Projektivně prodloužená reálná linie - Projectively extended real line

Projektivně prodlouženou skutečnou čáru lze vizualizovat jako čáru reálného čísla omotanou kolem kruhu (nějakou formou stereografická projekce ) s dalším bodem v nekonečnu.

v skutečná analýza, projektivně prodloužená reálná linie (nazývané také jednobodové zhutnění z skutečná linie ), je rozšířením sady reálná čísla, ${ displaystyle mathbb {R},}$ o bod označený $\infty$ . Je to tedy sada ${ displaystyle mathbb {R} pohár { infty }}$ se standardními aritmetickými operacemi rozšířenými, kde je to možné, a je někdy označován ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}.}$ Přidaný bod se nazývá bod v nekonečnu, protože je považován za souseda obou končí skutečné linie. Přesněji řečeno, bod v nekonečnu je omezit ze všech sekvence reálných čísel, jejichž absolutní hodnoty rostou a neomezený.

Projektivně prodlouženou skutečnou linii lze identifikovat pomocí projektivní linie nad reálemi, ve kterých byly třem bodům přiřazeny konkrétní hodnoty (např. $0$ , $1$ a $\infty$ ). Projektivně prodloužená reálná čára nesmí být zaměňována s prodloužená řada reálných čísel, ve kterém $+\infty$ a $-\infty$ jsou odlišné.

Dělení nulou

Na rozdíl od většiny matematických modelů intuitivního pojmu „číslo“ tato struktura umožňuje dělení nulou:

{ displaystyle { frac {a} {0}} = infty}

pro nenulovou hodnotu A. Zejména $1/0 = \infty$ , a navíc $1/\infty = 0$ , tvorba reciproční, $1/ X$ , a celková funkce v této struktuře. Struktura však není pole, a žádná z binárních aritmetických operací není úplná, což dokazuje například $0\cdot\infty$ je nedefinováno navzdory tomu, že reciproční je celkový. Má však použitelné interpretace - například v geometrii má svislá čára nekonečný sklon.

Rozšíření skutečné linie

Projektivně prodloužená reálná čára rozšiřuje pole z reálná čísla stejným způsobem jako Riemannova koule rozšiřuje pole komplexní čísla, přidáním jediného bodu zvaného konvenčně ${ displaystyle infty}$ .

Naproti tomu prodloužená řada reálných čísel (také nazývaný dvoubodový zhutnění reálné linie) rozlišuje mezi ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$ .

Objednat

Vztah objednávky nelze rozšířit na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ smysluplným způsobem. Vzhledem k číslu ${ displaystyle a neq infty}$ , neexistuje ani žádný přesvědčivý argument k definování ${ displaystyle a> infty}$ nebo tak ${ displaystyle a < infty}$ . Od té doby ${ displaystyle infty}$ nelze srovnávat s žádným z ostatních prvků, nemá smysl tento vztah udržovat ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ . Objednávejte však dál ${ displaystyle mathbb {R}}$ se používá v definicích v ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ .

Geometrie

Základní myšlenka, že ∞ je bod nijak se neliší od ostatních je způsob, jakým je skutečná projektivní linie homogenní prostor, ve skutečnosti homeomorfní do a kruh. Například obecná lineární skupina 2 × 2 skutečné invertibilní matice má a tranzitivní akce na to. The skupinová akce mohou být vyjádřeny Möbiovy transformace, (také nazývané lineární frakční transformace), s tím, že když je jmenovatel lineární frakční transformace 0, obraz je ∞.

Podrobná analýza akce ukazuje, že pro všechny tři odlišné body P, Q a Rexistuje lineární frakční transformace P na 0, Q na 1 a R do ∞ to znamená, že skupina lineárních frakčních transformací je trojnásobná tranzitivní na skutečné projektivní linii. To nelze rozšířit na 4 n-tice bodů, protože křížový poměr je neměnný.

Terminologie projektivní linie je vhodné, protože body odpovídají 1-k-1 korespondenci s jednorozměrným lineární podprostory z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .

Aritmetické operace

Motivace pro aritmetické operace

Aritmetické operace v tomto prostoru jsou rozšířením stejných operací na realitách. Motivací pro nové definice jsou limity funkcí reálných čísel.

