Toroidní souřadnice - Toroidal coordinates

Ilustrace toroidních souřadnic, které jsou získány rotací dvourozměrného bipolární souřadnicový systém kolem osy oddělující její dvě ohniska. Ohniska jsou umístěna ve vzdálenosti 1 od svislice z-osa. Část červené koule, která leží nad rovinou $ xy $, je σ = 30 ° isosurface, modrý torus je τ = 0,5 isosurface a žlutá polorovina je φ = 60 ° isosurface. Zelená polorovina označuje X-z rovina, ze které se měří φ. Černý bod se nachází na křižovatce červeného, ​​modrého a žlutého isosurface, zhruba na kartézských souřadnicích (0,996, -1,725, 1,911).

Toroidní souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém který je výsledkem otáčení dvourozměrného bipolární souřadnicový systém kolem osy, která odděluje její dvě ohniska. Tedy dva ohniska ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ v bipolární souřadnice stát se prstencem o poloměru ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle xy}$ rovina toroidního souřadnicového systému; the ${ displaystyle z}$-osa je osa otáčení. Focal ring je také známý jako referenční kruh.

Definice

Nejběžnější definice toroidních souřadnic ${ displaystyle ( sigma, tau, phi)}$ je

${ displaystyle x = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}} cos phi}$

${ displaystyle y = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}} sin phi}$

${ displaystyle z = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

dohromady s ${ displaystyle mathrm {znamení} ( sigma) = mathrm {znamení} (z}$) ${ displaystyle sigma}$ souřadnice bodu ${ displaystyle P}$ rovná se úhel ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ a ${ displaystyle tau}$ souřadnice se rovná přirozený logaritmus poměru vzdáleností ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ na opačné strany ohniskového prstence

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}$

Rozsahy souřadnic jsou ${ displaystyle - pi < sigma leq pi}$ a ${ displaystyle tau geq 0}$ a ${ displaystyle 0 leq phi <2 pi.}$

Souřadné plochy

Rotující tento dvourozměrný bipolární souřadnicový systém kolem svislé osy vytváří trojrozměrný toroidní souřadný systém výše. Kruh na svislé ose se změní na červenou koule, zatímco kruh na vodorovné ose se změní na modrý torus.

Plochy konstantní ${ displaystyle sigma}$ odpovídají sférám různých poloměrů

${ displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} right) + left (za cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

že všichni procházejí ohniskovým prstencem, ale nejsou soustřední. Plochy konstanty ${ displaystyle tau}$ jsou neprotínající se tori různých poloměrů

${ displaystyle z ^ {2} + left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - a coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ { 2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

které obklopují ohnisko. Středy konstantní-${ displaystyle sigma}$ koule leží podél ${ displaystyle z}$-os, zatímco konstanta-${ displaystyle tau}$ tori jsou soustředěni v ${ displaystyle xy}$ letadlo.

Inverzní transformace

The ${ displaystyle ( sigma, tau, phi)}$ souřadnice lze vypočítat z kartézských souřadnic (X, y, z) jak následuje. Azimutální úhel ${ displaystyle phi}$ je dáno vzorcem

${ displaystyle tan phi = { frac {y} {x}}}$

Válcový poloměr ${ displaystyle rho}$ bodu P je dáno vztahem

${ displaystyle rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$

a jeho vzdálenosti k ohniskům v rovině definované ${ displaystyle phi}$ darováno

${ displaystyle d_ {1} ^ {2} = ( rho + a) ^ {2} + z ^ {2}}$

${ displaystyle d_ {2} ^ {2} = ( rho -a) ^ {2} + z ^ {2}}$

Geometrická interpretace souřadnic σ a τ bodu P. Pozorováno v rovině konstantního azimutálního úhlu ${ displaystyle phi}$, toroidní souřadnice jsou ekvivalentní bipolární souřadnice. Úhel ${ displaystyle sigma}$ je tvořen dvěma ložisky v této rovině a P, zatímco ${ displaystyle tau}$ je logaritmus poměru vzdáleností k ohniskům. Odpovídající kruhy konstanty ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle tau}$ jsou zobrazeny červeně a modře a setkávají se v pravých úhlech (purpurová rámeček); jsou ortogonální.

