböck, R. (1923). Invariantentheorie. Groningen: Noordhoff.
• Aldrovandi, R .; Pereira, J. G. (2012). Teleparallel Gravity: An Introduction. Springer: Dordrecht. ISBN  978-94-007-5142-2.

externí odkazy

• Teleparalelní gravitace v nLab
• Teleparalelní struktury a gravitační teorie Luca Bombelli
• Vybrané příspěvky o teleparallelismu, přeložil a upravil D. H. Delphenich