Einsteinův poloměr - Einstein radius

The Einsteinův poloměr je poloměr Einsteinův prsten, a je charakteristickým úhlem pro gravitační čočky obecně, protože typické vzdálenosti mezi obrazy v gravitační čočce jsou řádově Einsteinova poloměru.^[1]

Derivace

Geometrie gravitačních čoček

V následujícím odvození Einsteinova poloměru budeme předpokládat, že celá hmota M čočkové galaxie L je soustředěna ve středu galaxie.

Pro bodovou hmotu lze vypočítat průhyb a je jedním z klasických testy obecné relativity. Pro malé úhly α₁ celková výchylka o bodovou hmotu M je uveden (viz Schwarzschildova metrika ) od

${displaystyle alpha _ {1} = {frac {4G} {c ^ {2}}} {frac {M} {b_ {1}}}}$

kde

b₁ je parametr nárazu (vzdálenost nejbližšího přiblížení světelného paprsku ke středu hmoty)

G je gravitační konstanta,

C je rychlost světla.

Poznamenejme, že pro malé úhly as úhlem vyjádřeným v radiány, bod nejbližšího přiblížení b₁ pod úhlem θ₁ pro objektiv L na dálku D_L je dána b₁ = θ₁ D_L, můžeme znovu vyjádřit úhel ohybu α₁ tak jako

${displaystyle alpha _ {1} (heta _ {1}) = {frac {4G} {c ^ {2}}} {frac {M} {heta _ {1}}} {frac {1} {D_ {m {L}}}}}$ ..... (rovnice 1)

Pokud jsme nastavili θ_S jako úhel, pod kterým by člověk viděl zdroj bez objektivu (který obecně není pozorovatelný), a θ₁ jako pozorovaný úhel obrazu zdroje vzhledem k čočce, pak z geometrie čočky (počítání vzdáleností ve zdrojové rovině) vidíme, že svislá vzdálenost překlenutá o úhel θ₁ na dálku D_S je stejný jako součet dvou vertikálních vzdáleností θ_S D_S a α₁ D_LS. To dává rovnice objektivu

${displaystyle heta _ {1}; D_ {m {S}} = heta _ {m {S}}; D_ {m {S}} + alfa _ {1}; D_ {m {LS}}}$

které mohou být přeskupeny tak, aby poskytly

${displaystyle alpha _ {1} (heta _ {1}) = {frac {D_ {m {S}}} {D_ {m {LS}}}} (heta _ {1} - heta _ {m {S} })}$ ..... (Rov. 2)

Nastavením (rovnice 1) rovné (rovnice 2) a přeskupením dostaneme

${displaystyle heta _ {1} - heta _ {m {S}} = {frac {4G} {c ^ {2}}}; {frac {M} {heta _ {1}}}; {frac {D_ { m {LS}}} {D_ {m {S}} D_ {m {L}}}}}$

Pro zdroj přímo za objektivem θ_S = 0, rovnice čočky pro bodovou hmotu dává charakteristickou hodnotu pro θ₁ tomu se říká Einsteinův úhel, označeno θ_E. Když θ_E je vyjádřeno v radiánech a zdroj čočky je dostatečně daleko, Einsteinův poloměr, označeno R_E, je dána

${displaystyle R_ {E} = heta _ {E} D_ {m {L}}}$. ^[2]

Uvedení θ_S = 0 a řešení pro θ₁ dává

${displaystyle heta _ {E} = vlevo ({frac {4GM} {c ^ {2}}}; {frac {D_ {m {LS}}} {D_ {m {L}} D_ {m {S}} }} ight) ^ {1/2}}$

Einsteinův úhel pro bodovou hmotu poskytuje pohodlné lineární měřítko pro vytváření bezrozměrných proměnných čoček. Pokud jde o Einsteinův úhel, stane se rovnice čočky pro bodovou hmotu

${displaystyle heta _ {1} = heta _ {m {S}} + {frac {heta _ {E} ^ {2}} {heta _ {1}}}}$

Substituce za konstanty dává

${displaystyle heta _ {E} = vlevo ({frac {M} {10 ^ {11.09} M_ {igodot}}} vpravo) ^ {1/2} vlevo ({frac {D_ {m {L}} D_ {m {S}} / D_ {m {LS}}} {m {Gpc}}} ight) ^ {- 1/2} {m {arcsec}}}$

Ve druhé formě je hmotnost vyjádřena v sluneční hmoty (M_☉ a vzdálenosti v Gizeparsec (GPC). Einsteinův poloměr je nejvýznamnější pro čočku typicky v polovině cesty mezi zdrojem a pozorovatelem.

Pro hustý shluk s hmotou M_C ≈ 10×10¹⁵ M_☉ ve vzdálenosti 1 Gigaparsec (1 Gpc) může být tento poloměr až 100 arcsec (tzv. makrolenzování). Pro Gravitační mikročočka událost (s hromadami objednávky 1 M_☉) hledat na galaktických vzdálenostech (řekněme D ~ 3 kpc), typický Einsteinův poloměr by byl řádově milli-arcseconds. V důsledku toho nelze při současných technikách pozorovat oddělené obrázky v událostech mikročoček.

Stejně tak pro dolní paprsek světla dopadající na pozorovatele zpod čočky, máme

${displaystyle heta _ {2}; D_ {m {S}} = -; heta _ {m {S}}; D_ {m {S}} + alfa _ {2}; D_ {m {LS}}}$

a

${displaystyle heta _ {2} + heta _ {m {S}} = {frac {4G} {c ^ {2}}}; {frac {M} {heta _ {2}}}; {frac {D_ { m {LS}}} {D_ {m {S}} D_ {m {L}}}}}$

a tudíž

${displaystyle heta _ {2} = -; heta _ {m {S}} + {frac {heta _ {E} ^ {2}} {heta _ {2}}}}$

Výše uvedený argument lze rozšířit pro čočky, které mají distribuovanou hmotnost, spíše než bodovou hmotnost, použitím jiného výrazu pro úhel ohybu α polohy θ_Já(θ_S) snímků lze poté vypočítat. U malých výchylek je toto mapování jedna ku jedné a skládá se ze zkreslení pozorovaných pozic, které jsou invertibilní. Tomu se říká slabé čočky. U velkých výchylek lze mít více obrázků a nevratné mapování: toto se nazývá silné čočky. Všimněte si, že aby distribuovaná hmota vyústila v Einsteinův prsten, musí být osově symetrický.

Viz také

• Gravitační čočka
• Einsteinův prsten

Reference

Bibliografie

• Chwolson, O (1924). „Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne“. Astronomische Nachrichten. 221 (20): 329–330. Bibcode:1924AN .... 221..329C. doi:10.1002 / asna.19242212003. (První příspěvek k návrhu prstenů)
• Einstein, Albert (1936). „Objektivová akce hvězdy odchylkou světla v gravitačním poli“ (PDF). Věda. 84 (2188): 506–507. Bibcode:1936Sci .... 84..506E. doi:10.1126 / science.84.2188.506. JSTOR  1663250. PMID  17769014. (Slavný papír Einstein Ring)
• Renn, Jurgen; Tilman Sauer a John Stachel (1997). „The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper“. Věda. 275 (5297): 184–186. Bibcode:1997Sci ... 275..184R. doi:10.1126 / science.275.5297.184. PMID  8985006.