Einstein pevný - Einstein solid - Wikipedia

Statistická mechanika
Termodynamika Kinetická teorie
Statistika částic Věta o statistice spinů Identické částice Maxwell – Boltzmann Bose – Einstein Fermi – Dirac Parastatistics Anyonic statistiky Statistiky opletení
Termodynamické soubory NVE Mikrokanonické NVT Kanonický µVT Velký kanonický NPH Isoenthalpic – isobaric NPT Izotermický - izobarický
Modely Debye Einstein Zpívám Potts
Potenciál Vnitřní energie Entalpie Helmholtzova volná energie Gibbsova volná energie Velký potenciál / Landauova volná energie
Vědci Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Debye Fermi Bose

The Einstein pevný je model tělesa založený na dvou předpokladech:

• Každý atom v mřížce je nezávislý 3D kvantový harmonický oscilátor
• Všechny atomy kmitají se stejnou frekvencí (na rozdíl od Debye model )

I když je předpoklad, že těleso má nezávislé oscilace, velmi přesný, jedná se o zvukové vlny nebo fonony, kolektivní režimy zahrnující mnoho atomů. V Einsteinově modelu však každý atom osciluje nezávisle. Einstein byl si vědom, že získání frekvence skutečných oscilací by bylo obtížné, nicméně navrhl tuto teorii, protože to byla obzvláště jasná ukázka toho, že kvantová mechanika může vyřešit specifický problém tepla v klasické mechanice.^[1]

Historický dopad

Původní teorie navržená Einstein v roce 1907 má velký historický význam. The tepelná kapacita z pevné látky jak předpovídal empirický Dulong – Petitův zákon bylo požadováno uživatelem klasická mechanika, měrné teplo pevných látek by mělo být nezávislé na teplotě. Ale experimenty při nízkých teplotách ukázaly, že tepelná kapacita se mění a na absolutní nulu jde k nule. Jak teplota stoupá, stoupá měrné teplo, dokud se při vysoké teplotě nepřiblíží předpovědi Dulong a Petit.

Zaměstnáním Planckových kvantování předpokládám, že Einsteinova teorie poprvé představovala pozorovaný experimentální trend. Spolu s fotoelektrický efekt, se toto stalo jedním z nejdůležitějších důkazů pro potřebu kvantizace. Einstein používal úrovně kvantově mechanického oscilátoru mnoho let před příchodem moderního kvantová mechanika.

Odvození tepelné kapacity

Pro termodynamický přístup lze tepelnou kapacitu odvodit pomocí různých statistické soubory. Všechna řešení jsou rovnocenná termodynamický limit.

V mikrokanonickém souboru

Tepelná kapacita Einstein pevný jako funkce teploty. Experimentální hodnota 3Nk se získává při vysokých teplotách.

The tepelná kapacita objektu při konstantní hlasitosti PROTI je definována prostřednictvím vnitřní energie U tak jako

${ displaystyle C_ {V} = vlevo ({ částečné U nad částečné T} pravé) _ {V}.}$

${ displaystyle T}$, teplotu systému, lze zjistit z entropie

${ displaystyle {1 přes T} = { částečné S přes částečné U}.}$

Chcete-li najít entropii, zvažte těleso vyrobené z ${ displaystyle N}$ atomy, z nichž každý má 3 stupně volnosti. Takže existují ${ displaystyle 3N}$ kvantové harmonické oscilátory (dále SHO pro „Simple Harmonic Oscillators“).

${ displaystyle N ^ { prime} = 3N}$

Možné energie SHO jsou dány

${ displaystyle E_ {n} = hbar omega left (n + {1 over 2} right)}$

nebo jinými slovy jsou energetické úrovně rovnoměrně rozmístěny a lze definovat a kvantová energie

${ displaystyle varepsilon = hbar omega}$

což je nejmenší a jediné množství, o které se zvyšuje energie SHO. Dále musíme vypočítat multiplicitu systému. To znamená spočítat počet způsobů distribuce ${ displaystyle q}$ množství energie mezi ${ displaystyle N ^ { prime}}$ SHO. Tento úkol se stává jednodušším, pokud někdo uvažuje o distribuci ${ displaystyle q}$ oblázky ${ displaystyle N ^ { prime}}$ krabice

nebo oddělování hromádek oblázků pomocí ${ displaystyle N ^ { prime} -1}$ oddíly

nebo aranžování ${ displaystyle q}$ oblázky a ${ displaystyle N ^ { prime} -1}$ oddíly

