Lissajousova křivka - Lissajous curve

Lissajousova postava vyrobená uvolněním písku z nádoby na konci a Blackburnovo kyvadlo

Pojmenoval podle Jules Antoine Lissajous, a Lissajousova křivka /ˈlɪsəʒuː/, také známý jako Lissajousova postava nebo Bowditchova křivka /ˈbaʊdɪtʃ/, je graf systému systému parametrické rovnice

{ displaystyle x = A sin (at + delta), quad y = B sin (bt),}

které popisují komplexní harmonický pohyb. Tato rodina křivky byl vyšetřován uživatelem Nathaniel Bowditch v roce 1815 a později podrobněji Jules Antoine Lissajous v roce 1857.

Vzhled postavy je velmi citlivý na poměr $A / b$ . Pro poměr 1 je číslo elipsa, se zvláštními případy včetně kruhy ( $A = B$ , $δ = π / 2$ radiány ) a řádky ( $δ = 0$ ). Další jednoduchá postava Lissajous je parabola ( $b / A = 2$ , $δ = π / 4$ ). Jiné poměry vytvářejí složitější křivky, které jsou uzavřeny pouze v případě $A / b$ je Racionální. Vizuální forma těchto křivek často naznačuje trojrozměrnost uzel, a opravdu mnoho druhů uzlů, včetně těch, které jsou známé jako Lissajous uzly, promítněte do letadla jako Lissajousovy postavy.

Vizuálně poměr $A / b$ určuje počet „laloků“ obrázku. Například poměr 3/1 nebo 1/3 vytvoří figurku se třemi hlavními laloky (viz obrázek). Podobně poměr 5/4 vytváří postavu s pěti vodorovnými laloky a čtyřmi svislými laloky. Racionální poměry produkují uzavřené (spojené) nebo „nehybné“ údaje, zatímco iracionální poměry produkují údaje, které se zdají rotovat. Poměr $A / B$ určuje relativní poměr šířky a výšky křivky. Například poměr 2/1 vytváří postavu, která je dvakrát tak široká, než je vysoká. Nakonec hodnota $δ$ určuje zdánlivý „rotační“ úhel obrázku, při pohledu, jako by to byla vlastně trojrozměrná křivka. Například, $δ = 0$ vyrábí $X$ a $y$ komponenty, které jsou přesně ve fázi, takže výsledný obrázek vypadá jako zjevný trojrozměrný obrázek při pohledu zepředu (0 °). Naproti tomu jakékoli nenulové $δ$ vytvoří obrázek, který se zdá být otočený, buď jako rotace doleva-doprava nebo nahoru-dolů (v závislosti na poměru) $A / b$ ).

Lissajousova postava na osciloskop, zobrazující vztah 1: 3 mezi frekvencemi vertikálních a horizontálních sinusových vstupů. Tato konkrétní postava Lissajous byla upravena do loga pro Australian Broadcasting Corporation

Kruh je jednoduchá Lissajousova křivka

Lissajousovy postavy kde $A = 1$ , $b = N$ ( $N$ je přirozené číslo ) a

{ displaystyle delta = { frac {N-1} {N}} { frac { pi} {2}}}

jsou Čebyševovy polynomy prvního stupně $N$ . Tato vlastnost je využívána k vytváření množiny bodů, tzv Padova body, ve kterém může být funkce vzorkována za účelem výpočtu buď dvojrozměrné interpolace nebo kvadratury funkce přes doménu $[-1,1] \times [-1,1]$ .

Vztah některých Lissajousových křivek k Čebyševovým polynomům je jasnější, aby bylo možné pochopit, zda je Lissajousova křivka, která generuje každou z nich, vyjádřena pomocí kosinových funkcí namísto sínusových funkcí.

{ displaystyle x = cos (t), quad y = cos (Nt)}

Příklady

Animace zobrazující přizpůsobení křivky jako poměr

A / b

se zvyšuje z 0 na 1

Animace ukazuje přizpůsobení křivky s postupným zvyšováním $A / b$ zlomek od 0 do 1 v krocích po 0,01 ( $δ = 0$ ).

