Polární sinus - Polar sine
v geometrie, polární sinus zobecňuje sinus funkce úhel do úhel vrcholu a polytop. Označuje to psin.
Definice
n vektory v n-rozměrný prostor
Nechat proti1, ..., protin, pro n ≥ 2, být nenulové Euklidovské vektory v n-rozměrný prostor (ℝn), které jsou směrovány z a vrchol a rovnoběžník, tvořící hrany rovnoběžníku. Polární sinus úhlu vrcholu je:
kde čitatel je určující
rovná se hyper objem rovnoběžníku s vektorovými hranami[1]
a ve jmenovateli n-složit produkt
z veličiny ||protii|| vektorů se rovná hypervolumu n-dimenzionální hyperrektangle, s hranami rovnými velikostem vektorů ||proti1||, ||proti2||, ... ||protin|| (ne samotné vektory). Viz také Ericksson.[2]
Rovnoběžník je jako „zmáčknutý hyperrektangle“, takže má méně nadměrného objemu než hyperrektangle, což znamená (viz obrázek pro případ 3D):
a protože tento poměr může být záporný, psin je vždy ohraničený mezi -1 a +1 podle nerovnosti:
pokud jde o obyčejný sinus, přičemž buď vázaného je dosaženo pouze v případě, že jsou všechny vektory vzájemně ortogonální.
V případě n = 2, polární sinus je obyčejný sinus úhlu mezi dvěma vektory.
n vektory v m-rozměrný prostor pro m ≥ n
Existuje nezáporná verze polárního sinu, která funguje v libovolném m-rozměrný prostor pro m ≥ n. V tomto případě je čitatel v definici uveden jako
kde horní index T označuje transpozice matice. V případě, že m=n, hodnota Ω pro tuto nezápornou definici polárního sinu je absolutní hodnota Ω z dříve podepsané verze polárního sinu.
Vlastnosti
- Výměna vektorů
Pokud je rozměr prostoru větší než n poté je polární sinus nezáporný a nezmění se, kdykoli dva z vektorů protij a protik jsou zaměňovány. Jinak změní znaménko vždy, když jsou zaměněny dva vektory - kvůli antisymetrii výměna řádků v determinantu:
- Invariance pod skalární násobení vektorů
Polární sinus se nezmění, pokud jsou všechny vektory proti1, ..., protin jsou vynásobeny kladnými konstantami Ci, kvůli faktorizace:
Pokud je lichý počet těchto konstant místo záporných, změní se znaménko polárního sinu; jeho absolutní hodnota však zůstane nezměněna.
- Zmizí s lineárními závislostmi
Pokud vektory nejsou lineárně nezávislé, polární sinus bude nulový. Tak tomu bude vždy v zvrhlý případ že počet rozměrů m je přísně menší než počet vektorů n.
Dějiny
Polární sinusy byly vyšetřovány Euler v 18. století.[3]
Viz také
- Trigonometrické funkce
- Seznam trigonometrických identit
- Plný úhel
- Simplexní
- Zákon sinusů
- Křížový produkt a Sedmrozměrný křížový produkt
- Odstupňovaná algebra
- Vnější derivát
- Diferenciální geometrie
- Objemový integrál
- Opatření (matematika)
- Integrální produkt
Reference
- ^ Lerman, Gilad; Whitehouse, J. Tyler (2009). "O d-dimenzionální d-semimetrii a nerovnostech simplexního typu pro vysokodimenzionální sinusové funkce". Žurnál teorie přiblížení. 156: 52–81. arXiv:0805.1430. doi:10.1016 / j.jat.2008.03.005.
- ^ Eriksson, F (1978). "Zákon Sines pro Tetrahedra a n-Jednoduchosti ". Geometriae Dedicata. 7: 71–80. doi:10.1007 / bf00181352.
- ^ Euler, Leonhard. „De mensura angulorum solidorum“. Leonhardi Euleri Opera Omnia. 26: 204–223.