Poslední obrázek je nejdůležitější. Počet opatření ${ displaystyle n}$ objekty jsou ${ displaystyle n!}$. Takže počet možných uspořádání ${ displaystyle q}$ oblázky a ${ displaystyle N ^ { prime} -1}$ oddíly je ${ displaystyle left (q + N ^ { prime} -1 right)!}$. Pokud by se však oddíl # 3 a oddíl # 5 obchodovaly, nikdo by si toho nevšiml. Stejný argument platí pro kvantá. Chcete-li získat počet možných rozlišitelný ujednání je třeba vydělit celkový počet ujednání počtem nerozeznatelný ujednání. Existují ${ displaystyle q!}$ - stejná ujednání o kvantách a ${ displaystyle (N ^ { prime} -1)!}$ identické uspořádání příček. Násobnost systému je tedy dána vztahem

${ displaystyle Omega = { left (q + N ^ { prime} -1 right)! přes q! (N ^ { prime} -1)!}}$

což je, jak již bylo zmíněno výše, počet způsobů vkladu ${ displaystyle q}$ množství energie do ${ displaystyle N ^ { prime}}$ oscilátory. Entropie systému má podobu

${ Displaystyle S / k = ln Omega = ln { doleva (q + N ^ { prime} -1 doprava)! over q! (N ^ { prime} -1)!}.}$

${ displaystyle N ^ { prime}}$ je obrovské číslo - odečtení jednoho od něj nemá žádný celkový účinek:

${ displaystyle S / k přibližně ln { doleva (q + N ^ { prime} doprava)! přes q! N ^ { prime}!}}$

S pomocí Stirlingova aproximace, entropii lze zjednodušit:

${ Displaystyle S / k přibližně vlevo (q + N ^ { prime} vpravo) ln vlevo (q + N ^ { prime} vpravo) -N ^ { prime} ln N ^ { prime} -q ln q.}$

Celková energie pevné látky je dána vztahem

${ displaystyle U = {N ^ { prime} varepsilon nad 2} + q varepsilon,}$

protože v systému je kromě energie základního stavu každého oscilátoru celkem q energie. Někteří autoři, například Schroeder, tuto základní energii ve své definici celkové energie Einsteinovy ​​pevné látky vynechávají.

Nyní jsme připraveni vypočítat teplotu

${ displaystyle {1 přes T} = { částečné S přes částečné U} = { částečné S přes částečné q} {dq přes dU} = {1 přes varepsilon} { částečné S přes částečné q} = {k přes varepsilon} ln vlevo (1 + N ^ { prime} / q vpravo)}$

Vyloučení q mezi dvěma předchozími vzorci dává pro U:

${ displaystyle U = {N ^ { prime} varepsilon nad 2} + {N ^ { prime} varepsilon over e ^ { varepsilon / kT} -1}.}$

První člen je spojen s energií nulového bodu a nepřispívá k měrnému teplu. V dalším kroku tedy bude ztracen.

Diferenciace s ohledem na teplotu najít ${ displaystyle C_ {V}}$ získáváme:

${ displaystyle C_ {V} = { částečné U nad částečné T} = {N ^ { prime} varepsilon ^ {2} nad kT ^ {2}} {e ^ { varepsilon / kT} nad doleva (e ^ { varepsilon / kT} -1 doprava) ^ {2}}}$

nebo

${ displaystyle C_ {V} = 3Nk left ({ varepsilon over kT} right) ^ {2} {e ^ { varepsilon / kT} over left (e ^ { varepsilon / kT} -1 right) ^ {2}}.}$

Ačkoli Einsteinův model tělesa přesně předpovídá tepelnou kapacitu při vysokých teplotách a v tomto limitu

${ displaystyle lim _ {T rightarrow infty} C_ {V} = 3Nk}$,

což odpovídá Dulong – Petitův zákon.

Tepelná kapacita se nicméně při nízkých teplotách znatelně liší od experimentálních hodnot. Vidět Debye model jak vypočítat přesné nízkoteplotní tepelné kapacity.

V kanonickém souboru

Tepelná kapacita se získává použitím kanonická funkce oddílu jednoduchého kvantového harmonického oscilátoru.