Aritmetické operace, které jsou definovány

Kromě standardních operací s podmnožinou ${ displaystyle mathbb {R}}$ z ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ , jsou definovány následující operace pro ${ displaystyle a in { widehat { mathbb {R}}}}$ , s uvedenými výjimkami:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} a + infty = infty + a & = infty, & a neq infty a- infty = infty -a & = infty, & a neq infty a / infty = a cdot 0 = 0 cdot a & = 0, & a neq infty infty / a & = infty, & a neq infty a / 0 = a cdot infty = infty cdot a & = infty, & a neq 0 0 / a & = 0, & a neq 0 end {zarovnáno}}}

Aritmetické operace, které zůstávají nedefinované

Následující výrazy nelze motivovat zvážením limitů reálných funkcí a žádná jejich definice neumožňuje zachování standardních algebraických vlastností ve formě beze změny pro všechny definované případy.^[A] V důsledku toho zůstávají nedefinované:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} & infty + infty & infty - infty & infty cdot 0 & 0 cdot infty & infty / infty & 0 / 0 end {zarovnáno}}}

Algebraické vlastnosti

Následující rovnosti znamenají: Buď jsou obě strany nedefinované, nebo jsou obě strany definované a stejné. To platí pro všechny ${ displaystyle a, b, c in { widehat { mathbb {R}}}}$ .

{ displaystyle { begin {zarovnáno} (a + b) + c & = a + (b + c) a + b & = b + a (a cdot b) cdot c & = a cdot (b cdot c) a cdot b & = b cdot a a cdot infty & = { frac {a} {0}} konec {zarovnáno}}}

Následující text platí vždy, když je definována pravá strana, pro libovolné ${ displaystyle a, b, c in { widehat { mathbb {R}}}}$ .

{ displaystyle { begin {zarovnáno} a cdot (b + c) & = a cdot b + a cdot c a & = ({ frac {a} {b}}) cdot b & = , , & { frac {(a cdot b)} {b}} a & = (a + b) -b & = , , & (ab) + b end {zarovnáno}}}

Obecně platí všechny aritmetické zákony, pro které platí ${ displaystyle mathbb {R}}$ jsou také platné pro ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ kdykoli jsou definovány všechny vyskytující se výrazy.

Intervaly a topologie

Koncept interval lze rozšířit na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ . Jelikož se však jedná o neuspořádanou množinu, interval má mírně odlišný význam. Definice uzavřených intervalů jsou následující (předpokládá se, že ${ displaystyle a, b in mathbb {R}, a$ ):

{ displaystyle { begin {aligned} left [a, b right] & = lbrace x mid x in mathbb {R}, a leq x leq b rbrace left [a, infty right] & = lbrace x mid x in mathbb {R}, a leq x rbrace cup lbrace infty rbrace left [b, a right] & = lbrace x mid x in mathbb {R}, b leq x rbrace cup lbrace infty rbrace cup lbrace x mid x in mathbb {R}, x leq a rbrace left [ infty, a right] & = lbrace infty rbrace cup lbrace x mid x in mathbb {R}, x leq a rbrace left [a, a right ] & = {a } vlevo [ infty, infty doprava] & = lbrace infty rbrace end {zarovnáno}}}

S výjimkou případů, kdy jsou koncové body stejné, jsou odpovídající otevřené a pootevřené intervaly definovány odstraněním příslušných koncových bodů.

${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ a prázdná množina jsou také také intervaly ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ kromě jednoho bodu.^[b]

Otevřené intervaly jako základna definovat a topologie na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ . Pro základnu postačují konečné otevřené intervaly v ${ displaystyle mathbb {R}}$ a intervaly ${ displaystyle (b, a) = {x mid x in mathbb {R}, b$ pro všechny ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle a$ .

Jak již bylo řečeno, topologie je homeomorfní do a kruh. Tak to je měřitelný odpovídající (pro daný homeomorfismus) běžné metrice v tomto kruhu (měřeno rovně nebo podél kruhu). Neexistuje žádná metrika, která by byla rozšířením běžné metriky ${ displaystyle mathbb {R}}$ .

Intervalová aritmetika

Intervalová aritmetika rozšiřuje na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ z ${ displaystyle mathbb {R}}$ . Výsledkem aritmetické operace na intervalech je vždy interval, s výjimkou případů, kdy intervaly s binární operací obsahují nekompatibilní hodnoty vedoucí k nedefinovanému výsledku.^[C] Zejména máme pro každého ${ displaystyle a, b in { widehat { mathbb {R}}}}$ :

{ displaystyle x in [a, b] iff { frac {1} {x}} in left [{ frac {1} {b}}, { frac {1} {a}} že jo],}

bez ohledu na to, zda některý interval zahrnuje ${ displaystyle 0}$ a ${ displaystyle infty}$ .

Počet

Nástroje počet lze použít k analýze funkcí ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ . Definice jsou motivovány topologií tohoto prostoru.

