Paraboloidní souřadnice - Paraboloidal coordinates - Wikipedia

Paraboloidní souřadnice jsou trojrozměrné ortogonální souřadnice ${ displaystyle ( mu, nu, lambda)}$ které zobecňují dvourozměrné parabolické souřadnice. Mají eliptické paraboloidy jako souřadnicové plochy. Proto by se měly odlišovat od parabolické válcové souřadnice a parabolické rotační souřadnice, což jsou také zevšeobecnění dvojrozměrných parabolických souřadnic. Souřadnicovými plochami prvního jsou parabolické válce a souřadnicovými povrchy druhého jsou oběžník paraboloidy.

Na rozdíl od válcových a rotačních parabolických souřadnic, ale podobně jako související elipsoidní souřadnice, jsou souřadnicové plochy paraboloidního souřadnicového systému ne vytvořený otáčením nebo promítáním jakéhokoli dvojrozměrného ortogonálního souřadného systému.

Souřadné plochy trojrozměrných paraboloidních souřadnic.

Základní vzorce

Kartézské souřadnice ${ displaystyle (x, y, z)}$ lze vyrobit z elipsoidních souřadnic ${ displaystyle ( mu, nu, lambda)}$ podle rovnic^[1]

${ displaystyle x ^ {2} = { frac {4} {b-c}} ( mu -b) (b- nu) (b- lambda)}$

${ displaystyle y ^ {2} = { frac {4} {b-c}} ( mu -c) (c- nu) ( lambda -c)}$

${ displaystyle z = mu + nu + lambda -b-c}$

s

${ displaystyle mu> b> lambda> c> nu> 0}$

V důsledku toho jsou povrchy konstantní ${ displaystyle mu}$ jsou dolů otevírající eliptické paraboloidy:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} { mu -b}} + { frac {y ^ {2}} { mu -c}} = - 4 (z- mu)}$

Podobně povrchy konstantní ${ displaystyle nu}$ jsou nahoru otevírání eliptických paraboloidů,

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {b- nu}} + { frac {y ^ {2}} {c- nu}} = 4 (z- nu)}$

zatímco povrchy konstantní ${ displaystyle lambda}$ jsou hyperbolické paraboloidy:

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {b- lambda}} - { frac {y ^ {2}} { lambda -c}} = 4 (z- lambda)}$

Faktory měřítka

Faktory měřítka pro paraboloidní souřadnice ${ displaystyle ( mu, nu, lambda)}$ jsou^[2]

${ displaystyle h _ { mu} = left [{ frac { left ( mu - nu right) left ( mu - lambda right)} { left ( mu -b right) left ( mu -c right)}} right] ^ {1/2}}$

${ displaystyle h _ { nu} = left [{ frac { left ( mu - nu right) left ( lambda - nu right)} { left (b- nu right) left (c- nu right)}} right] ^ {1/2}}$

${ displaystyle h _ { lambda} = left [{ frac { left ( lambda - nu right) left ( mu - lambda right)} { left (b- lambda right) left ( lambda -c right)}} right] ^ {1/2}}$

Infinitezimální objemový prvek je tedy

${ displaystyle dV = { frac {( mu - nu) ( mu - lambda) ( lambda - nu)} { left [( mu -b) ( mu -c) (b- nu) (c- nu) (b- lambda) ( lambda -c) vpravo] ^ {1/2}}} d lambda d mu d nu}$

Diferenciální operátoři

Běžné diferenciální operátory lze vyjádřit v souřadnicích ${ displaystyle ( mu, nu, lambda)}$ dosazením faktorů měřítka do obecné vzorce pro tyto operátory, které jsou použitelné pro jakékoli trojrozměrné ortogonální souřadnice. Například operátor přechodu je

${ displaystyle nabla = left [{ frac { left ( mu -b right) left ( mu -c right)} { left ( mu - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { mu} { frac { částečné} { částečné mu}} + doleva [{ frac { left (b- nu right) left (c- nu right)} { left ( mu - nu right) left ( lambda - nu right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { nu} { frac { částečné} { částečné nu}} + left [{ frac { left (b- lambda right) left ( lambda -c right)} { left ( lambda - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} mathbf {e} _ { lambda} { frac { částečné} { částečné lambda}}}$

