Bipolární válcové souřadnice - Bipolar cylindrical coordinates - Wikipedia

Souřadné plochy bipolárních válcových souřadnic. Žlutý půlměsíc odpovídá σ, zatímco červená trubice odpovídá τ a modrá rovina odpovídá z= 1. Tři povrchy se v bodě protínají P (zobrazeno jako černá koule).

Bipolární válcové souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnicový systém který je výsledkem promítnutí dvourozměrného prostoru bipolární souřadnicový systém v kolmici ${ displaystyle z}$-směr. Dva řádky ohniska ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ promítaného Apollonian kruhy jsou obecně považovány za definované ${ displaystyle x = -a}$ a ${ displaystyle x = + a}$, respektive (a ${ displaystyle y = 0}$) v Kartézský souřadnicový systém.

Termín „bipolární“ se často používá k popisu dalších křivek majících dva singulární body (ohniska), jako např elipsy, hyperboly, a Cassini ovály. Nicméně termín bipolární souřadnice se nikdy nepoužívá k popisu souřadnic přidružených k těmto křivkám, např. eliptické souřadnice.

Základní definice

Nejběžnější definice bipolárních válcových souřadnic ${ displaystyle ( sigma, tau, z)}$ je

${ displaystyle x = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}}$

${ displaystyle y = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

${ displaystyle z = z}$

Kde ${ displaystyle sigma}$ souřadnice bodu ${ displaystyle P}$rovná se úhel ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ a ${ displaystyle tau}$ souřadnice se rovná přirozený logaritmus poměru vzdáleností ${ displaystyle d_ {1}}$ a ${ displaystyle d_ {2}}$ na ohniskové linie

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

(Připomeňme, že ohniskové linie ${ displaystyle F_ {1}}$ a ${ displaystyle F_ {2}}$ jsou umístěny na ${ displaystyle x = -a}$ a ${ displaystyle x = + a}$)

Povrchy konstantní ${ displaystyle sigma}$ odpovídají válcům různých poloměrů

${ displaystyle x ^ {2} + vlevo (y-a cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

že všichni procházejí ohniskovými liniemi a nejsou soustřední. Plochy konstanty ${ displaystyle tau}$ jsou neprotínající se válce různých poloměrů

${ displaystyle y ^ {2} + left (x-a coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

které obklopují ohniskové linie, ale opět nejsou soustředné. Ohniskové linie a všechny tyto válce jsou rovnoběžné s ${ displaystyle z}$-osa (směr projekce). V ${ displaystyle z = 0}$ rovina, středy konstanty-${ displaystyle sigma}$ a konstantní${ displaystyle tau}$ válce leží na ${ displaystyle y}$ a ${ displaystyle x}$ osy.

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro bipolární souřadnice ${ displaystyle sigma}$ a ${ displaystyle tau}$ jsou rovny

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

zatímco zbývající faktor měřítka ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Infinitezimální objemový prvek se tedy rovná

${ displaystyle dV = { frac {a ^ {2}} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2}}} d sigma d tau dz}$

a Laplacian je dán

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2}}} left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2} left ({ frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné sigma ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné tau ^ {2}}} vpravo) + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z ^ {2}}}}$

Ostatní diferenciální operátoři jako např ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ a ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( sigma, tau)}$ dosazením faktorů měřítka do obecných vzorců nalezených v ortogonální souřadnice.

Aplikace

V řešení jsou klasické aplikace bipolárních souřadnic parciální diferenciální rovnice, např. Laplaceova rovnice nebo Helmholtzova rovnice, pro které bipolární souřadnice umožňují a oddělení proměnných (ve 2D). Typickým příkladem by byl elektrické pole obklopující dva paralelní válcové vodiče.

Bibliografie

• Margenau H, Murphy GM (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.187 –190. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str. 182. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Kónické souřadnice (r, θ, λ)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vydání, 3. vydání vydání). New York: Springer-Verlag. neznámý. ISBN  978-0-387-18430-2.

externí odkazy

• MathWorld popis bipolárních válcových souřadnic