Funkce s více hodnotami - Multivalued function
![]() | Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Funkce | |||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
X ↦ F (X) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Příklady od doména a codomain | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
Třídy / vlastnosti | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Konstantní · Identita · Lineární · Polynomiální · Racionální · Algebraický · Analytický · Hladký · Kontinuální · Měřitelný · Injekční · Surjective · Bijective | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Stavby | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Omezení · Složení · λ · Inverzní | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Zobecnění | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Částečný · Více hodnot · Implicitní | |||||||||||||||||||||||||||||||||

v matematika, a funkce s více hodnotami, také zvaný multifunkční, mnohohodnotná funkce, funkce se stanovenou hodnotou, je podobný a funkce, ale může ke každému vstupu přiřadit několik hodnot. Přesněji řečeno, funkce s více hodnotami od a doména X do a codomain Y přidruží každého X v X na jednu nebo více hodnot y v Y; je to tedy a sériový binární vztah.[Citace je zapotřebí ] Někteří autoři umožňují, aby funkce s více hodnotami neměla pro některé vstupy žádnou hodnotu (v tomto případě je funkce s více hodnotami jednoduše binární relací).[Citace je zapotřebí ]
V některých kontextech, například v komplexní analýza (X = Y = ℂ), autoři raději napodobují teorii funkcí, protože rozšiřují pojmy běžných (jednohodnotových) funkcí. V této souvislosti obyčejný funkce se často nazývá a funkce s jednou hodnotou vyhnout se zmatku.
Termín funkce s více hodnotami vznikl při komplexní analýze od analytické pokračování. Často se stává, že člověk zná hodnotu komplexu analytická funkce v některých sousedství bodu . To je případ funkcí definovaných věta o implicitní funkci nebo a Taylor série kolem . V takové situaci lze rozšířit doménu funkce s jednou hodnotou podél křivek v komplexní rovině začínající na . Přitom zjistíme, že hodnota rozšířené funkce v bodě závisí na zvolené křivce z na ; protože žádná z nových hodnot není přirozenější než ostatní, všechny jsou začleněny do funkce s více hodnotami. Například pojďme být obvyklý odmocnina funkce na kladných reálných číslech. Jeden může rozšířit svou doménu na sousedství v komplexní rovině a poté dále podél křivek začínajících na , takže se hodnoty podél dané křivky průběžně mění . Při rozšíření na záporná reálná čísla získá člověk dvě opačné hodnoty druhé odmocniny, jako je , v závislosti na tom, zda byla doména prodloužena horní nebo dolní polovinou komplexní roviny. Tento jev je velmi častý a vyskytuje se u nth kořeny, logaritmy, a inverzní trigonometrické funkce.
Chcete-li definovat funkci s jednou hodnotou ze složité funkce s více hodnotami, lze rozlišit jednu z více hodnot jako hlavní hodnota, produkující jednohodnotovou funkci na celé rovině, která je nespojitá podél určitých hraničních křivek. Alternativně řešení funkce s více hodnotami umožňuje mít něco, co je všude spojité, za cenu možných změn hodnoty, když člověk sleduje uzavřenou cestu (monodromy ). Tyto problémy jsou řešeny v teorii Riemannovy povrchy: zvážit funkci s více hodnotami jako běžná funkce bez vyřazení jakýchkoli hodnot vynásobíte doménu do vícevrstvých pokrývající prostor, a potrubí což je Riemannova plocha spojená s .
Příklady
- Každý reálné číslo větší než nula má dvě skutečné odmocniny, takže druhou odmocninu lze považovat za funkci s více hodnotami. Například můžeme psát ; i když nula má pouze jednu druhou odmocninu, .
- Každý nenulový komplexní číslo má dvě odmocniny, tři kořeny kostky a obecně n nth kořeny. Jediný nth kořen 0 je 0.
- The komplexní logaritmus funkce má více hodnot. Hodnoty předpokládané pro reálná čísla a jsou pro všechny celá čísla .
- Inverzní trigonometrické funkce mají více hodnot, protože trigonometrické funkce jsou periodické. My máme
- V důsledku toho arctan (1) intuitivně souvisí s několika hodnotami: π/4, 5π/4, −3π/ 4 atd. S arctanem můžeme zacházet jako s funkcí s jednou hodnotou omezením domény opálení X na −π/2 < X < π/2 - doména, nad kterou se opaluje X monotónně roste. Rozsah arctanu (X) se stává −π/2 < y < π/2. Tyto hodnoty z omezené domény se nazývají hlavní hodnoty.
- The neurčitý integrál lze považovat za funkci s více hodnotami. Neurčitý integrál funkce je množina funkcí, jejichž derivací je tato funkce. The konstanta integrace vyplývá ze skutečnosti, že derivace konstantní funkce je 0.
- The argmax například má více hodnot
Toto jsou všechny příklady vícehodnotových funkcí, které vycházejí zinjekční funkce. Protože původní funkce nezachovávají všechny informace o svých vstupech, nejsou reverzibilní. Omezení funkce s více hodnotami je často částečná inverze původní funkce.
Funkce s více hodnotami komplexní proměnné mají odbočné body. Například pro nth root a logaritmus funkce, 0 je větev bod; pro arkustangensovou funkci imaginární jednotky i a -i jsou body odbočky. Pomocí větvených bodů lze tyto funkce předefinovat jako funkce s jednou hodnotou, a to omezením rozsahu. Vhodný interval lze najít pomocí a větev řez, druh křivky, která spojuje páry odbočných bodů, čímž se snižuje vícevrstvá Riemannův povrch funkce do jedné vrstvy. Stejně jako v případě skutečných funkcí lze omezený rozsah nazývat hlavní větev funkce.
