Nuly a póly - Zeros and poles

Matematická analýza → Složitá analýza
Složitá analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Složitý konjugát Komplexní číslo jednotky
Složité funkce
Funkce s komplexní hodnotou Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchy – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyho integrální věta Místní primitiv Cauchyho integrální vzorec Vinutí číslo Laurentova řada Izolovaná singularita Věta o zbytku Konformní mapa Schwarzovo lema Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál

v komplexní analýza (obor matematiky) je pól určitým typem jedinečnost funkce, poblíž které se funkce chová relativně pravidelně, na rozdíl od základní singularity, například 0 pro funkce logaritmu, a odbočné body, například 0 pro komplex funkce odmocniny.

Funkce F a komplexní proměnná z je meromorfní v sousedství bodu z₀ pokud ano F nebo jeho reciproční funkce 1/F je holomorfní v nějaké čtvrti z₀ (tj. pokud F nebo 1/F je komplexní diferencovatelné v sousedstvíz₀).

A nula meromorfní funkce F je komplexní číslo z takhle F(z) = 0. A pól z F je nula z 1/F.

To vyvolává dualitu mezi nuly a póly, který je získán nahrazením funkce F jeho vzájemností 1/F. Tato dualita je základem pro studium meromorfních funkcí. Například pokud je funkce meromorfní jako celek složité letadlo, včetně bod v nekonečnu, pak součet multiplicity jeho pólů se rovná součtu multiplicit jeho nul.

Definice

A funkce komplexní proměnné z je holomorfní v otevřená doména U Pokud to je rozlišitelný s ohledem na z v každém bodě U. Ekvivalentně je holomorfní, pokud ano analytický, tj. pokud je Taylor série existuje v každém bodě U, a v některých konverguje k funkci sousedství bodu. Funkce je meromorfní v U pokud každý bod U má takové sousedství F nebo 1/F je v něm holomorfní.

A nula meromorfní funkce F je komplexní číslo z takhle F(z) = 0. A pól z F je nula 1/F.

Li F je funkce, která je meromorfní v sousedství bodu ${ displaystyle z_ {0}}$ z složité letadlo, pak existuje celé číslo n takhle

${ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {n} f (z)}$

je holomorfní a nenulová v sousedství ${ displaystyle z_ {0}}$ (je to důsledek analytické vlastnosti) n > 0, pak ${ displaystyle z_ {0}}$ je pól z objednat (nebo multiplicita) n z F. Li n < 0, pak ${ displaystyle z_ {0}}$ je nula řádu ${ displaystyle | n |}$ z F. Jednoduchá nula a jednoduchá tyč jsou výrazy používané pro nuly a póly řádu ${ displaystyle | n | = 1.}$ Stupeň se někdy používá synonymně k objednávce.

Tato charakterizace nul a pólů znamená, že nuly a póly jsou izolovaný, to znamená, že každá nula nebo pól má sousedství, které neobsahuje žádnou jinou nulu a pól.

Kvůli objednat nul a pólů definovaných jako nezáporné číslo n a symetrii mezi nimi je často užitečné vzít v úvahu pól řádu n jako nula řádu –n a nula řádu n jako pól řádu –n. V tomto případě je bod, který není ani pólem, ani nulou, považován za pól (nebo nulu) řádu 0.

Meromorfní funkce může mít nekonečně mnoho nul a pólů. To je případ funkce gama (viz obrázek v infoboxu), který je meromorfní v celé komplexní rovině a má jednoduchý pól u každého kladného celého čísla. The Funkce Riemann zeta je také meromorfní v celé komplexní rovině s jediným pólem řádu 1 v z = 1. Jeho nuly v levé polorovině jsou všechna záporná sudá celá čísla a Riemannova hypotéza je domněnka, že všechny ostatní nuly jsou spolu Re(z) = 1/2.

V sousedství bodu ${ displaystyle z_ {0},}$ nenulová meromorfní funkce F je součet a Laurentova řada s maximálně konečným hlavní část (výrazy se zápornými hodnotami indexu):

${ displaystyle f (z) = součet _ {k geq -n} a_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}$

kde n je celé číslo a ${ displaystyle a _ {- n} neq 0.}$ Opět, pokud n > 0 (součet začíná ${ displaystyle a _ {- | n |} (z-z_ {0}) ^ {- | n |}}$, hlavní část má n podmínky), jeden má pól řádu n, a pokud n ≤ 0 (součet začíná ${ displaystyle a_ {| n |} (z-z_ {0}) ^ {| n |}}$, neexistuje žádná hlavní část), jedna má nulu řádu ${ displaystyle | n |}$.