Sousedství

Nechat ${ displaystyle x in { widehat { mathbb {R}}}, A subseteq { widehat { mathbb {R}}}}$ .

A je sousedství z X, kdyby a jen kdyby A obsahuje otevřený interval B a ${ displaystyle x v B}$ .
A je pravostranné sousedství x, právě když existuje ${ displaystyle y in { widehat { mathbb {R}}} setminus {x }}$ takhle A obsahuje ${ displaystyle [x, y)}$ .
A je levostranné sousedství x, právě když existuje ${ displaystyle y in { widehat { mathbb {R}}} setminus {x }}$ takhle A obsahuje ${ displaystyle (y, x]}$ .
A je (pravostranný, levostranný) propíchnuté sousedství z Xpouze tehdy, pokud existuje ${ displaystyle B subseteq { widehat { mathbb {R}}}}$ takhle B je (pravostranný, levostranný) sousedství x, a ${ displaystyle A = B setminus {x }}$ .

Limity

Základní definice limitů

Nechat ${ displaystyle f: { widehat { mathbb {R}}} na { widehat { mathbb {R}}}, p in { widehat { mathbb {R}}}, L in { widehat { mathbb {R}}}}$ .

The omezit z f (x) tak jako X přístupy str je L, označeno

{ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = L}

jen a jen pro každou čtvrť A z L, existuje propíchnuté sousedství B z str, takový, že ${ displaystyle x v B}$ naznačuje ${ displaystyle f (x) v A}$ .

The jednostranný limit z f (x) tak jako X přístupy str zprava (zleva) je L, označeno

{ displaystyle lim _ {x až p ^ {+}} {f (x)} = L}

{ displaystyle left ( lim _ {x to p ^ {-}} {f (x)} = L right)}

jen a jen pro každou čtvrť A z L, je zde pravostranné (levostranné) propíchnuté sousedství B z str, takový, že ${ displaystyle x v B}$ naznačuje ${ displaystyle f (x) v A}$ .

To lze ukázat ${ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = L}$ jen a jen pokud obojí ${ displaystyle lim _ {x až p ^ {+}} {f (x)} = L}$ a ${ displaystyle lim _ {x až p ^ {-}} {f (x)} = L}$ .

Porovnání s limity v ${ displaystyle mathbb {R}}$

Výše uvedené definice lze srovnávat s obvyklými definicemi limitů reálných funkcí. V následujících prohlášeních ${ displaystyle p, L in mathbb {R}}$ , první limit je definován výše a druhý limit je v obvyklém smyslu:

${ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = L}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = L}$ .
${ displaystyle lim _ {x až infty ^ {+}} {f (x)} = L}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x to - infty} {f (x)} = L}$ .
${ displaystyle lim _ {x to infty ^ {-}} {f (x)} = L}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x až + infty} {f (x)} = L}$ .
${ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = infty}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x to p} {| f (x) |} = + infty}$ .
${ displaystyle lim _ {x až infty ^ {+}} {f (x)} = infty}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x to - infty} {| f (x) |} = + infty}$ .
${ displaystyle lim _ {x až infty ^ {-}} {f (x)} = infty}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle lim _ {x až + infty} {| f (x) |} = + infty}$ .

Rozšířená definice limitů

Nechat ${ displaystyle A subseteq { widehat { mathbb {R}}}}$ . Pak str je mezní bod z A právě když každé sousedství str zahrnuje bod ${ displaystyle v A}$ takhle ${ displaystyle y neq p}$ .

Nechat ${ displaystyle f: { widehat { mathbb {R}}} na { widehat { mathbb {R}}}, A subseteq { widehat { mathbb {R}}}, L v { widehat { mathbb {R}}}, p in { widehat { mathbb {R}}}}$ , str mezní bod A. Hranice f (x) tak jako X přístupy str přes A je L, právě když pro každou čtvrť B z L, existuje propíchnuté sousedství C z str, takový, že ${ displaystyle x v A cap C}$ naznačuje ${ displaystyle f (x) v B}$ .

To odpovídá pravidelné topologické definici kontinuity, která se aplikuje na topologie podprostoru na ${ displaystyle A cup lbrace p rbrace}$ a omezení F na ${ displaystyle A cup lbrace p rbrace}$ .

Kontinuita

Funkce

{ displaystyle f: { widehat { mathbb {R}}} na { widehat { mathbb {R}}}, quad p in { widehat { mathbb {R}}}.}

je kontinuální na $str$ kdyby a jen kdyby $F$ je definována na $str$ a

{ displaystyle lim _ {x až p} {f (x)} = f (p).}

Li ${ displaystyle A subseteq { widehat { mathbb {R}}},}$ funkce

{ displaystyle f: A to { widehat { mathbb {R}}}}

je nepřetržitý v $A$ právě když, pro každého ${ displaystyle p v A}$ , $F$ je definována na $str$ a limit $F (X)$ tak jako $X$ má sklony k $str$ přes $A$ je $F (str)$ .