${ displaystyle Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- E_ {n} / kT}}$

kde

${ displaystyle E_ {n} = varepsilon left (n + {1 over 2} right)}$

dosazením tohoto do vzorce funkce oddílu se získá výtěžek

${ displaystyle { begin {aligned} Z = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- varepsilon left (n + 1/2 right) / kT} = e ^ {- varepsilon / 2kT} sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- n varepsilon / kT} = e ^ {- varepsilon / 2kT} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (e ^ {- varepsilon / kT} right) ^ {n} = {e ^ {- varepsilon / 2kT} přes 1-e ^ {- varepsilon / kT}} = {1 přes e ^ { varepsilon / 2kT} -e ^ {- varepsilon / 2kT}} = {1 přes 2 sinh left ({ varepsilon přes 2kT} right)}. end {zarovnáno}}}$

Toto je funkce oddílu jeden harmonický oscilátor. Protože statisticky jsou tepelná kapacita, energie a entropie pevné látky rovnoměrně rozloženy mezi její atomy, můžeme s touto funkcí rozdělení pracovat na získání těchto množství a pak je jednoduše vynásobit ${ displaystyle N ^ { prime}}$ získat součet. Dále vypočítáme průměrnou energii každého oscilátoru

${ displaystyle langle E rangle = U = - {1 nad Z} částečné _ { beta} Z}$

kde

${ displaystyle beta = {1 nad kT}.}$

Proto,

${ displaystyle U = -2 sinh left ({ varepsilon přes 2kT} right) {- cosh left ({ varepsilon přes 2kT} right) přes 2 sinh ^ {2} vlevo ({ varepsilon nad 2kT} vpravo)} { varepsilon nad 2} = { varepsilon nad 2} coth left ({ varepsilon nad 2kT} right).}$

Tepelná kapacita jeden oscilátor je pak

${ displaystyle c_ {V} = { částečné U nad částečné T} = - { varepsilon nad 2} {1 nad sinh ^ {2} vlevo ({ varepsilon nad 2kT} vpravo) } left (- { varepsilon nad 2kT ^ {2}} right) = k left ({ varepsilon nad 2kT} right) ^ {2} {1 over sinh ^ {2} left ({ varepsilon přes 2kT} vpravo)}.}$

Doposud jsme počítali tepelnou kapacitu jedinečného stupně volnosti, který byl modelován jako kvantová harmonická. Tepelná kapacita celé pevné látky je pak dána vztahem ${ displaystyle C_ {V} = 3Nc_ {V}}$, kde celkový počet stupňů volnosti tělesa je třikrát (pro třísměrný stupeň volnosti) krát ${ displaystyle N}$, počet atomů v pevné látce. Jeden tak získá

${ displaystyle C_ {V} = 3Nk left ({ varepsilon over 2kT} right) ^ {2} {1 over sinh ^ {2} left ({ varepsilon over 2kT} right)} .}$

který je algebraicky identický se vzorcem odvozeným v předchozí části.

Množství ${ displaystyle T _ { rm {E}} = varepsilon / k}$ má rozměry teploty a je charakteristickou vlastností krystalu. To je známé jako Einsteinova teplota.^[2] Einsteinův model krystalů proto předpovídá, že energetické a tepelné kapacity krystalu jsou univerzální funkcí bezrozměrného poměru ${ displaystyle T / T _ { rm {E}}}$. Podobně Debye model předpovídá univerzální funkci poměru ${ displaystyle T / T _ { rm {D}}}$, kde ${ displaystyle T _ { rm {D}}}$ je Debyeova teplota.

Omezení a následný model

V Einsteinově modelu se specifické teplo blíží k nule exponenciálně rychle při nízkých teplotách. Je to proto, že všechny oscilace mají jednu společnou frekvenci. Správné chování lze zjistit kvantováním normální režimy pevné látky stejným způsobem, jaký navrhoval Einstein. Frekvence vln pak nejsou všechny stejné a měrné teplo jde na nulu jako a ${ displaystyle T ^ {3}}$ mocenský zákon, který odpovídá experimentu. Tato úprava se nazývá Debye model, který se objevil v roce 1912.

Když Walther Nernst dozvěděl se o Einsteinově dokumentu z roku 1906 o specifickém teple,^[3] byl tak nadšený, že s ním cestoval až z Berlína do Curychu.^[4]

Viz také

• Kinetická teorie pevných látek

Reference

externí odkazy

• Zeleny, Enrique. „Demonstrační projekt Wolfram - Einstein Solid“. Citováno 2016-03-18..