Stanovená hodnota
Stanovená hodnota je studium sad v duchu matematická analýza a obecná topologie.
Namísto zvažování sbírek pouze bodů se při analýze s hodnotami v úvahu uvažují sbírky sád. Pokud je kolekce sad vybavena topologií nebo zdědí příslušnou topologii ze základního topologického prostoru, lze studovat konvergenci sad.
Hodně z hodnotové analýzy vzniklo studiem matematická ekonomie a optimální ovládání, částečně jako generalizace konvexní analýza; termín "variační analýza "používají autoři jako R. Tyrrell Rockafellar a Roger J-B Wets, Jonathan Borwein a Adrian Lewis, a Boris Mordukhovič. V teorii optimalizace konvergence aproximace subdiferenciály k subdiferenciálu je důležité pro pochopení nezbytných nebo dostatečných podmínek pro každý minimalizující bod.
Z analýzy s bodovou hodnotou existují rozšíření s následující hodnotou: kontinuita, diferenciace, integrace,[1] věta o implicitní funkci, mapování kontrakcí, teorie míry, věty o pevném bodě,[2] optimalizace, a teorie topologické míry.
Rovnice jsou zobecněny na inkluze.
Typy funkcí s více hodnotami
Lze rozlišit několik generalizujících pojmů kontinuita, tak jako uzavřený graf majetek a horní a dolní polokontinuita[A]. Existují také různé zobecnění opatření k multifunkcím.
Aplikace
Multifunkce vznikají v teorie optimálního řízení, zvláště diferenciální inkluze a související předměty jako herní teorie, Kde Kakutaniho věta o pevném bodě pro multifunkčnost byla použita k prokázání existence Nashovy rovnováhy (v kontextu teorie her se funkce s více hodnotami obvykle označuje jako a korespondence). To mezi mnoha dalšími vlastnostmi volně spojenými s aproximací horních hemikontinuitních multifunkcí prostřednictvím spojitých funkcí vysvětluje, proč je horní hemikontinuita výhodnější než nižší hemikontinuita.
Nižší polokontinuální multifunkce však obvykle mají kontinuální výběry, jak je uvedeno v Věta o Michaelově výběru, který poskytuje další charakteristiku paracompact mezery.[3][4] Další věty o výběru, například směrová spojitá selekce Bressan-Colombo, Kuratowski a Ryll-Nardzewski věta o měřitelném výběru, Aumann měřitelný výběr a Fryszkowski výběr pro rozložitelné mapy jsou důležité v optimální ovládání a teorie diferenciální inkluze.
Ve fyzice hrají funkce s více hodnotami stále důležitější roli. Tvoří matematický základ pro Dirac je magnetické monopoly, pro teorii vady v krystalech a výsledný plasticita materiálů, pro víry v supertekutiny a supravodiče, a pro fázové přechody například v těchto systémech tání a uzavření kvarku. Jsou původem měřicí pole struktury v mnoha oborech fyziky.[Citace je zapotřebí ]
Kontrast s
Viz také
- Tlustý odkaz, hypertextový odkaz jedna k mnoha
- Intervalový konečný prvek
- Částečná funkce
Reference
- ^ Aumann, Robert J. (1965). "Integrály funkcí s nastavenou hodnotou". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 12 (1): 1–12. doi:10.1016 / 0022-247X (65) 90049-1.
- ^ Kakutani, Shizuo (1941). „Zobecnění Brouwerovy věty o pevném bodě“. Duke Mathematical Journal. 8 (3): 457–459. doi:10.1215 / S0012-7094-41-00838-4.
- ^ Ernest Michael (Březen 1956). "Kontinuální výběry. I" (PDF). Annals of Mathematics. Druhá série. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz / 119700. JSTOR 1969615.
- ^ Dušan Repovš; P.V. Semenov (2008). „Ernest Michael a teorie spojitých výběrů“. Topologie Appl. 155 (8): 755–763. arXiv:0803.4473. doi:10.1016 / j.topol.2006.06.011.
Poznámky
- ^ Někteří autoři používají termín „polokontinuální“ místo „polokontinuální“.
Další čtení
- C. D. Aliprantis a K. C. Border, Nekonečná dimenzionální analýza. Stopařův průvodceSpringer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006
- J. Andres a L. Górniewicz, Topologické zásady pevného bodu pro problémy mezní hodnoty, Kluwer Academic Publishers, 2003
- J.-P. Aubin a A. Cellina, Diferenciální inkluze, mapy s hodnotami a teorie životaschopnostiGrundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlín, 1984
- J.-P. Aubin a H. Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basilej, 1990
- K. Deimling, Vícehodnotové diferenciální rovnice, Walter de Gruyter, 1992
- Geletu, A. (2006). „Úvod do topologických prostorů a map s nastavenou hodnotou“ (PDF). Poznámky z přednášky. Technische Universität Ilmenau.
- H. Kleinert, Pole s více hodnotami v kondenzovaných látkách, elektrodynamice a gravitaci, World Scientific (Singapur, 2008) (také dostupný online )
- H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Sv. I: Superflow a Vortex Lines, 1–742, sv. II: Stresy a defekty, 743–1456, World Scientific, Singapur, 1989 (k dispozici také online: Sv. Já a Sv. II )
- D. Repovš a P.V. Semenov, Kontinuální výběr mapování s více hodnotami, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
- E. U. Tarafdar a M. S. R. Chowdhury, Topologické metody pro nelineární analýzu se stanovenou hodnotou, World Scientific, Singapur, 2008
- Mitroi, F.-C .; Nikodem, K .; Wąsowicz, S. (2013). „Nerovnosti Hermite-Hadamard pro konvexní funkce s oceněnou hodnotou“. Demonstratio Mathematica. 46 (4): 655–662. doi:10.1515 / dema-2013-0483.