a Laplacian je

${ displaystyle { begin {aligned} nabla ^ {2} = & left [{ frac { left ( mu -b right) left ( mu -c right)} { left ( mu - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} { frac { částečné} { částečné mu}} left [( mu - b) ^ {1/2} ( mu -c) ^ {1/2} { frac { částečné} { částečné mu}} pravé] & + levé [{ frac { levé (b- nu right) left (c- nu right)} { left ( mu - nu right) left ( lambda - nu right)}} right] ^ {1 / 2} { frac { částečné} { částečné nu}} vlevo [(b- nu) ^ {1/2} (c- nu) ^ {1/2} { frac { částečné } { partial nu}} right] & + left [{ frac { left (b- lambda right) left ( lambda -c right)} { left ( lambda - nu right) left ( mu - lambda right)}} right] ^ {1/2} { frac { částečné} { částečné lambda}} left [(b- lambda) ^ {1/2} ( lambda -c) ^ {1/2} { frac { částečné} { částečné lambda}} doprava] konec {zarovnáno}}}$

Aplikace

Paraboloidní souřadnice mohou být užitečné pro řešení určitých parciální diferenciální rovnice. Například Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice jsou oba oddělitelný v paraboloidních souřadnicích. Souřadnice lze tedy použít k řešení těchto rovnic v geometriích s paraboloidní symetrií, tj. S okrajovými podmínkami specifikovanými na úsecích paraboloidů.

Helmholtzova rovnice je ${ displaystyle ( nabla ^ {2} + k ^ {2}) psi = 0}$. Brát ${ displaystyle psi = M ( mu) N ( nu) Lambda ( lambda)}$, oddělené rovnice jsou^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} & ( mu -b) ( mu -c) { frac {d ^ {2} M} {d mu ^ {2}}} + { frac {1} {2}} left [2 mu - (b + c) right] { frac {dM} {d mu}} + left [k ^ {2} mu ^ {2} + alpha _ {3} mu - alpha _ {2} right] M = 0 & (b- nu) (c- nu) { frac {d ^ {2} N} {d nu ^ { 2}}} + { frac {1} {2}} left [2 nu - (b + c) right] { frac {dN} {d nu}} + left [k ^ {2 } nu ^ {2} + alpha _ {3} nu - alpha _ {2} vpravo] N = 0 & (b- lambda) ( lambda -c) { frac {d ^ {2} Lambda} {d lambda ^ {2}}} - { frac {1} {2}} vlevo [2 lambda - (b + c) right] { frac {d Lambda} {d lambda}} - left [k ^ {2} lambda ^ {2} + alpha _ {3} lambda - alpha _ {2} right] Lambda = 0 end {zarovnáno }}}$

kde ${ displaystyle alpha _ {2}}$ a ${ displaystyle alpha _ {3}}$ jsou dvě separační konstanty. Podobně lze oddělené rovnice pro Laplaceovu rovnici získat nastavením ${ displaystyle k = 0}$ ve výše uvedeném.

Každá z oddělených rovnic může být seslána ve formě Baerova rovnice. Přímé řešení rovnic je obtížné, zčásti proto, že separační konstanty ${ displaystyle alpha _ {2}}$ a ${ displaystyle alpha _ {3}}$ se objevují současně ve všech třech rovnicích.

Podle výše uvedeného přístupu byly paraboloidní souřadnice použity k řešení pro elektrické pole obklopující a vedení paraboloid.^[4]

Reference

Bibliografie

• Lew Yan Voon LC, Willatzen M (2011). Oddělitelné problémy mezní hodnoty ve fyzice. Wiley-VCH. ISBN  978-3-527-41020-0.
• Morse PM, Feshbach H (1953). Metody teoretické fyziky, část I.. New York: McGraw-Hill. str. 664. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matematika fyziky a chemie. New York: D. van Nostrand. str.184 –185. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. str.180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Arfken G (1970). Matematické metody pro fyziky (2. vyd.). Orlando, FL: Academic Press. str. 119–120.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. str. 98. LCCN  67025285.
• Zwillinger D (1992). Příručka integrace. Boston, MA: Jones a Bartlett. str. 114. ISBN  0-86720-293-9. Stejné jako Morse & Feshbach (1953), střídání u_k pro ξ_k.
• Moon P, Spencer DE (1988). "Paraboloidní souřadnice (μ, ν, λ)". Příručka polní teorie, včetně souřadnicových systémů, diferenciálních rovnic a jejich řešení (opraveno 2. vydání, 3. vydání vydání). New York: Springer-Verlag. str. 44–48 (tabulka 1.11). ISBN  978-0-387-18430-2.

externí odkazy

• MathWorld popis konfokálních paraboloidních souřadnic