PSL (2,7) - PSL(2,7)

v matematika, projektivní speciální lineární skupina PSL (2, 7), izomorfní s GL (3, 2), je konečný jednoduchá skupina který má důležité aplikace v algebra, geometrie, a teorie čísel. To je automorfická skupina z Kleinova kvartika stejně jako skupina symetrie z Fano letadlo. Se 168 prvky je PSL (2, 7) nejmenší nonabelian jednoduchá skupina po střídavá skupina A₅ s 60 prvky, izomorfní s PSL (2, 5).

Definice

The obecná lineární skupina GL (2, 7) se skládá ze všech invertibilních 2 × 2 matice přes F₇, konečné pole se 7 prvky. Ty mají nenulový determinant. The podskupina SL (2, 7) se skládá ze všech takových matic s jednotkou určující. Pak je PSL (2, 7) definován jako kvocientová skupina

SL (2, 7) / {I, −I}

získána identifikací I a - I, kde Já je matice identity. V tomto článku necháme G označuje jakoukoli skupinu isomorfní s PSL (2, 7).

Vlastnosti

G = PSL (2, 7) má 168 prvků. To lze vidět spočítáním možných sloupců; je jich 7²−1 = 48 možností pro první sloupec, poté 7²−7 = 42 možností pro druhý sloupec. Musíme vydělit 7-1 = 6, abychom vynutili determinant rovný jedné, a pak musíme vydělit 2, když identifikujeme I a −I. Výsledek je (48 × 42) / (6 × 2) = 168.

Obecným výsledkem je, že PSL (n, q) je jednoduchý pro n, q ≥ 2 (q být nějaká mocnina prvočísla), pokud (n, q) = (2, 2) nebo (2, 3). PSL (2, 2) je izomorfní do symetrická skupina S₃a PSL (2, 3) je isomorfní s střídavá skupina A₄. Ve skutečnosti je PSL (2, 7) druhý nejmenší nonabelian jednoduchá skupina, po střídavá skupina A₅ = PSL (2, 5) = PSL (2, 4).

Počet třídy konjugace a neredukovatelné reprezentace je 6. Velikost tříd konjugace je 1, 21, 42, 56, 24, 24. Rozměry neredukovatelných zobrazení 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Tabulka znaků

${ displaystyle { begin {array} {r | cccccc} & 1A_ {1} & 2A_ {21} & 4A_ {42} & 3A_ {56} & 7A_ {24} & 7B_ {24} hline chi _ {1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 chi _ {2} & 3 & -1 & 1 & 0 & sigma & { bar { sigma}} chi _ {3} & 3 & -1 & 1 & 0 & { bar { sigma}} & sigma chi _ {4 } & 6 & 2 & 0 & 0 & -1 & -1 chi _ {5} & 7 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 chi _ {6} & 8 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 end {array}},}$

kde:

${ displaystyle sigma = { frac {-1 + i { sqrt {7}}} {2}}.}$

Následující tabulka popisuje třídy konjugace z hlediska pořadí prvku ve třídě, velikosti třídy, minimálního polynomu každého zástupce v GL (3, 2) a notace funkce pro zástupce v PSL (2 , 7). Všimněte si, že třídy 7A a 7B jsou vyměňovány automorfismem, takže zástupce z GL (3, 2) a PSL (2, 7) lze libovolně přepínat.

Pořadí skupiny je 168 = 3 × 7 × 8, z čehož vyplývá existence Sylowovy podskupiny objednávek 3, 7 a 8. Je snadné popsat první dva, protože jsou cyklické jakákoli skupina hlavního řádu je cyklická. Libovolný prvek třídy konjugace 3A₅₆ generuje 3 podskupinu Sylow. Libovolný prvek ze tříd konjugace 7A₂₄, 7B₂₄ generuje podskupinu Sylow 7. 2 podskupina Sylow je a dvojitá skupina řádu 8. Lze jej popsat jako centralizátor jakéhokoli prvku ze třídy konjugace 2A₂₁. V reprezentaci GL (3, 2) se podskupina Sylow 2 skládá z horních trojúhelníkových matic.

Tato skupina a její podskupina Sylow 2 poskytuje protiklad pro různé normální p-komplement věty pro str = 2.

Akce na projektivní prostory

G = PSL (2, 7) působí prostřednictvím lineární frakční transformace na projektivní linie P¹(7) přes pole se 7 prvky:

${ displaystyle { mbox {For}} gamma = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v { mbox {PSL}} (2,7) { mbox {and}} x in mathbb {P} ^ {1} ! (7), gamma cdot x = { frac {ax + b} {cx + d}}}$

Každý orientovaný automorfismus P¹(7) vzniká tímto způsobem a tak G = PSL (2, 7) lze geometricky považovat za skupinu symetrií projektivní přímky P¹(7); úplnou skupinou potenciálně orientovaných projektivních lineárních automorfismů je místo toho rozšíření PGL řádu 2 (2, 7) a skupina kolineace projektivní linie je kompletní symetrická skupina bodů.

