Madhavasův sinusový stůl - Madhavas sine table - Wikipedia

Tento článek obsahuje Indický text. Bez řádného podpora vykreslování, možná uvidíte otazníky nebo pole, chybné samohlásky nebo chybějící spojky místo indického textu.

Madhavův sinusový stůl je stůl z trigonometrické sinusy různých úhly postavena ve 14. století Kerala matematik -astronom Madhava ze Sangamagramy. Tabulka uvádí trigonometrické sinusy dvaceti čtyř úhlů 3,75 °, 7,50 °, 11,25 °, ... a 90,00 ° (úhly, které jsou integrální násobky 3,75 °, tj. 1/24 pravého úhlu, počínaje 3,75 a končící 90,00). Tabulka je kódovaný v písmena z Devanagari za použití Systém Katapayadi. To dává položkám v tabulce vzhled verše a báseň v Sanskrt.

Madhavovo původní dílo obsahující sinusový stůl ještě nebylo vysledováno. Tabulka je uvedena v Aryabhatiyabhashya z Nilakantha Somayaji^[1](1444–1544) a také v Yuktidipika / Laghuvivrti komentář k Tantrasamgraha podle Sankara Variar (cca 1500-1560).^[2]

Stůl

Na následujícím obrázku je Madhavův sinusový stůl Devanagari jak je reprodukováno v Kulturní základy matematiky autor: C.K. Raju.^[3] Prvních dvanáct řádků tvoří položky v tabulce. Poslední slovo ve třináctém řádku naznačuje, že jde o „jak řekl Madhava“.

Madhavův sinusový stůl Devanagari

Hodnoty v tabulce Madhavy

Diagram vysvětlující význam hodnot v tabulce Madhavy

Pochopit význam hodnot uvedených v tabulce Madhava, zvažte nějaký úhel, jehož míra je A. Zvažte a kruh poloměru jednotky a středu O. Nechte oblouk PQ kruhu pod úhlem A ve středu O. Zrušte kolmý QR z Q do OP; pak délka úsečky RQ je hodnota trigonometrického sinu úhlu A. Nechť PS je oblouk kruhu, jehož délka se rovná délce úsečky RQ. Pro různé úhly A udává Madhavova tabulka míry odpovídajících úhlů ${ displaystyle úhel}$POS v obloukové minuty, obloukové sekundy a šedesátiny an arcsecond.

Jako příklad nechť A je úhel, jehož míra je 22,50 °. V tabulce Madhavy je položka odpovídající 22,50 ° mírou v obloukových minutách, obloukových sekundách a šedesátinách obloukových vteřin úhlu, jehož radiánová míra je moderní hodnotou hříchu 22,50 °. Moderní číselná hodnota hříchu 22,50 ° je 0,382683432363 a,

0,382683432363 radiánů = 180 / π × 0,382683432363 stupňů = 21,926145564094 stupňů.

a

21,926145564094 stupňů = 1315 obloukových minut 34 obloukových vteřin 07 šedesátých obloukových vteřin.

V Systém Katapayadi číslice jsou psány v opačném pořadí. V tabulce Madhavy je tedy položka odpovídající 22,50 ° 70435131.

Odvození trigonometrických sinusů z Madhavova stolu

Pro úhel, jehož míra je A, nechť

${ displaystyle angle POS = m { text {arcminutes,}} s { text {arcseconds,}} t { text {šedesátiny arcsecond}}}$

Pak

${ displaystyle { begin {aligned} sin (A) & = RQ & = { text {délka oblouku}} PS & = úhel POS { text {v radiánech}} & = { frac { pi} {180 krát 60}} vlevo (m + { frac {s} {60}} + { frac {t} {60 krát 60}} vpravo). end {zarovnáno }}}$

Každý z řádků v tabulce určuje osm číslic. Nechť jsou číslice odpovídající úhlu A (čtené zleva doprava)

${ displaystyle d_ {1} quad d_ {2} quad d_ {3} quad d_ {4} quad d_ {5} quad d_ {6} quad d_ {7} quad d_ {8}}$

Pak podle pravidel Systém Katapayadi matematiků z Kéraly, které máme

${ displaystyle { begin {aligned} m & = d_ {8} krát 1000 + d_ {7} krát 100 + d_ {6} krát 10 + d_ {5} s & = d_ {4} krát 10 + d_ {3} t & = d_ {2} krát 10 + d_ {1} end {zarovnáno}}}$

Madhavova hodnota pí

Chcete-li dokončit numerické výpočty, musíte mít znalost hodnoty pi (${ displaystyle pi}$). Je vhodné, abychom použili hodnotu π vypočítal sám Madhava. Nilakantha Somayaji dal tuto hodnotu π ve svém Āryabhaṭīya -Bhashya takto:^[4]

Madhavova hodnota pí

Přepis posledních dvou řádků:

Různá slova označují určitá čísla zakódovaná ve schématu známém jako systém bhūtasaṃkhyā. Význam slov a čísla jimi zakódovaná (počínaje místem jednotek) jsou podrobně popsány v následujícím překladu verše: „Bohové (vibudha: 33), oči (netra: 2), sloni (gaja: 8), hadi (ahi: 8), ohně (hutāśana: 3), tři (tri: 3), vlastnosti (guṇa: 3), vedas (veda: 4), nakṣatras (bha: 27), sloni (vāraṇa: 8) a paže (bāhavaḥ: 2) - moudrí říkají, že toto je míra obvodu, když je průměr kruhu nava-nikharva (900 000 000 000). “

Překlad básně pomocí systém bhūtasaṃkhyā bude jednoduše číst „2827433388233 je, jak se říká moudrý, obvod kruhu, jehož průměr je nava-nikharva (900 000 000 000)“. To znamená, že 2827433388233 (číslo z prvních dvou řádků básně v opačném pořadí) vydělíte nava-nikharva (900 000 000 000), abyste získali hodnotu pí (π). Tento výpočet poskytuje hodnotu π = 3,1415926535922. Toto je hodnota π použitá Madhavou při jeho dalších výpočtech a je přesná na 11 desetinných míst.

Příklad

Tabulka Madhavy uvádí následující číslice odpovídající úhlu 45,00 °:

${ Displaystyle 5 quad 1 quad 1 quad 5 quad 0 quad 3 quad 4 quad 2}$

Tím se získá úhel s mírou

${ displaystyle { begin {zarovnáno} m & = 2 krát 1000 + 4 krát 100 + 3 krát 10 + 0 { text {arcminutes}} & = 2430 { text {arcminutes}} s & = 5 krát 10 + 1 { text {arcseconds}} & = 51 { text {arcseconds}} t & = 1 krát 10 + 5 { text {šedesátiny arcsekundy}} & = 15 { text {šedesátiny arcsekundy}} end {zarovnáno}}}$

Hodnota trigonometrického sinusu 45,00 °, jak je uvedena v tabulce Madhavy, je

${ displaystyle sin 45 ^ { circ} = { frac { pi} {180 krát 60}} vlevo (2430 + { frac {51} {60}} + { frac {15} {60 krát 60}} vpravo)}$

Nahrazením hodnoty π vypočítané Madhavou ve výše uvedeném výrazu získáme hřích 45 ° jako 0,70710681.

Tuto hodnotu lze srovnat s moderní přesnou hodnotou hříchu 45,00 °, konkrétně 0,70710678.

Srovnání Madhavy a moderních sinusových hodnot

V tabulce níže obsahuje první sloupec seznam čtyřiadvaceti úhlů začínajících 3,75 a končících 90,00. Druhý sloupec obsahuje hodnoty, které Madhava uvádí v tabulkách Devanagari ve formě, v jaké ji dal Madhava. (Ty jsou převzaty z Malayalam Komentář k Karanapaddhati autor: P.K. Koru^[5] a mírně se liší od tabulky uvedené v Kulturní základy matematiky autor: C.K. Raju.^[2]) Třetí sloupec obsahuje ISO 15919 přepisy řádků uvedených ve druhém sloupci. Číslice kódované řádky ve druhém sloupci jsou uvedeny v Arabské číslice ve čtvrtém sloupci. Hodnoty trigonometrických sinusů odvozených z čísel uvedených v tabulce Madhavy jsou uvedeny v pátém sloupci. Tyto hodnoty se počítají pomocí přibližné hodnoty 3,1415926535922 pro π získané Madhavou. Pro srovnání jsou přesné hodnoty trigonometrických sinusů úhlů uvedeny v šestém sloupci.

Madhavova metoda výpočtu

Žádná práce Madhavy popisující metody, které použil pro výpočet sinusového stolu, nepřežila. Nicméně ze spisů pozdějších Kerala matematiků jako Nilakantha Somayaji (Tantrasangraha ) a Jyeshtadeva (Yuktibhāṣā ), které poskytují dostatek odkazů na Madhavovy úspěchy, předpokládá se, že Madhava vypočítal svou sinusovou tabulku pomocí rozšíření mocninové řady hříchu X.

${ displaystyle sin x = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7} } {7!}} + Cdots}$

Viz také

• Madhava série
• Āryabhaṭův sinusový stůl
• Ptolemaiova tabulka akordů

Reference

Další reference

• Bag, A.K. (1976). "Madhavova sínusová a kosinová řada" (PDF). Indian Journal of History of Science. Indická národní akademie věd. 11 (1): 54–57. Archivovány od originál (PDF) dne 5. července 2015. Citováno 21. srpna 2016.
• Účet Madhavova výpočtu sinusové tabulky viz: Van Brummelen, Glen (2009). Matematika nebes a Země: rané dějiny trigonometrie. Princeton: Princeton University Press. 113–120. ISBN  978-0-691-12973-0.
• Pro důkladnou diskusi o výpočtu sinavské tabulky Madhavy s historickými odkazy: C.K. Raju (2007). Kulturní základy matematiky: Podstata matematického důkazu a přenos počtu z Indie do Evropy v 16. století. CE. Dějiny filozofie, vědy a kultury v indické civilizaci. X Část 4. Dillí: Centrum pro studium civilizací. str. 114–123.