V nekonečnu

Funkce ${ displaystyle z mapsto f (z)}$ je meromorfní v nekonečnu pokud je meromorfní v nějakém sousedství nekonečna (to je mimo některé disk ) a existuje celé číslo n takhle

${ displaystyle lim _ {z to infty} { frac {f (z)} {z ^ {n}}}}$

existuje a je nenulové komplexní číslo.

V tomto případě bod v nekonečnu je pól řádu n -li n > 0a nula řádu ${ displaystyle | n |}$ -li n < 0.

Například a polynomiální stupně n má diplom n v nekonečnu.

The složité letadlo rozšířený o bod v nekonečnu se nazývá Riemannova koule.

Li F je funkce, která je meromorfní na celé Riemannově sféře, má konečný počet nul a pólů a součet řádů jeho pólů se rovná součtu řádů jeho nul.

Každý racionální funkce je meromorfní na celé Riemannově sféře a v tomto případě je součet řádů nul nebo pólů maximální ze stupňů čitatele a jmenovatele.

Příklady

Pól řádu 9, v nekonečnu, pro a funkce polynomiálního komplexu stupně 9, jako je ${ displaystyle f (z) = z ^ {9}}$

• Funkce

${ displaystyle f (z) = { frac {3} {z}}}$

je meromorfní na celé Riemannově sféře. Má pól řádu 1 nebo jednoduchý pól ${ displaystyle z = 0,}$ a jednoduchá nula v nekonečnu.

• Funkce

${ displaystyle f (z) = { frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}}$

je meromorfní na celé Riemannově sféře. Má pól řádu 2 v ${ displaystyle z = 5,}$ a tyč řádu 3 v ${ displaystyle z = -7}$. Má jednoduchou nulu na ${ displaystyle z = -2,}$ a čtyřnásobná nula v nekonečnu.

• Funkce

${ displaystyle f (z) = { frac {z-4} {e ^ {z} -1}}}$

je meromorfní v celé komplexní rovině, ale ne v nekonečnu. Má póly řádu 1 v ${ displaystyle z = 2 pi ni { text {pro}} n v mathbb {Z}}$. To lze vidět napsáním Taylor série z ${ displaystyle e ^ {z}}$ kolem původu.

• Funkce

${ displaystyle f (z) = z}$

má jeden pól v nekonečnu řádu 1 a jedinou nulu v počátku.

Všechny výše uvedené příklady s výjimkou třetího jsou racionální funkce. Obecnou diskusi o nulách a pólech těchto funkcí viz Pól – nula plot § Systémy s kontinuálním časem.

Funkce na křivce

Koncept nul a pólů se přirozeně rozšiřuje i na funkce na a složitá křivka, to je komplexní analytické potrubí dimenze jedna (přes komplexní čísla). Nejjednodušší příklady takových křivek jsou složité letadlo a Riemannův povrch. Toto rozšíření se provádí přenosem struktur a vlastností prostřednictvím grafy, které jsou analytické izomorfismy.

Přesněji řečeno F být funkcí ze složité křivky M na komplexní čísla. Tato funkce je holomorfní (resp. Meromorfní) v sousedství bodu z z M pokud existuje graf ${ displaystyle phi}$ takhle ${ displaystyle f circ phi ^ {- 1}}$ je holomorfní (resp. meromorfní) v sousedství ${ displaystyle phi (z).}$ Pak, z je pól nebo nula řádu n pokud totéž platí pro ${ displaystyle phi (z).}$

Pokud je křivka kompaktní a funkce F je na celé křivce meromorfní, pak je počet nul a pólů konečný a součet řádů pólů se rovná součtu řádů nul. Toto je jeden ze základních faktů, o které se jedná Riemann – Rochova věta.

Viz také

• Teorie řízení # Stabilita
• Návrh filtru
• Filtr (zpracování signálu)
• Gauss – Lucasova věta
• Hurwitzova věta (komplexní analýza)
• Mardenova věta
• Nyquistovo kritérium stability
• Pól – nula
• Zbytky (komplexní analýza)
• Rouchéova věta
• Sendovova domněnka

Reference

• Conway, John B. (1986). Funkce jedné komplexní proměnné I.. Springer. ISBN  0-387-90328-3.
• Conway, John B. (1995). Funkce jedné komplexní proměnné II. Springer. ISBN  0-387-94460-5.
• Henrici, Peter (1974). Aplikovaná a výpočetní komplexní analýza 1. John Wiley & Sons.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Pól". MathWorld.