Níže jsou uvedeny příklady Lissajousových postav s lichým přirozené číslo $A$ sudý přirozené číslo $b$ , a $| A - b | = 1$ .

$δ = π / 2$ , $A = 1$ , $b = 2$ (1:2)
$δ = π / 2$ , $A = 3$ , $b = 2$ (3:2)
$δ = π / 4$ , $A = 3$ , $b = 4$ (3:4)
$δ = π / 4$ , $A = 5$ , $b = 4$ (5:4)

Generace

Před moderním elektronickým zařízením bylo možné Lissajousovy křivky generovat mechanicky pomocí a harmonograf.

Praktická aplikace

Lissajousovy křivky lze také generovat pomocí osciloskop (jak je znázorněno). An obvod chobotnice lze použít k předvedení křivka obrázky na osciloskopu. Na osciloskop v režimu X-Y jsou aplikovány dva sinusové vstupy s fázovým posunem a fázový vztah mezi signály je prezentován jako Lissajousův obrazec.

V profesionálním světě zvuku se tato metoda používá pro analýzu fázového vztahu mezi levým a pravým kanálem stereofonního zvukového signálu v reálném čase. Na větších a propracovanějších zvukových mixážních konzolách může být pro tento účel zabudován osciloskop.

Na osciloskopu předpokládáme $X$ je CH1 a $y$ je CH2, $A$ je amplituda CH1 a $B$ je amplituda CH2, $A$ je frekvence CH1 a $b$ je frekvence CH2, takže $A / b$ je poměr frekvencí dvou kanálů a $δ$ je fázový posun CH1.

Čistě mechanická aplikace Lissajousovy křivky s $A = 1$ , $b = 2$ je v hnacím mechanismu Mars Light typ oscilačních světelných paprsků oblíbený u železnic v polovině 20. století. Paprsek v některých verzích sleduje na jeho straně pokřivený vzor číslo 8.

Žádost pro případ $A = b$

Na tomto obrázku jsou obě vstupní frekvence identické, ale fázový rozdíl mezi nimi vytváří tvar elipsa.

Horní: Výstupní signál jako funkce času.
Střední: Vstupní signál jako funkce času.
Dno: Výsledná Lissajousova křivka, když je výstup vykreslen jako funkce vstupu.
V tomto konkrétním příkladu, protože výstup je 90 stupňů mimo fázi od vstupu, je Lissajousova křivka kruh a otáčí se proti směru hodinových ručiček.

Když je vstup do Systém LTI je sinusový, výstup je sinusový se stejnou frekvencí, ale může mít jinou amplitudu a některé fázový posun. Pomocí osciloskop který může vykreslit jeden signál proti druhému (na rozdíl od jednoho signálu proti času), aby vykreslil výstup systému LTI proti vstupu do systému LTI, vytváří elipsu, která je Lissajousovým číslem pro speciální případ $A = b$ . The poměr stran výsledné elipsy je funkcí fázového posunu mezi vstupem a výstupem, přičemž poměr stran 1 (dokonalá kružnice) odpovídá fázovému posunu ± 90 ° a poměr stran ∞ (čára) odpovídající fázi posun o 0 ° nebo 180 °.^{[Citace je zapotřebí ]}

Obrázek níže shrnuje, jak se postava Lissajous mění v průběhu různých fázových posunů. Fázové posuny jsou všechny negativní, takže zpoždění sémantika lze použít s a kauzální Systém LTI (všimněte si, že −270 ° odpovídá + 90 °). Šipky ukazují směr otáčení Lissajousovy postavy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Čistý fázový posun ovlivňuje excentricita ovál Lissajous. Analýza oválu umožňuje fázový posun z Systém LTI měřit ..