PSL (2, 7) však také je izomorfní na PSL (3, 2) (= SL (3, 2) = GL (3, 2)), speciální (obecná) lineární skupina matic 3 × 3 nad polem se 2 prvky. Podobným způsobem G = PSL (3, 2) působí na projektivní rovina P²(2) přes pole se 2 prvky - také známé jako Fano letadlo:

Pro ${ displaystyle gamma = { begin {pmatrix} a & b & c d & e & f g & h & i end {pmatrix}} v { mbox {PSL}} (3,2) }$ a ${ displaystyle mathbf {x} = { začátek {pmatrix} x y z konec {pmatrix}} v mathbb {P} ^ {2} ! (2), gamma cdot mathbf {x} = { begin {pmatrix} ax + by + cz dx + ey + fz gx + hy + iz end {pmatrix}}}$

Opět každý automorfismus P²(2) vzniká tímto způsobem a tak G = PSL (3, 2) lze geometricky považovat za skupina symetrie této projektivní roviny. The Fano letadlo lze použít k popisu násobení octonions, tak G působí na množinu osmičkových multiplikačních tabulek.

Symetrie Kleinovy ​​kvartiky

The Kleinova kvartika lze realizovat jako kvocient z objednávka 3 heptagonální obklady.

Dvojitě Kleinova kvartika lze realizovat jako kvocient z objednávka-7 trojúhelníkové obklady.

The Kleinova kvartika je projektivní rozmanitost oproti komplexní čísla C definovaný kvartickým polynomem

X³y + y³z + z³X = 0.

Je to kompaktní Riemannův povrch rodu g = 3 a je jediným povrchem, u kterého velikost konformní skupiny automorfismu dosahuje maxima 84 (G-1). Tato vazba je způsobena Hurwitzova věta o automorfismech, který platí pro všechny G> 1. Takový "Hurwitzovy povrchy „jsou vzácné; další rod, pro který existuje, je G = 7 a další po tom je G = 14.

Jako u všech Hurwitzovy povrchy, Kleinova kvartika může být dána metrikou konstantní záporné zakřivení a poté obkládat pravidelný (hyperbolický) sedmiúhelníky, jako podíl z objednávka 3 heptagonální obklady, se symetrií povrchu jako Riemannovou plochou nebo algebraickou křivkou přesně stejnou jako symetrie obkladů. Pro Kleinovu kvartiku to přináší obklad o 24 heptagons a řádově G souvisí tedy se skutečností, že 24 × 7 = 168. Duální může být obložen 56 rovnostrannými trojúhelníky s 24 vrcholy, každý ze stupňů 7, jako podíl k objednávka-7 trojúhelníkové obklady.

Kleinova kvartika vzniká v mnoha oborech matematiky, včetně teorie reprezentace, teorie homologie, množení octonionů, Fermatova poslední věta, a Starkova věta na imaginárních kvadratických číselných polích třídy číslo 1.

Skupina Mathieu

PSL (2, 7) je maximální podskupina Skupina Mathieu M₂₁; skupiny M₂₁ a M.₂₄ lze zkonstruovat jako rozšíření PSL (2, 7). Tato rozšíření lze interpretovat z hlediska obkladů Kleinovy ​​kvartiky, ale nejsou realizována geometrickými symetriemi obkladů.^[1]

Permutační akce

Skupina PSL (2, 7) působí na různé konečné množiny:

• Ve své původní interpretaci jako PSL (2, 7), orientující se na zachování lineárních automorfismů projektivní linie P¹(F₇), působí přechodně na 8 bodů se stabilizátorem řádu 21 fixujícím daný bod. Působí také 2-přechodně se stabilizátorem řádu 3 na každou dvojici bodů; a má dvě oběžné dráhy na trojných bodech, s triviálním stabilizátorem na každé trojné. (Větší skupina PGL (2,7) působí ostře 3-tranzitivně.)
• Interpretováno jako PGL (3,2), lineární automorfismy Fano roviny P²(F₂), působí 2-tranzitivně na 7 bodů, se stabilizátorem řádu 24 upevňujícím každý bod a stabilizátorem řádu 4 upevňujícím každý pár bodů.
• Interpretováno jako automorfismus obkladu Kleinovy ​​kvartiky, působí přechodně na 24 vrcholů (nebo dvojitě, 24 heptagonů), se stabilizátorem řádu 7 (což odpovídá rotaci kolem vrcholu / heptagonu).
• Interpretováno jako podskupina skupiny Mathieu M₂₁, podskupina působí netranzitivně na 21 bodů.

Reference

Další čtení

• Brown, Ezra; Loehr, Nicholas (2009). „Proč je PSL (2,7) ≅ GL (3,2)?“ (PDF). Dopoledne. Matematika. Pondělí. 116 (8): 727–732. doi:10,4169 / 193009709X460859. Zbl  1229.20046. Archivovány od originál (PDF) dne 09.10.2016. Citováno 2014-09-27.

externí odkazy

• Osminásobná cesta: Krása Kleinovy ​​křivky (Silvio Levy, ed.)
• Nálezy z tohoto týdne v matematické fyzice - 21. týden (John Baez)
• Kleinova kvartika v teorii čísel (Noam Elkies)
• Projektivní speciální lineární skupina: PSL (3,2)