Věta Wiener – Lévy - Wiener–Lévy theorem

Věta Wiener – Lévy je věta v Fourierova analýza, který uvádí, že funkce absolutně konvergentní Fourierovy řady má za určitých podmínek absolutně konvergentní Fourierovu řadu. Věta byla pojmenována po Norbert Wiener a Paul Lévy.

Norbert Wiener poprvé prokázáno Wienerovo 1 /F teorém,^[1] vidět Wienerova věta. Uvádí se v něm, že pokud F má absolutně konvergentní Fourierovu řadu a nikdy není nulová, tedy její inverzní 1/F má také absolutně konvergentní Fourierovu řadu.

Věta Wiener – Levy

Paul Levy zobecněný Wienerův výsledek,^[2] což ukazuje

Nechat ${ displaystyle F ( theta) = součet limity _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} e ^ {ik theta}, quad theta v [0,2 pi ]}$ být absolutně konvergentní Fourierovou řadou s

${ displaystyle | F | = součet limity _ {k = - infty} ^ { infty} | c_ {k} | < infty.}$

Hodnoty ${ displaystyle F ( theta)}$ lež na křivce ${ displaystyle C}$, a ${ displaystyle H (t)}$ je analytická (ne nutně jednohodnotová) funkce komplexní proměnné, která je pravidelná v každém bodě ${ displaystyle C}$. Pak ${ displaystyle H [F ( theta)]}$ má absolutně konvergentní Fourierovu řadu.

Důkaz lze najít v Zygmundově klasické knize Trigonometrická řada.^[3]

Příklad

Nechat ${ displaystyle H ( theta) = ln ( theta)}$ a ${ displaystyle F ( theta) = součet limity _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} e ^ {ik theta}, ( sum limity _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} = 1}$) je charakteristická funkce diskrétního rozdělení pravděpodobnosti. Tak ${ displaystyle F ( theta)}$ je absolutně konvergentní Fourierova řada. Li ${ displaystyle F ( theta)}$ nemá nuly, pak máme

${ displaystyle H [F ( theta)] = ln left ( sum limity _ {k = 0} ^ { infty} p_ {k} e ^ {ik theta} right) = sum _ {k = 0} ^ { infty} c_ {k} e ^ {ik theta},}$

kde ${ displaystyle | H | = součet limity _ {k = 0} ^ { infty} | c_ {k} | < infty.}$

Statistickou aplikaci tohoto příkladu lze nalézt v diskrétním pseudo složené Poissonovo rozdělení^[4] a model s nulovým nafouknutím.

Pokud diskrétní r.v. ${ displaystyle X}$ s ${ displaystyle  Pr (X = i) = P_ {i}}$, ${ displaystyle i  in  mathbb {N}}$, má funkci generující pravděpodobnost formuláře

${ displaystyle P (z) = součet limity _ {i = 0} ^ { infty} P_ {i} z ^ {i} = exp left { sum limity _ {i = 1} ^ { infty} alpha _ {i} lambda (z ^ {i} -1) right }, z = e ^ {ik theta}}$

kde ${ displaystyle sum limity _ {i = 1} ^ { infty} alpha _ {i} = 1}$, ${ displaystyle sum limity _ {i = 1} ^ { infty} levá | alpha _ {i} pravá | < infty}$, ${ displaystyle alpha _ {i} in mathbb {R}}$, a ${ displaystyle lambda> 0}$. Pak ${ displaystyle X}$ se říká, že má diskrétní pseudosloučeninu Poissonovo rozdělení, zkráceně DPCP.

Označíme to jako ${ displaystyle X sim DPCP ({ alpha _ {1}} lambda, { alpha _ {2}} lambda, cdots)}$.

Viz také

• Wienerova věta (disambiguation)

Reference