Bisférické souřadnice - Bispherical coordinates - Wikipedia

Ilustrace bispherical souřadnic, které jsou získány otočením dvourozměrného bipolární souřadnicový systém kolem osy spojující její dvě ohniska. Ohniska jsou umístěna ve vzdálenosti 1 od svislice z-osa. Červený protínající se torus je σ = 45 ° isosurface, modrá koule je τ = 0,5 isosurface a žlutá polorovina je φ = 60 ° isosurface. Zelená polorovina označuje X-z rovina, ze které se měří φ. Černý bod se nachází na křižovatce červeného, ​​modrého a žlutého isosurface, zhruba na kartézských souřadnicích (0,841, -1,456, 1,239).

Bisférické souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém který je výsledkem otáčení dvourozměrného bipolární souřadnicový systém kolem osy, která spojuje dvě ohniska. Tedy dva ohniska ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ v bipolární souřadnice zůstávají body (na ${ displaystyle z}$-osa, osa otáčení) v bispherickém souřadném systému.

Definice

Nejběžnější definice bisférických souřadnic ${ displaystyle ( sigma, tau, phi)}$ je

${ displaystyle x = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}} cos phi}$

${ displaystyle y = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}} sin phi}$

${ displaystyle z = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}}$

Kde ${ displaystyle sigma}$ souřadnice bodu ${ displaystyle P}$ rovná se úhel ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ a ${ displaystyle tau}$ souřadnice se rovná přirozený logaritmus poměru vzdáleností ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ do ohnisek

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

Souřadné plochy

Povrchy konstantní ${ displaystyle sigma}$ odpovídají protínajícím se tori různých poloměrů

${ displaystyle z ^ {2} + left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - a cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ { 2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

že všichni procházejí ohnisky, ale nejsou soustřední. Plochy konstanty ${ displaystyle tau}$ jsou neprotínající se koule různých poloměrů

${ displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} right) + left (za coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

které obklopují ohniska. Středy konstantní-${ displaystyle tau}$ koule leží podél ${ displaystyle z}$-os, zatímco konstanta-${ displaystyle sigma}$ tori jsou soustředěni v ${ displaystyle xy}$ letadlo.

Inverzní vzorce

Vzorce pro inverzní transformaci jsou:

${ displaystyle sigma = arccos left ({ dfrac {R ^ {2} -a ^ {2}} {Q}} right)}$

${ displaystyle tau = operatorname {arsinh} vlevo ({ dfrac {2az} {Q}} vpravo)}$

${ displaystyle phi = operatorname {atan} left ({ dfrac {y} {x}} right)}$

kde ${ displaystyle R = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ a ${ displaystyle Q = { sqrt {(R ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} - (2az) ^ {2}}}.}$

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro bisférické souřadnice ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle tau}$ jsou rovny

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

zatímco azimutální měřítko se rovná

${ displaystyle h _ { phi} = { frac {a sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

Infinitezimální objemový prvek se tedy rovná

${ displaystyle dV = { frac {a ^ {3} sin sigma} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}}} , d sigma , d tau , d phi}$

a Laplacian je dán

${ displaystyle { begin {aligned} nabla ^ {2} Phi = { frac { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}} {a ^ {2} sin sigma}} & left [{ frac { částečné} { částečné sigma}} left ({ frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}} { frac { částečné Phi} { částečné sigma}} pravé) pravé. [8pt] & {} quad + levé. sin sigma { frac { částečné} { částečné tau}} left ({ frac {1} { cosh tau - cos sigma}} { frac { částečné Phi} { částečné tau}} pravé) + { frac {1} { sin sigma left ( cosh tau - cos sigma right)}} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné phi ^ {2}}} vpravo] konec {zarovnáno }}}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( sigma, tau)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Aplikace

V řešení jsou klasické aplikace bisférických souřadnic parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice, pro které bisférické souřadnice umožňují a oddělení proměnných. Nicméně Helmholtzova rovnice nelze oddělit v bispherických souřadnicích. Typickým příkladem by byl elektrické pole obklopující dvě vodivé koule různých poloměrů.

Reference

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červenec 2010)

Bibliografie

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. str. 665–666.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str. 182. LCCN  59014456.
• Zwillinger D (1992). Příručka integrace. Boston, MA: Jones a Bartlett. str. 113. ISBN  0-86720-293-9.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Bisférické souřadnice (η, θ, ψ)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vydání, 3. vydání vydání). New York: Springer Verlag. str. 110–112 (část IV, E4Rx). ISBN  0-387-02732-7.

externí odkazy

• MathWorld popis bispherical souřadnic