Ve strojírenství

Křivka Lissajous se používá v experimentálních testech k určení, zda lze zařízení správně kategorizovat jako memristor.^{[Citace je zapotřebí ]} Používá se také k porovnání dvou různých elektrických signálů: známého referenčního signálu a signálu, který má být testován.^[1]^[2]

V kultuře

Ve filmu

Přehrát média

Lissajousova animace ve stylu science fiction

Lissajousovy postavy se někdy zobrazovaly na osciloskopech určených k simulaci špičkových technologií ve sci-fi televizních pořadech a filmech v 60. a 70. letech.^[3]

The sekvence titulů podle John Whitney pro Alfred Hitchcock film z roku 1958 Závrať je založen na Lissajousových číslech.^[4]

V sekvenci ke konci epizody Columbo s názvem „Udělej ze mě dokonalou vraždu“ sedí detektiv a sleduje na obrazovce v televizi mimo dodávku Lissajousovy křivky zobrazené hudbě.

Loga společnosti

Lissajous postavy jsou někdy používány v grafický design tak jako loga. Mezi příklady patří:

The Australian Broadcasting Corporation ( $A = 1$ , $b = 3$ , $δ = π / 2$ )^[5]
The Lincolnova laboratoř na MIT ( $A = 3$ , $b = 4$ , $δ = π / 2$ )^[6]
The University of Electro-Communications, Japonsko ( $A = 5$ , $b = 6$ , $δ = π / 2$ ).^{[Citace je zapotřebí ]}
Disney Filmy kdekoli aplikace pro streamování videa používá stylizovanou verzi křivky

V moderním umění

The Dadaista umělec Max Ernst malované Lissajousovy postavy přímo houpáním propíchnutého kbelíku barvy na plátně.^[7]

Viz také

Poznámky

^ Palmer, Kenneth; Ridgway, Tim; Al-Rawi, Omar; Johnson, Ian; Poullis, Michael (září 2011). „Lissajous Figures: Engineering Tool for Root Cause Analysis of individual Cases - A Pre předběžný koncept“. The Journal of Extra-corporeal Technology. 43 (3): 153–156. ISSN 0022-1058. PMC 4679975. PMID 22164454.
^ "Lissajou Curves". datagenetics.com. Citováno 2020-07-10.
^ „Dlouhá cesta od Lissajousových postav“. Nový vědec. Reed Business Information: 77. 24. září 1987. ISSN 0262-4079.
^ „Představila společnost„ Vertigo “počítačovou grafiku do kina?“.
^ "ABC Lissajousových postav".
^ "Logo laboratoře Lincoln". Laboratoř MIT Lincoln. 2008. Citováno 2008-04-12.
^ King, M. (2002). „Od Maxe Ernsta po Ernsta Macha: epistemologie v umění a vědě“ (PDF). Citováno 17. září 2015.

externí odkazy

Lissajousova křivka v Mathworld

Interaktivní ukázky

3D applety Java zobrazující konstrukci Lissajousových křivek v osciloskopu:
- Tutorial z NHMFL
- Fyzikální applet autor: Chiu-king Ng
Podrobná simulace Lissajousových čísel Kreslení Lissajousových postav pomocí interaktivních posuvníků v Javascriptu
Lissajous Curves: Interaktivní simulace grafických znázornění hudebních intervalů a vibrujících strun
Interaktivní generátor křivky Lissajous - applet Javascript pomocí JSXGraph
Animované Lissajousovy postavy

[1] Palmer, Kenneth; Ridgway, Tim; Al-Rawi, Omar; Johnson, Ian; Poullis, Michael (září 2011). „Lissajous Figures: Engineering Tool for Root Cause Analysis of individual Cases - A Pre předběžný koncept“. The Journal of Extra-corporeal Technology. 43 (3): 153–156. ISSN 0022-1058. PMC 4679975. PMID 22164454.

[2] "Lissajou Curves". datagenetics.com. Citováno 2020-07-10.

[Information1987-3] „Dlouhá cesta od Lissajousových postav“. Nový vědec. Reed Business Information: 77. 24. září 1987. ISSN 0262-4079.

[4] „Představila společnost„ Vertigo “počítačovou grafiku do kina?“.

[5] "ABC Lissajousových postav".

[6] "Logo laboratoře Lincoln". Laboratoř MIT Lincoln. 2008. Citováno 2008-04-12.

[7] King, M. (2002). „Od Maxe Ernsta po Ernsta Macha: epistemologie v umění a vědě“ (PDF). Citováno 17. září 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]