Souřadnice ${ displaystyle tau}$ rovná se přirozený logaritmus ohniskových vzdáleností

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

zatímco ${ displaystyle | sigma |}$ se rovná úhlu mezi paprsky k ohniskům, který lze určit z zákon kosinů

${ displaystyle cos sigma = { frac {d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} -4a ^ {2}} {2d_ {1} d_ {2}}}.}$

Nebo výslovně, včetně znamení,

${ displaystyle sigma = mathrm {znamení} (z) arccos { frac {r ^ {2} -a ^ {2}} { sqrt {((r ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} -4 rho ^ {2} a ^ {2}}}}}$

kde ${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$.

Transformace mezi válcovými a toroidními souřadnicemi lze vyjádřit složitým zápisem jako

${ displaystyle z + i rho = ia coth { frac { tau + i sigma} {2}},}$

${ displaystyle tau + i sigma = ln { frac {z + i ( rho + a)} {z-i ( rho -a)}}}$

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro toroidní souřadnice ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle tau}$ jsou rovny

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

zatímco faktor azimutální stupnice se rovná

${ displaystyle h _ { phi} = { frac {a sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}}$

Infinitezimální objemový prvek se tedy rovná

${ displaystyle dV = { frac {a ^ {3} sinh tau} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}}} , d sigma , d tau , d phi}$

Diferenciální operátoři

Laplacian je dán

${ displaystyle { begin {aligned} nabla ^ {2} Phi = { frac { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}} {a ^ {2} sinh tau}} & left [ sinh tau { frac { částečné} { částečné sigma}} left ({ frac {1} { cosh tau - cos sigma}} { frac { částečné Phi} { částečné sigma}} pravé) pravé. [8pt] & {} quad + levé. { frac { částečné} { částečné tau}} levé ( { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}} { frac { částečný Phi} { částečný tau}} pravý) + { frac {1} { sinh tau left ( cosh tau - cos sigma right)}} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné phi ^ {2}}} vpravo] konec {zarovnáno }}}$

Pro vektorové pole ${ displaystyle { vec {n}} ( tau, sigma, phi) = n _ { tau} ( tau, sigma, phi) { hat {e}} _ { tau} + n_ { sigma} ( tau, sigma, phi) { hat {e}} _ { sigma} + n _ { phi} ( tau, sigma, phi) { hat {e}} _ { phi}}$je vektor Laplacian dán vztahem

${ displaystyle Delta { vec {n}} ( tau, sigma, phi) = nabla ( nabla cdot { vec {n}}) - nabla krát ( nabla krát { vec {n}})}$

${ displaystyle = { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {e}} _ { tau} left {n _ { tau} left (- { frac { sinh ^ {4} tau + ( cosh tau - cos sigma) ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}} vpravo) + n _ { sigma} (- sinh tau sin sigma) + { frac { částečné n _ { tau}} { částečné tau}} levé ({ frac {( cosh tau - cos sigma) (1- cosh tau cos sigma)} { sinh tau}} vpravo) + ldots vpravo.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { tau}} { částečné sigma}} (- ( cosh tau - cos sigma) sin sigma) + { frac { částečný n _ { sigma}} { částečný sigma}} (2 ( cosh tau - cos sigma) sinh tau) + { frac { částečný n _ { sigma}} { částečný tau }} (- 2 ( cosh tau - cos sigma) sin sigma) + ldots vpravo.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { phi}} { částečné phi}} vlevo ({ frac {-2 ( cosh tau - cos sigma) (1- cosh tau cos sigma)} { sinh ^ {2} tau}} vpravo) + { frac { částečné ^ {2} n _ { tau}} {{ částečné tau} ^ {2 }}} ( cosh tau - cos sigma) ^ {2} + { frac { částečné ^ {2} n _ { tau}} {{ částečné sigma} ^ {2}}} (- ( cosh tau - cos sigma) ^ {2}) + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné ^ {2} n _ { tau}} {{ částečné phi} ^ {2}}} { frac {( cosh tau - cos sigma ) ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}} doprava }}$