Každý racionální funkce $P (X)/ Q (X)$ , kde $P$ a $Q$ jsou polynomy, lze jedinečným způsobem prodloužit na funkci z ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ to je kontinuální v ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ . To je zejména případ polynomiální funkce, které mají hodnotu ${ displaystyle infty}$ na ${ displaystyle infty,}$ pokud nejsou konstantní.

Také pokud tangenciální funkce $opálení$ je prodloužena tak, že

{ displaystyle tan left ({ frac { pi} {2}} + n pi right) = infty { text {for}} n in mathbb {Z},}

pak $opálení$ je nepřetržitý v ${ displaystyle mathbb {R},}$ ale nelze ji dále prodloužit na funkci, která je spojitá v ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}.}$

Mnoho základní funkce které jsou spojité v ${ displaystyle mathbb {R}}$ nelze prodloužit na funkce, které jsou nepřetržité v ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}.}$ To je například případ exponenciální funkce a všechno trigonometrické funkce. Například sinusová funkce je nepřetržitý v ${ displaystyle mathbb {R},}$ ale nelze to udělat kontinuální v ${ displaystyle infty.}$ Jak je vidět výše, tangenciální funkci lze prodloužit na funkci, která je spojitá v ${ displaystyle mathbb {R},}$ ale tuto funkci nelze nastavit nepřetržitě na ${ displaystyle infty.}$

Mnoho nespojitých funkcí, které se stávají nepřetržitými, když codomain je rozšířena na ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ zůstávají nespojité, pokud je doména rozšířena na afinně rozšířený systém reálných čísel ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}.}$ To je případ funkce ${ displaystyle x mapsto { frac {1} {x}}.}$ Na druhou stranu, některé funkce, které jsou spojité v ${ displaystyle mathbb {R}}$ a diskontinuální v ${ displaystyle infty v { widehat { mathbb {R}}}}$ stát se spojitým, pokud doména je rozšířena na ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}.}$ To je případ tečna oblouku.

Jako projektivní rozsah

Když skutečná projektivní linie je zvažován v kontextu skutečná projektivní rovina, pak důsledky Desarguesova věta jsou implicitní. Zejména stavba projektivní harmonický konjugát vztah mezi body je součástí struktury skutečné projektivní přímky. Například, vzhledem k libovolné dvojici bodů, bod v nekonečnu je projektivní harmonický konjugát jejich střed.

Tak jako projektivity zachovat harmonický vztah, tvoří automorfismy skutečné projektivní linie. Projektivity jsou algebraicky popsány jako homografie, protože reálná čísla tvoří a prsten, podle obecné konstrukce a projektivní čára přes prsten. Společně tvoří skupinu PGL (2, R).

Nazývají se projektivity, které jsou jejich vlastními inverzemi involuce. A hyperbolická involuce má dva pevné body. Dva z nich odpovídají elementárním aritmetickým operacím na skutečné projektivní linii: negace a odplata. Ve skutečnosti jsou 0 a ∞ fixovány pod negací, zatímco 1 a −1 jsou fixovány pod oplácením.

Poznámky

^ Existuje však rozšíření, ve kterém jsou všechny algebraické vlastnosti omezeny na definované operace v ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ , vyřešit standardní pravidla: viz Teorie kol.
^ Je-li vyžadována konzistence doplňování, taková ${ displaystyle [a, b] ^ { doplněk} = (b, a)}$ a ${ displaystyle (a, b] ^ { doplněk} = (b, a]}$ pro všechny ${ displaystyle a, b in { widehat { mathbb {R}}}}$ (kde je definován interval na obou stranách), všechny intervaly kromě ${ displaystyle varnothing}$ a ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}}}$ mohou být přirozeně reprezentovány pomocí této notace, s ${ displaystyle (a, a)}$ interpretován jako ${ displaystyle { widehat { mathbb {R}}} setminus {a }}$ a polootevřené intervaly se stejnými koncovými body, např. ${ displaystyle (a, a]}$ , zbývající nedefinováno.
^ Například poměr intervalů ${ displaystyle [0,1] / [0,1]}$ obsahuje ${ displaystyle 0}$ v obou intervalech a od té doby ${ displaystyle 0/0}$ je nedefinováno, výsledek rozdělení těchto intervalů není definován.