Elipsoidní souřadnice - Ellipsoidal coordinates

Elipsoidní souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém ${displaystyle (lambda, mu, u)}$ který zobecňuje dvourozměrný eliptický souřadnicový systém. Na rozdíl od většiny trojrozměrných ortogonální souřadnicové systémy tu funkci kvadratický souřadné plochy, elipsoidní souřadnicový systém je založen na konfokální kvadrics.

Základní vzorce

Kartézské souřadnice ${displaystyle (x, y, z)}$ lze vytvořit z elipsoidních souřadnic ${displaystyle (lambda, mu, u)}$ podle rovnic

${displaystyle x ^ {2} = {frac {left (a ^ {2} + lambda ight) left (a ^ {2} + mu ight) left (a ^ {2} + u ight)} {left (a ^ {2} -b ^ {2} ight) vlevo (a ^ {2} -c ^ {2} ight)}}}$

${displaystyle y ^ {2} = {frac {left (b ^ {2} + lambda ight) left (b ^ {2} + mu ight) left (b ^ {2} + u ight)} {left (b ^ {2} -a ^ {2} ight) vlevo (b ^ {2} -c ^ {2} ight)}}}$

${displaystyle z ^ {2} = {frac {left (c ^ {2} + lambda ight) left (c ^ {2} + mu ight) left (c ^ {2} + u ight)} {left (c ^ {2} -b ^ {2} ight) vlevo (c ^ {2} -a ^ {2} ight)}}}$

kde na souřadnice platí následující limity

${displaystyle -lambda$

V důsledku toho jsou povrchy konstantní ${displaystyle lambda}$ jsou elipsoidy

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + lambda}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + lambda}} + {frac {z ^ {2} } {c ^ {2} + lambda}} = 1,}$

zatímco povrchy konstantní ${displaystyle mu}$ jsou hyperboloidy jednoho listu

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + mu}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + mu}} + {frac {z ^ {2} } {c ^ {2} + mu}} = 1,}$

protože poslední člen v lhs je záporný a povrchy konstanty ${displaystyle u}$ jsou hyperboloidy ze dvou listů

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + u}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + u}} + {frac {z ^ {2} } {c ^ {2} + u}} = 1}$

protože poslední dva výrazy v lhs jsou záporné.

Ortogonální soustava kvadrik používaných pro elipsoidní souřadnice je konfokální kvadrics.

Faktory měřítka a diferenciální operátory

Pro stručnost v níže uvedených rovnicích zavedeme funkci

${displaystyle S (sigma) {stackrel {mathrm {def}} {=}} vlevo (a ^ {2} + sigma ight) vlevo (b ^ {2} + sigma ight) vlevo (c ^ {2} + sigma ight )}$

kde ${displaystyle sigma}$ může představovat kteroukoli ze tří proměnných ${displaystyle (lambda, mu, u)}$. Pomocí této funkce lze zapsat faktory měřítka

${displaystyle h_ {lambda} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight)} {S (lambda)}}}}$

${displaystyle h_ {mu} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (mu -lambda ight) left (mu -u ight)} {S (mu)}}}}$

${displaystyle h_ {u} = {frac {1} {2}} {sqrt {frac {left (u -lambda ight) left (u -mu ight)} {S (u)}}}}$

Infinitezimální objemový prvek se tedy rovná

${displaystyle dV = {frac {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight) left (mu -u ight)} {8 {sqrt {-S (lambda) S (mu) S (u)}}} } dlambda dmu du}$

a Laplacian je definováno

${displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {4 {sqrt {S (lambda)}}} {left (lambda -mu ight) left (lambda -u ight)}} {frac {částečný} {částečný lambda}} vlevo [{sqrt {S (lambda)}} {frac {částečné Phi} {částečné lambda}} vpravo] +}$

${displaystyle {frac {4 {sqrt {S (mu)}}} {left (mu -lambda ight) left (mu -u ight)}} {frac {částečný} {částečný mu}} vlevo [{sqrt {S ( mu)}} {frac {částečné Phi} {částečné mu}} ight] + {frac {4 {sqrt {S (u)}}} {left (u -lambda ight) left (u -mu ight)}} { frac {částečné} {částečné u}} vlevo [{sqrt {S (u)}} {frac {částečné Phi} {částečné u}} vpravo]}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ a ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${displaystyle (lambda, mu, u)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Viz také

• Focaloid (skořápka daná dvěma souřadnými plochami)
• Mapová projekce triaxiálního elipsoidu

Reference

Bibliografie

• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. str. 663.
• Zwillinger D (1992). Příručka integrace. Boston, MA: Jones a Bartlett. str. 114. ISBN  0-86720-293-9.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 101–102. LCCN  67025285.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str.176. LCCN  59014456.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.178 –180. LCCN  55010911.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Elipsoidní souřadnice (η, θ, λ)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2., 3. tisk ed.). New York: Springer Verlag. str.40 –44 (tabulka 1.10). ISBN  0-387-02732-7.

Neobvyklá konvence

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Elektrodynamika spojitých médií (svazek 8 Kurz teoretické fyziky ) (2. vyd.). New York: Pergamon Press. 19–29. ISBN  978-0-7506-2634-7. Používá (ξ, η, ζ) souřadnice, které mají jednotky vzdálenosti na druhou.

externí odkazy

• MathWorld popis konfokálních elipsoidních souřadnic