${ displaystyle + { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {e}} _ { sigma} left {n _ { tau} left (- { frac {( cosh ^ {2} tau + 1-2 cosh tau cos sigma) sin sigma} { sinh tau}} vpravo) + n _ { sigma} vlevo (- sinh ^ {2} tau -2 sin ^ {2} sigma right) + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { tau}} { částečné tau}} (2 sin sigma ( cosh tau - cos sigma)) + { frac { částečné n _ { tau}} { částečné sigma}} vlevo (-2 sinh tau ( cosh tau - cos sigma) vpravo) + ldots vpravo.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečný n _ { sigma}} { částečný tau}} left ({ frac {( cosh tau - cos sigma) (1- cosh tau cos sigma)} { sinh tau}} vpravo) + { frac { částečné n _ { sigma}} { částečné sigma}} (- ( cosh tau - cos sigma) sin sigma) + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { phi}} { částečné phi}} vlevo (2 { frac {( cosh tau - cos sigma) sin sigma} { sinh tau}} vpravo) + { frac { částečné ^ {2} n _ { sigma}} {{ částečné tau} ^ {2}}} ( cosh tau - cos sigma ) ^ {2} + { frac { částečné ^ {2} n _ { sigma}} {{ částečné sigma} ^ {2}}} ( cosh tau - cos sigma) ^ {2} + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné ^ {2} n _ { sigma}} {{ částečné phi} ^ {2}}} vlevo ({ frac {( cosh tau - cos sigma) ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}} vpravo) vpravo }}$

${ displaystyle + { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {e}} _ { phi} vlevo {n _ { phi} vlevo (- { frac {( cosh tau - cos sigma) ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}} vpravo) + { frac { částečné n _ { tau}} { částečné phi}} vlevo ( { frac {2 ( cosh tau - cos sigma) (1- cosh tau cos sigma)} { sinh ^ {2} tau}} right) + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { sigma}} { částečné phi}} vlevo (- { frac {2 ( cosh tau - cos sigma) sin sigma } { sinh tau}} vpravo) + { frac { částečné n _ { phi}} { částečné tau}} vlevo ({ frac {( cosh tau - cos sigma) ( 1- cosh tau cos sigma)} { sinh tau}} vpravo) + ldots vpravo.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné n _ { phi}} { částečné sigma}} (- ( cosh tau - cos sigma) sin sigma) + { frac { částečné ^ {2} n _ { phi}} {{ částečné tau} ^ {2}}} ( cosh tau - cos sigma) ^ {2} + ldots right.}$

${ displaystyle left. + { frac { částečné ^ {2} n _ { phi}} {{ částečné sigma} ^ {2}}} ( cosh tau - cos sigma) ^ {2 } + { frac { částečné ^ {2} n _ { phi}} {{ částečné phi} ^ {2}}} vlevo ({ frac {( cosh tau - cos sigma) ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}} vpravo) vpravo }}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( sigma, tau, phi)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Toroidní harmonické

Standardní oddělení

3 proměnná Laplaceova rovnice

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = 0}$

připouští řešení prostřednictvím oddělení proměnných v toroidních souřadnicích. Střídání

${ displaystyle Phi = U { sqrt { cosh tau - cos sigma}}}$

Poté se získá oddělitelná rovnice. Konkrétní řešení získané oddělení proměnných je:

${ displaystyle Phi = { sqrt { cosh tau - cos sigma}} , , S _ { nu} ( sigma) T _ { mu nu} ( tau) V _ { mu} ( phi)}$

kde každá funkce je lineární kombinací:

${ displaystyle S _ { nu} ( sigma) = e ^ {i nu sigma} , , , , mathrm {a} , , , , e ^ {- i nu sigma}}$

${ displaystyle T _ { mu nu} ( tau) = P _ { nu -1/2} ^ { mu} ( cosh tau) , , , , mathrm {a} , , , , Q _ { nu -1/2} ^ { mu} ( cosh tau)}$

${ displaystyle V _ { mu} ( phi) = e ^ {i mu phi} , , , , mathrm {a} , , , , e ^ {- i mu phi}}$

Kde P a Q jsou související funkce Legendre prvního a druhého druhu. Tyto funkce Legendre jsou často označovány jako toroidní harmonické.

Toroidní harmonické mají mnoho zajímavých vlastností. Pokud provedete proměnnou náhradu ${ displaystyle z = cosh tau> 1}$ pak například s mizejícím řádem ${ displaystyle mu = 0}$ (podle konvence se nepíše objednávka, když zmizí) a ${ displaystyle nu = 0}$

${ displaystyle Q _ {- { frac {1} {2}}} (z) = { sqrt { frac {2} {1 + z}}} K vlevo ({ sqrt { frac {2} {1 + z}}} vpravo)}$

a

${ displaystyle P _ {- { frac {1} {2}}} (z) = { frac {2} { pi}} { sqrt { frac {2} {1 + z}}} K vlevo ({ sqrt { frac {z-1} {z + 1}}} doprava)}$

kde ${ displaystyle , ! K}$ a ${ displaystyle , ! E}$ jsou kompletní eliptické integrály z za prvé a druhý laskavě resp. Zbytek toroidních harmonických lze získat například z hlediska úplných eliptických integrálů pomocí relací opakování pro přidružené funkce Legendre.

Klasické aplikace toroidních souřadnic jsou v řešení parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice pro které toroidní souřadnice umožňují a oddělení proměnných nebo Helmholtzova rovnice, u nichž toroidní souřadnice neumožňují oddělení proměnných. Typickými příklady by byly elektrický potenciál a elektrické pole vodivého torusu nebo v degenerovaném případě elektrického proudu (Hulme 1982).

Alternativní oddělení

Alternativně lze provést jinou substituci (Andrews 2006)

${ displaystyle Phi = { frac {U} { sqrt { rho}}}}$

kde

${ displaystyle rho = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = { frac {a sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}.}$

Opět se získá oddělitelná rovnice. Konkrétní řešení získané oddělení proměnných je pak:

${ displaystyle Phi = { frac {a} { sqrt { rho}}} , , S _ { nu} ( sigma) T _ { mu nu} ( tau) V _ { mu} ( phi)}$

kde každá funkce je lineární kombinací:

${ displaystyle S _ { nu} ( sigma) = e ^ {i nu sigma} , , , , mathrm {a} , , , , e ^ {- i nu sigma}}$

${ displaystyle T _ { mu nu} ( tau) = P _ { mu -1/2} ^ { nu} ( coth tau) , , , , mathrm {and} , , , , Q _ { mu -1/2} ^ { nu} ( coth tau)}$

${ displaystyle V _ { mu} ( phi) = e ^ {i mu phi} , , , , mathrm {a} , , , , e ^ {- i mu phi}.}$

Všimněte si, že i když toroidní harmonické jsou opět použity pro T funkce, argument je ${ displaystyle coth tau}$ spíše než ${ displaystyle cosh tau}$ a ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ indexy se vyměňují. Tato metoda je užitečná v situacích, kdy jsou okrajové podmínky nezávislé na sférickém úhlu ${ displaystyle theta}$, jako je nabitý prsten, nekonečná polovina roviny nebo dvě rovnoběžné roviny. Identity týkající se toroidních harmonických s argumentem hyperbolickosin s identitami argumentu hyperbolický kotangens, viz Whipple vzorce.

Reference

• Byerly, W E. (1893) Základní pojednání o Fourierově řadě a sférických, válcových a elipsoidních harmonických s aplikacemi na problémy v matematické fyzice Ginn & co. 264–266
• Arfken G (1970). Matematické metody pro fyziky (2. vyd.). Orlando, FL: Academic Press. str. 112–115.
• Andrews, Mark (2006). "Alternativní oddělení Laplaceovy rovnice v toroidních souřadnicích a její aplikace na elektrostatiku". Journal of Electrostatics. 64 (10): 664–672. CiteSeerX  10.1.1.205.5658. doi:10.1016 / j.elstat.2005.11.005.
• Hulme, A. (1982). "Poznámka k magnetickému skalárnímu potenciálu elektrického proudového kruhu". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 92 (1): 183–191. doi:10.1017 / S0305004100059831.

Bibliografie

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw – Hill. str. 666.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str. 182. LCCN  59014456.
• Margenau H, Murphy G M (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.190 –192. LCCN  55010911.
• Moon P H, Spencer D E (1988). „Toroidní souřadnice (η, θ, ψ)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (2. vydání, 3. revidované vydání tisku). New York: Springer Verlag. str. 112–115 (oddíl IV, E4Ry). ISBN  978-0-387-02732-6.

externí odkazy

• MathWorld popis toroidních souřadnic