Hlavní hodnota - Principal value
![]() | tento článek ne uvést žádný Zdroje.Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika konkrétně komplexní analýza, hlavní hodnoty a funkce s více hodnotami jsou hodnoty podél jedné vybrané větev toho funkce, takže to je jednohodnotový. Nejjednodušší případ nastává při převzetí odmocnina pozitivního reálné číslo. Například 4 má dvě druhé odmocniny: 2 a –2; z nich je kladný kořen 2 považován za hlavní kořen a je označen jako
Motivace
Zvažte komplexní logaritmus funkční protokolz. Je definován jako komplexní číslo w takhle
Nyní například řekněme, že si přejeme najít protokoli. To znamená, že to chceme vyřešit
pro w. Jasně iπ / 2 je řešení. Ale je to jediné řešení?
Samozřejmě existují i jiná řešení, o čemž svědčí zvážení pozice i v složité letadlo a zejména jeho argument arg i. Můžeme otáčet proti směru hodinových ručiček π / 2 radiány od 1 do dosažení i zpočátku, ale pokud rotujeme dále o další 2π, dosáhneme i znovu. Můžeme tedy dojít k závěru i(π / 2 + 2π) je taky řešení pro logi. Je zřejmé, že můžeme přidat libovolný násobek 2πi k našemu původnímu řešení k získání všech hodnot pro logi.
To však má důsledek, který může být překvapivý ve srovnání se skutečnými hodnotnými funkcemi: logi nemá jednu určitou hodnotu! Pro logz, my máme
pro celé číslo k, kde Argz je (hlavním) argumentem z definované ležet v interval . Protože hlavní argument je pro dané komplexní číslo jedinečný z, není zahrnut v intervalu. Každá hodnota k určuje, co je známé jako větev (nebo prostěradlo), součást s jednou hodnotou funkce protokolu s více hodnotami.
Větev odpovídající k = 0 se označuje jako hlavní věteva podél této větve jsou hodnoty, které funkce bere, známé jako hlavní hodnoty.
Obecný případ
Obecně, pokud F(z) je vícehodnotová, hlavní pobočka F je označen
takové, že pro z v doména z F, pvF(z) má jednu hodnotu.
Hlavní hodnoty standardních funkcí
Komplexní základní funkce může mít více hodnot v některých doménách. Základní hodnotu některých z těchto funkcí lze získat rozložením funkce na jednodušší, přičemž hlavní hodnotu jednoduchých funkcí lze snadno získat.
Funkce logaritmu
Prozkoumali jsme funkce logaritmu výše, tj.
Nyní, argz je skutečně vícehodnotový. Jeden často definuje argument nějakého komplexního čísla, které má být mezi (exkluzivní) a (včetně), takže to považujeme za hlavní hodnotu argumentu a funkci argumentu zapíšeme na tuto větev Argz (s hlavním kapitálem A). Pomocí Argz místo argz, získáme hlavní hodnotu logaritmu a zapíšeme
Odmocnina
Pro komplexní číslo hlavní hodnota odmocnina je:
s argument
Složitý argument
Hlavní hodnota argument komplexního čísla měřeno v radiány lze definovat jako:
- hodnoty v rozsahu
- hodnoty v rozsahu
K výpočtu těchto hodnot lze použít funkce: